Anchikov_VTA1

22.Найти работу силового поля F = y2 i + 2xy j + zk вдоль отрезка линии пересечения цилиндров x 2 + z2 = a 2 и y2 + z2 = a 2 , от точки А(-а, -а, 0) через точку С(0, 0, а) до точки В(а, а, 0).

23. Найти работу поля F = − x 2 +y y2 i + x 2 +x y2 j + 2k вдоль окружности

{x 2 + y2 =R 2 , z =1}.

24.Найти работу поля F = f (r)r вдоль винтовой линии {x = 2cos ϕ, y = 2sin ϕ, z = 2ϕ} от точки А(2, 0, 0) до точки B(−2, 0, 2π) .

25.Найти работу поля F = (z − x 2 )i + (x − y2 ) j + (y − z2 )k вдоль треугольного контура

{x + y + z =1, x = 0, y = 0, z = 0}.

8. Потенциальные поля.

Проверить: потенциально ли векторное поле; если да, то найти потенциал.

1.a = 2xyi + (x 2 +1)j ;

2.a = (y +1)i + 2x(y +1) j;

3.a =cosyi −xsinyj+2zk ;

4.a = (yz +1)i + xz j + xyk ;

5.a = (y + z)i + (x + z) j + (x + y)k ;

8.a = 1 − y2 i z2 j + 1 − x2

z x x y y z

9.a = yz(2x + y + z)i + xz(x + 2y + z)j + xy(x + y + 2z)k ;

10.a = 2xyzi + x 2 z j + x 2 yk ; k ;+ 1 −

12.a = 2xyzi + x 2 z j + (x 2 y + z)k ;

13.a = yzcos xyi + xz cos xy j +sin xyk ;

14.a = (2xy + z2 )i + (2yz + x 2 )j + (2xz + y2 )k ;

15.a = (2xy + z)i + (x 2 − 2y)j + xk ;

16.a = yzi + xz j + xyk ;

1+ x 2 + y2 + z2

17.a = rr ;

18.a = rr2 ;

19.a = rr ;

20.a = yi + x j + ez k ;

21.a = ex sin yi + ex cos y j + (sin xy)k ;

11

9. Соленоидальные поля.

Проверить: соленоидально ли векторное поле a ; если да, то найти векторный потенциал.

1.a = (y + z)i + (x + z) j + (x + y)k ;

2.a = (6x + 7yz)i + (6y + 7xz) j + (6z + 7xy)k ;

3.a = 2yi − z j + 2xk ;

4.a = x(z2 − y2 )i + y(x 2 − z2 )j + z(y2 − x 2 )k ;

5.a = y2 i −(x 2 + y3 )j + z(3y2 +1)k ;

6.a = (1+ 2xy)i − y2 z j + (z2 y − 2zy +1)k ;

7.a = 6y2 i + 6z j + 6xk ;

8.a = yex2 i + 2yzj −(2xyzex2 + z2 )k ;

9.a = (x − y)i + y j − x 2 k ;

10.a = (z − y)i + j − k ;

11.a = 2yi + 2z j ;

12.a = 6y2 i + 6z j + 6xk ;

13.a = 3y2 i − x 2 j −(y2 + 2x)k ;

14.a = yex i + 2yzj −(2xyzex2 + ξ)k ;

15.a = (xz −ex )i − yzj + (zex −ex )k ;

16.a = (z −1)i + 2x 2 z j + k ;

17.a = −i + xy j + (1− xz)k ;

18.a = −yi − z j − xk ;

19.a = 2yzi − 2xz j − 2xyk ;

20.a = y2 i − z2 j − x 2 k ;

21.a = z2 j − x 2 k ;

22.a = x cos zi + (sin y − z cos x) j −(sin z + z cos y)k ;

23.a = (sin y −cos x) j −(1+ z cos y)k ;

24.a = −ex i + (yez −ez )j + (zex −ez )k ;

25.a = zey i + xez j .

10.Интегральные характеристики векторных полей.

1.Доказать, что поток постоянного векторного поля a через любую замкнутую поверхность равен нулю.

12

2.Доказать, что объем области Т внутри кусочно-гладкой поверхности ∑ можно

вычислить по формуле VT = 13 ∫∫(rn)dσ, где r – радиус-вектор, n – внешний единичный вектор к поверхности ∑ .

3.Вывести формулу Грина как частный случай формулы Стокса для поля

a= P(x, y)i + Q(x, y) j на плоскости.

4.Доказать, что циркуляция постоянного векторного поля a вдоль любого замкнутого кусочно-гладкого контура равно нулю.

5.Пусть векторное поле a = P(x, y)i + Q(x, y) j задано в плоской области D,

ограниченной кусочно-гладкой кривой L. Доказать, что ∫∫diva ds = ∫(a n)dl , где n –

D L

внешняя нормаль к кривой L(это формула Грина).

