Anchikov_VTA1
.pdf
19.a = 2yzi − 2xz j − 2xyk ;
20.a = y2 i − z2 j − x 2 k ;
21.a = z2 j − x 2 k ;
22.a = x cos zi + (sin y − z cos x) j −(sin z + z cos y)k ;
23.a = (sin y −cos x) j −(1+ z cos y)k ;
24.a = −ex i + (yez −ez )j + (zex −ez )k ;
25.a = zey i + xez j .
10. Интегральные характеристики векторных полей.
Доказать, что поток постоянного векторного поля a через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Доказать, что объем области Т внутри кусочно-гладкой поверхности ∑ можно вычислить по формуле VT = 13 ∫∫(rn)dσ, где r – радиус-вектор, n – внешний единичный вектор к
поверхности ∑ .
Вывести формулу Грина как частный случай формулы Стокса для поля a = P(x, y)i + Q(x, y) j на плоскости.
Доказать, что циркуляция постоянного векторного поля a вдоль любого замкнутого кусочно-гладкого контура равно нулю.
Пусть векторное поле a = P(x, y)i + Q(x, y) j задать в плоской области D, ограниченной кусочно-гладкой кривой L. Доказать, что ∫∫diva ds = ∫
(a n)dl , где n – внешняя нормаль к
D L
кривой L(это формула Грина).
Из формулы Грина получить формулу Ньютона-Лейбница.
Пусть скалярные поля u и v заданы в области Т, ограниченный кусочно-гладкой
поверхностью ∑ . Доказать, что ∫∫v |
∂u dσ = ∫∫∫(v |
u + u v)dv (первая формула Грина). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∑ |
∂n |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть скалярные поля u и v заданы в области Т, ограниченный кусочно-гладкой |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂u |
− u |
∂v |
|
|
|
|
|
||||||
поверхностью ∑ . Доказать, что ∫∫ v |
|
|
|
dσ = ∫∫∫(v u − u v)dv (вторая формула |
|||||||||||||||
|
|
|
|
∑ |
|
∂n |
|
|
|
∂n |
|
|
|
|
T |
||||
Грина). |
|
|
через поверхность ∑ , заданную уравнением |
||||||||||||||||
Доказать, что поток векторного поля |
|
||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r = r(u, v), (u, v) G , в сторону нормали |
|
N = |
|
|
|
, |
|
|
|
может быть вычислен по формуле |
|||||||||
|
∂u |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
∂r |
|
|
|
N |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫∫(a,n)dσ = ∫∫ a |
|
|
|
, |
|
|
|
|
dudv , где n = |
|
– единичный вектор нормали к поверхности |
|||||||||
∑ |
|
|
|
G |
|
|
∂u |
|
∂v |
|
N |
|
||||||||
∑ .
10. Применяя формулу Остраграденого-Гаусса к векторному полю u(M)i , где u(M) –
скалярное поле в области G с границей ∑ , доказать, что ∫∫u cos αdσ = ∫∫∫∂u dv , где α – |
|
∑ |
G ∂x |
угол между внешней нормалью n к поверхности ∑ и осью ох.
11. Применяя формулу Острограденого-Гаусса к векторным полям u(M)i, u(M)j, u(M)k , где u(M) – скалярное поле в области Т, ограниченный поверхностью ∑ , доказать, что
21
∫∫un dσ = ∫∫nudσ = ∫∫∫ udv , где n – единичный вектор внешней нормали к
∑∑ T
поверхности∑ .
12. Пусть векторное поле задано в области Т, ограниченный поверхностью ∑ , а n – единичный вектор внешней нормали к поверхности ∑ . Доказать, что
∫∫[na]dσ = ∫∫∫[ a]dv .
∑T
13. Доказать формулу ∫∫∂u dσ = ∫∫∫ udv , где ∑ – гладкая поверхность, ограничивающая |
|||
|
|
∑ ∂n |
T |
область Т, |
∂u |
– производная скалярного поля по направлению внешней нормали к ∑ , |
|
|
∂n |
|
|
u= ( )u .
14.Доказать формулу ∫∫ϕ(an)dσ = ∫∫∫(ϕ a + a ϕ)dv , где ϕ = ϕ(M) – скалярное поле, ∑ –
∑T
поверхность, ограничивающая объём Т, n – единичный вектор внешней нормали к ∑ .
