Случайный процесс

1.Случайные процессы

1.1.Функция распределения случайного процесса

Детерминированный процесс полностью определяется значением аргумента t. Для случайного процесса нельзя задать однозначное соответствие между аргументом и значениями функции. Одному значению аргумента может соответствовать множество значений функции, одни из которых более вероятны, другие - менее вероятны. Случай-

ный процесс ξ(t) - это функция времени, которая при любом значении времени t есть случайная величина. Во время эксперимента на-

блюдаются конкретные значения x(t) случайного процесса ξ(t), которые называются реализациями случайного процесса. Случайный процесс ξ(t) классифицируют по пространственно-временным признакам и по вероятностным характеристикам.

В общем случае и время t, и пространство значений x(t) случайного процесса ξ(t) принимают непрерывные значения. Такой процесс называется процессом общего типа, Рис. 1.1.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Рис. 1.3 Рис. 1.4

3

Если рассматриваются непрерывные значения времени t, а знанияченияx(tx)(случайногоt) процессапроцессаξ(t)ξ(дискретныt) , то,такойтотакойпроцесспроцессназывается дискретным процессом, Рис. 1.2. Если время t принимает дискретные значения, а значения x(t) случайного процесса ξ(t) непрерывны, то такой процесс называется последовательностью об-

щего типа, Рис. 1.3.

Если время t принимает дискретные значения и значения x(t) случайного процесса ξ(t) тоже дискретны, то такой процесс называ-

ется дискретной случайной последовательностью, Рис. 1.4.

Для всех типов случайных процессов необходимо задать (определить) область ξ возможных значений x(t) случайного процесса

ξ(t). В частности, случайный процесс ξ(t) может принимать значения в интервале ( , ), т.е. ξ : x(t) .

Рассмотрим r реализаций x(1)(t1),x(2)(t1), ,x(r)(t1) случайного процесса ξ(t) в момент времени t1 (Рис 1.5) и зададим некоторый порог x1. Из множества r реализаций выберем те m(x1,t1) реализа-

называется частотой появления реализаций, значения которых в

процесса ξ(t) в момент t1 не превышают некоторой постоянной величины x1. Эта вероятность зависит от величины x1, времени t1 и называется одномерной функцией распределения случайного процесса ξ(t)

4

Точно по такой же методике можно составить многомерную функ-

цию распределения

Wξ (x1,x2, ,xk,t1,t2, ,tk )

отражающую вероятность того, что значения случайного процесса в моменты времени t1,t2, ,tk не превысят соответствующих значе-

ний x1,x2, ,xk .

Таким образом, случайный процесс ξ(t) можно описать многомерной функцией распределения (1.2). Чем больше точек отсчета k функции распределения, тем более полно описан случайный процесс. Необходимое количество точек отсчета k в исследуемой функции распределения зависит от решаемой проблемы.

Для процесса общего типа и для последовательности общего типа вводится одномерная плотность распределения вероятности:

или многомерная плотность распределения вероятности,

w(x1, xk,t1, tk) dkW(x1, xk,t1, tk). (1.4) dx1 dxk

Используя формулы (1.3) и (1.4) , запишем интегральные формы одномерной и многомерной функций распределения

x

Для дискретного процесса и дискретной случайной последовательности вводится совместная вероятность того, что случайный процесс находится в состояниях x1, ,xj в моменты времени

t1, ,tk:

5

Одномерная и многомерная функции распределения дискретного процесса и дискретной случайной последовательности будут иметь вид

W(x,t) P ξ(t) xi ,

xi x

где xm,...,xj - значения случайного процесса на дискретном множе-

стве x.

Функция распределения вероятности обладает свойствами:

1. функция распределения является неубывающей функцией, т.е.

если x1 x2, то W(x1,t1) W(x2,t2),

0 W(x1,t1) 1, 0 W(x1, xk ,t1, tk ) 1

2. W( ,t1) 0, W(x1, , , ,xk ,t1, ,t j, ,tk ) 0,

W( ,t1) 1, W( , , ,t1, ,tk ) 1. 3. W(x1,x2,t1,t2)

W(x1,t1) W(x2,t2 /x1,t1) W(x2,t2) W(x1,t1 / x2,t2), W(x1, xk ,t1, ,tk )

W(x1,t1) W(x2,t2 / x1,t1) W(xk ,tk /xk 1,tk 1, ,x1,t1).