6.Из формулы Грина получить формулу Ньютона-Лейбница.

7.Пусть скалярные поля u и v заданы в области Т, ограниченный кусочно-гладкой

α– угол между внешней нормалью n к поверхности ∑ и осью ох.

11.Применяя формулу Остроградского-Гаусса к векторным полям u(M)i, u(M)j, u(M)k , где u(M) – скалярное поле в области Т, ограниченный поверхностью ∑ , доказать, что

∫∫un dσ = ∫∫nudσ = ∫∫∫ udv , где n – единичный вектор внешней нормали к

∑∑ T

поверхности∑ .

12. Пусть векторное поле задано в области Т, ограниченный поверхностью ∑ , а n – единичный вектор внешней нормали к поверхности ∑ . Доказать, что

∫∫[na]dσ = ∫∫∫[ a]dv .

∑T

u = ( )u .

13

14.Доказать формулу ∫∫ϕ(an)dσ = ∫∫∫(ϕ a + a ϕ)dv , где ϕ = ϕ(M) – скалярное поле, ∑ –

∑T

поверхность, ограничивающая объём Т, n – единичный вектор внешней нормали к ∑ .

16.Доказать, что если функция U(M) является многочленом второй степени и ∑ –

кусочно-гладкая поверхность, то интеграл ∫∫∂u dσ пропорционален объёму,

∑∂n

ограниченному поверхностью ∑ .

17.Пусть a = (P,Q, R), где P, Q, R – линейные функции x, y, z , и пусть С – замкнутая кусочно-гладкая кривая, расположенная в плоскости. Доказать, что если циркуляция

∫adr отлично от нуля, то она пропорциональна площади фигуры, ограниченной

C

натянутый на этот контур С ( u, v – скалярные функции координат).

11. Найти векторные линии, дивергенцию, ротор векторного поля a в

цилиндрических (1-13), сферических координатных (14-25).

1.a = er + ϕeϕ ;

2.a = rer + ϕeϕ + zez ;

3.a = r2 er + ez ;

4.a = ϕer + r2e lϕ;

5.a = er + reϕ + ez

6.a = zer + r2 eϕ + rez ;

14

7.a = er + 1r eϕ + ez ;

8.a = rer + ϕr eϕ + zez ;

9.a = ϕzer + zeϕ + rϕez ;

11.a = ϕcos zer + cos zeϕ − r sin zez ;

12.a = rer + re−ϕ eϕ + eϕ cos zez ;

13.a = r2 er + 2cos ϕeϕ + ez ez ;

14.a = er + reθ + reϕ ;

16.a = eθ +sin θeϕ ;

17.a = cosr θer + r sin θeθ ;

18.a = θer + reθ + r sin θeϕ ;

19.a = r cos θeθ + reϕ ;

20.a = r2 er − 2cos2 θeθ ;

21.a = r2 er + 2cos θeθ −ϕeϕ ;

22.a = rer − r sin θeϕ ;

23.a = r sin ϕ2 eθ + r sin θcos ϕeϕ ;

24.a = r2 er +sin θeϕ ;

25.a = rer + r sin θeθ −3rϕsin θeϕ .

12.Вычислить градиент и лапласиан скалярного поля u в цилиндрических и сферических координатах.

1.u = x 2 yz ;

2.u = x + y + z ;

3.u = sin(x + y + z) ;

4. u = x 2 − y2 + z ;

5.u = y2 xz ;

6.u = ex2 y ;

7.u = ln(xyz) ;

8.u = e xyz ;

9.u = ex + ez ;

11.u = arctg(xz) ;

12.u = arcsin xy ;

15

13.u = xyz ;

14.u = cos(x 2 + y + z);

15.u = x + 1y ;

16.u = e−x2 −y2 +z2 ;

17.u = ln(x 2 + z2 );

18.u = x 2 y + z2 x ;

19.u = x 2 + y2 − z2 ;

20.u = x +sin y ;

21.u = x −ln yz ;

22.u = ex + ln z ;

23.u = ex −ez ;

24.u = sin x + ln z ;

25.u = cos y −sin x

5.Поток векторного поля.

1.Вычислить поток векторного поля a = x 2 i + y2 j + z2 k через боковую поверхность конуса

x2 + y2 = z2 , 0 ≤ z ≤ h в сторону внешней нормали.

2.Вычислить поток вектора r через круг x 2 + y2 ≤ 4 , z = 2 в сторону положительного направления оси OZ.

3.Вычислить поток постоянного вектора a через площадку, перпендикулярную оси OZ имеющую форму круга радиуса R с центром в точке M0 (0, 0, 3) в положительном направлении оси OZ.