15. |
Доказать, что если u – гармоническая функция, то ∫∫∂u dσ = 0 , где |
∂u – производная |
||
|
|
|
∑ ∂n |
∂n |
по направлению нормали к кусочно-гладкой поверхности ∑ . |
|
|||
16. |
Доказать, что если функция U(M) является многочленом второй степени и ∑ – |
|||
кусочно-гладкая поверхность, то интеграл ∫∫∂u dσ пропорционален объёму, |
||||
|
|
|
∑ ∂n |
|
ограниченному поверхностью ∑ . |
|
|||
17. |
Пусть |
|
= (P,Q, R), где P, Q, R – линейные функции x, y, z , и пусть С – замкнутая |
|
a |
||||
кусочно-гладкая кривая, расположенная в плоскости. Доказать, что если циркуляция ∫adr
C
отлично от нуля, то она пропорциональна площади фигуры, ограниченной контуром С. 18. Доказать тождество ∫∫∫(a rotrotb − b rotrota)= ∫∫([b rota]−[a rotb])ndσ.
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
||||||||
19. |
Доказать тождество ∫∫∫(gradϕ rota |
)dv = ∫∫[ |
|
agradϕ]ndσ. |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
T |
|
|
|
∑ |
|||||||||||||
20. |
Вычислить интеграл ∫∫ |
|
( |
|
|
|
)dσ, где |
|
– постоянный вектор, |
|
– единичный вектор |
|||||||
r |
a |
|
n |
a |
n |
|||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
нормали к ∑ . |
|
|
|
|
|
|
]dσ преобразовать в интеграл по объёму, |
|||||||||||
21. |
Интеграл по замкнутой поверхности ∫∫[ |
|
|
|
||||||||||||||
nF |
||||||||||||||||||
∑
заключенному внутри поверхности.
22 Интеграл ∫∫(na)Fdσ , где a – постоянный вектор, ∑ преобразовать в интеграл по
∑
объёму, заключенному внутри поверхности.
23. Вычислить интеграл ∫∫(ar)ndσ, где a – постоянный вектор, n – единичный вектор
∑
нормали к поверхности ∑ .
24. Интеграл по замкнутому контуру ∫u dr преобразовать в интеграл по поверхности,
C
натянутый на этот контур.
25. Интеграл по замкнутому контуру ∫
u dv преобразовать в интеграл по поверхности,
C
натянутый на этот контур С ( u, v – скалярные функции координат).
22
11. Найти векторные линии, дивергенцию, ротор векторного поля a в
цилиндрических (1-13), сферических координатных (14-25).
1.a = er + ϕeϕ ;
2.a = rer + ϕeϕ + zez ;
3.a = r2 er + ez ;
4.a = ϕer + r2e lϕ;
5.a = er + reϕ + ez
6.a = zer + r2 eϕ + rez ;
7.a = er + 1r eϕ + ez ;
8.a = rer + ϕr eϕ + zez ;
9.a = ϕzer + zeϕ + rϕez ;
10. |
|
= er sin ϕ |
|
r + |
er |
cos ϕ |
|
ϕ + 2z sin ϕ |
|
z ; |
|
a |
e |
e |
e |
||||||||
r |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.a = ϕcos zer + cos zeϕ − r sin zez ;
12.a = rer + re−ϕ eϕ + eϕ cos zez ;
13.a = r2 er + 2cos ϕeϕ + ez ez ;
14.a = er + reθ + reϕ ;
15. |
|
= |
2cos θ |
|
|
r + |
sin θ |
|
|
θ ; |
|
a |
e |
e |
|||||||||
r2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
r3 |
|||||
16.a = eθ +sin θeϕ ;
17.a = cosr θer + r sin θeθ ;
18.a = θer + reθ + r sin θeϕ ;
19.a = r cos θeθ + reϕ ;
20.a = r2 er − 2cos2 θeθ ;
21.a = r2 er + 2cos θeθ −ϕeϕ ;
22.a = rer − r sin θeϕ ;
23.a = r sin ϕ2 eθ + r sin θcos ϕeϕ ;
24.a = r2 er +sin θeϕ ;
25.a = rer + r sin θeθ −3rϕsin θeϕ .
12.Вычислить градиент и лапласиан скалярного поля u в цилиндрических и сферических координатах.
1.u = x 2 yz ;
2.u = x + y + z ;
23
3. u = sin(x + y + z) ; 4. u = x 2 − y2 + z ;
5.u = y2 xz ;
6.u = ex2 y ;
7.u = ln(xyz) ;
8.u = e xyz ;
9.u = ex + ez ;
10. u = − |
1 |
; |
|
x + y + z |
|||
|
|
11.u = arctg(xz) ;
12.u = arcsin xy ;
13.u = xyz ;
14.u = cos(x 2 + y + z);
15.u = x + 1y ;
16.u = e−x2 −y2 +z2 ;
17.u = ln(x 2 + z2 );
18.u = x 2 y + z2 x ;
19.u = x 2 + y2 − z2 ;
20.u = x +sin y ;
21.u = x −ln yz ;
22.u = ex + ln z ;
23.u = ex −ez ;
24.u = sin x + ln z ;
25.u = cos y −sin x .
24