4.Найти поток векторного поля a = (x − 2z)i + (x +3y + z) j + (5x + y)k через верхнюю сторону треугольной площадки с вершинами А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1).

лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали.

6.Вычислить поток векторного поля a = yi + z j + xk через верхнюю сторону треугольной площадки с вершинами А(а, 0, 0), В(0, а, 0), С(0, 0, а).

7.Вычислить поток векторного поля a = zi + x j + yk через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусом z = x 2 + y2 на плоскости z = h (h>0).

8.Вычислить поток векторного поля a = 3xi − y j − zk через внешнюю сторону части параболоида x 2 + y2 = 9 − z , расположенной в первом октанте.

9.Вычислить поток векторного поля a = xi + zk через боковую поверхность кругового цилиндра y = R 2 − x 2 , ограниченную плоскостями z = 0, z = h (h>0).

10.Вычислить поток векторного поля a = xzi через внешнюю сторону параболоида

z =1− x 2 − y2 , ограниченную плоскостью z = 0 (z ≥ 0) .

Найти поток векторного поля F через ∑ в направлении внешней нормали. 11. F = (x3 + yz)i + (y3 + xz) j + (z3 + xy)k , ∑ = {x 2 + y2 + z2 =16, z ≥ 0};

12.F = (xy + x 2 )i + (2y − 2xy) j + (z − yz)k , ∑ = {x 2 + y2 = z2 , 0 ≤ z ≤ h};

13.F = (x − y + z)i + (y − z + x) j + (z − x + y)k , ∑ = {x + y + z =1};

16

14.F = 2xi + 2y j − zk , ∑ = {z2 = x 2 + y2 , 0 ≤ z ≤ h};

15.F = 2xi − y j + zk , ∑ = {x 2 + y2 + z2 ≤ 4, 3z ≥ x 2 + y2 };

16. F = x 2 yi + xy2 j + xyzk , ∑ = {x 2 + y2 + z2 ≤ R 2 , x, y, z ≥ 0};

17.F = x 2 i + y2 j + z2 k , ∑ = {x 2 + y2 + z2 =1, z ≤ 0};

18.F = y2 j + zk , ∑ = {z = x 2 + y2 , z ≤ 2};

22.F = (3x −1)i + (y − x + z) j + 4zk , ∑ – поверхность призмы, образованной плоскостью 2x − y − 2z + 2 = 0 и координатными плоскостями.

23.Найти поток вектора a = x 2 i + y2 j + z2 k через всю поверхность тела

6. Используя оператор Гамильтона :

Вычислить rot[a, r], a – постоянный вектор, r – радиус-вектор; Доказать, что вектор a = u gradv ортогонален к rot a ;

Найти graddiv(ua) ;

Найти rot rot(uc) , ( c – постоянный вектор);

Найти rot(au) ; Найти div(au) ;

Доказать справедливость формулы rot[ab]= a divb − b diva + (b )a −(a )b ; Найти divf (r)r . Определить вид функции f (r) , для которой поле f (r)r является соленоидальным;

Найти div(r5 r) ;

Найти div(r(r,a)) , ( a – постоянный вектор); Найти div[a[rb]], ( a, b – постоянные векторы);

Найти gradu , если u(x, y) определяется неявно уравнением u3 −3xyu = a 2 ; Вычислить rot[c f (r)r], ( c – постоянный вектор);

Доказать справедливость формулы (a )ub = b(a u) + u(a )b ; Доказать справедливость формулы (c (ab)) = (a(c )b) + (b(c )a) ; Доказать справедливость формулы (c )[ab]= [a(c )b]−[b(c )a];

17

Доказать справедливость формулы ([ab]rot c) = (b( a)c) −(a(b )c) ;

Найти div(u gradv) ; Найти rot[a rotb];

Для векторного поля a = x 2 y2 i + y2 z2 j + z2 x 2 k вычислить rot rota , grad diva ;

Показать, что векторное поле a = iex + jey + kez удовлетворяет уравнению a −grad diva = 0G ;

Показать, что векторное поле a = iey + jez + kex удовлетворяет уравнению a + rot rota = 0 ; Вычислить (c ) ϕ(r) a(r) , ( c – постоянный вектор);

Вычислить (c ) ϕ(r) r , ( c – постоянный вектор);

Найти a , если a = x(y2 + z2 )i + y(x 2 + z2 ) j + z(x 2 + y2 )k ;

= f (r) [ ]

Показать, что rot( f (r) a) ra , ( a – постоянный вектор). r

7. Найти циркуляцию векторного поля вдоль дуги С.

1. F = z3 i + x3 j + y3 k , c = {2x 2 + z2 − y2 = a 2 , x + y = 0};

5. F = xi + y j + zk , с ={x 2 + y2 + z2 = a 2 , x + y + z = 0}; 6. F = yi − 2z j + xk , c = {2x 2 − y2 + z2 = a 2 , x = y};

7. F = xi − y j, c = {(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R 2 };

8.F = (x + z)i + (x − y) j + xk , c = x 2 + y2 =1, z = 5 ;

a 2 b2

9.F = (x +3y + 2z)i + (2x + z) j + (x − y)k , с – контур треугольника с вершинами А(2, 0, 0),

В(0, 3, 0), С(0, 0, 1);

10.F = (x + y)i + (x − z) j + (y + z)k , с – контур треугольника с вершинами А(0, 0, 0), В(0, 1,

от

А(1, 1, 0) до В( 2, 2, 1) .

14.Найти работу поля F вдоль кратчайшей дуги эллипса {x = a cosϕ, y = bsinϕ}, от А(а, 0)

до B(0, b) если F = yi + a j.

15.Найти работу поля F = xyi + (x + y)j вдоль кратчайшей дуги эллипса

{x = 5cos t, y = 9sin t}от точки А(5, 0) до В(0, 9).

16. Найти работу силы F , имеющей постоянную величину и направленной вдоль оси oy ,

18

22. Найти работу силового поля F = y2 i + 2xy j + zk вдоль отрезка линии пересечения цилиндров x 2 + z2 = a 2 и y2 + z2 = a 2 , от точки А(-а, -а, 0) через точку С(0, 0, а) до точки В(а, а, 0).

23. Найти работу поля F = − x 2 +y y2 i + x 2 +x y2 j + 2k вдоль окружности

{x 2 + y2 =R 2 , z =1}.

24. Найти работу поля F = f (r)r вдоль винтовой линии {x = 2cos ϕ, y = 2sin ϕ, z = 2ϕ} от

точки

А(2, 0, 0) до точки B(−2, 0, 2π) .

25. Найти работу поля F = (z − x 2 )i + (x − y2 ) j + (y − z2 )k вдоль треугольного контура

{x + y + z =1, x = 0, y = 0, z = 0}.

8. Потенциальные поля.

Проверить: потенциально ли векторное поле; если да, то найти потенциал. 1. a = 2xyi + (x 2 +1)j ;

2a = (y +1)i + 2x(y +1) j;

3a =cosyi −xsinyj+2zk ;

4.a = (yz +1)i + xz j + xyk ;

5.a = (y + z)i + (x + z) j + (x + y)k ;

8.a = 1 − y2 i −

z x y

9.a = yz(2x + y + z)i + xz(x + 2y + z)j + xy(x + y + 2z)k ;

10.a = 2xyzi + x 2 z j + x 2 yk ;+ 1 −x k ;z2y2 j + 1z x

19

12.a = 2xyzi + x 2 z j + (x 2 y + z)k ;

13.a = yzcos xyi + xz cos xy j +sin xyk ;

14.a = (2xy + z2 )i + (2yz + x 2 )j + (2xz + y2 )k ;

15.a = (2xy + z)i + (x 2 − 2y)j + xk ;

16.a = yzi + xz j + xyk ;

1+ x 2 + y2 + z2

17.a = rr ;

18.a = rr2 ;

19.a = rr ;

20.a = yi + x j + ez k ;

21.a = ex sin yi + ex cos y j + (sin xy)k ;

22.a = yexy i + xexy j + cos zk ;

9. Соленоидальные поля.

Проверить: соленоидально ли векторное поле a ; если да, то найти векторный потенциал.

1.a = (y + z)i + (x + z) j + (x + y)k ;

2.a = (6x + 7yz)i + (6y + 7xz) j + (6z + 7xy)k ;

3.a = 2yi − z j + 2xk ;

4. a = x(z2 − y2 )i + y(x 2 − z2 )j + z(y2 − x 2 )k ;

5.a = y2 i −(x 2 + y3 )j + z(3y2 +1)k ;

6.a = (1+ 2xy)i − y2 z j + (z2 y − 2zy +1)k ;

7.a = 6y2 i + 6z j + 6xk ;

8.a = yex2 i + 2yzj −(2xyzex2 + z2 )k ;

9.a = (x − y)i + y j − x 2 k ;

10.a = (z − y)i + j − k ;

11.a = 2yi + 2z j ;

12.a = 6y2 i + 6z j + 6xk ;

13.a = 3y2 i − x 2 j −(y2 + 2x)k ;

14.a = yex i + 2yzj −(2xyzex2 + ξ)k ;

15.a = (xz −ex )i − yzj + (zex −ex )k ;

16.a = (z −1)i + 2x 2 z j + k ;

17.a = −i + xy j + (1− xz)k ;

18.a = −yi − z j − xk ;

20