4. W( ,x2,t1,t2) W(x2,t2),

W(x1, xj 1, ,xj 1, ,xk ,t1, ,tj, ,tk )

W(x1, xj 1,xj 1, ,xk,t1, ,tk ).

Если ξ(t) - дискретный случайный процесс, то процесс описывается вероятностью P ξ(ti) xk p(xk,ti) - реализации xk случайного процесса в момент t ti, и функция распределения вероятности дискретного случайного процесса определена как

P ξ(ti) x p(xj ,ti).

xj x

Плотность распределения вероятности обладает следующим свойствами:

1.плотность распределения– неотрицательная функция w(x1,t1) 0, . . . , w(x1, xk ,t1, tk ) 0,

6

1.2. Моментные функции случайного процесса

Плотность распределения вероятности w(x1, xk ,t1, ,tk ) и функция распределения вероятности W(x1, xk ,t1, ,tk ) полностью описывают случайный процесс ξ(t). Функции распределения вероятности учитывают особенности случайного процесса. И чем больше точек отсчета ti, тем полнее описан процесс. Однако на практике часто встречаются задачи, в которых достаточно знать некоторые функции, характеризующие случайный процесс, такие как изменение среднего значения процесса во времени, энергию процесса, степень влияния одних значений процесса на другие и т. д. Эти функ-

ции называются моментными функциями случайного процесса.

Различают начальные, центральные и смешанные моментные функции.

Начальной моментной функцией k-го порядка называется неслучайная функция времени, которая имеет следующий вид

xk w(x,t)dx для непрерывного сл.пр

Mξk (t) mξk (t) ξ

xik p(xi,t), для дискретного сл.пр.,

i

где ξ - область определения случайного процесса в момент вре-

В частности, если k=1, начальная моментная функция первого порядка называется математическим ожиданием случайного процесса,

Рис. 1.6

8

B0 (t1 ,t2 ) M( (t1 ) (t2 )) M(( (t1 ) m (t1 ))( (t2 ) m (t2 )))

Корреляционная и ковариационная функции характеризуют степень статистической связи между значениями случайного процесса в моменты времени t1 и t2 и имеют размерность, равную размерности

квадрата измеряемой величины – [x2 ].

1.3. Стационарный случайный процесс

Ранее была произведена классификация случайных процессов по времени и пространству значений случайного процесса. С точки зрения вероятностных характеристик случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. Стационарные процессы в свою очередь подразделяются на процессы стационарные в узком смысле (строго стационарные) и широком смысле.

Случайный процесс (t) называется стационарным в узком смысле, если функция распределения и плотность распределения инвариантны относительно сдвига во времени, т.е. они не меняются при любом сдвиге всей группы точек t1,t2, ,tm вдоль оси времени на одну и ту же величину t0:

W(x1, ,xm,t1, ,tm) W(x1, ,xm,t1 t0, ,tm t0), w(x1, ,xm,t1, ,tm ) w(x1, ,xm,t1 t0, ,tm t0).

Случайный процесс, не обладающий этим свойством, называется x(t) w(x) нестационарным в узком смысле. Стационарный случайный процесс - это установившийся процесс и реализуется при не-

изменных внешних условиях. Из стационарности в узком

tсмысле следует: -независимость одномерной

функции распределения вероятности и плотности распреде-

10

ления вероятности от времени, (Рис. 1.7), W(x1,t1) W(x1,t1 t0) W(x1),

w(x1,t1) w(x1,t1 t0) w(x1)

- двумерная функция распределения вероятности и плотность распределения вероятности зависят от разности моментов времени t1, t2

- многомерная плотность распределения вероятности запишется как

Как видно из приведенных формул, математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная и ковариационная функции зависят от разности моментов времени.

Стационарность в широком смысле. Случайный процесс называ-

ется стационарным в широком смысле, если математическое ожидание и дисперсия процесса не зависят от времени, а ковариационная и

11

следует стационарность в узком смысле.

На практике многие задачи решаются только лишь с использованием моментных функций не выше второго порядка, т.е. иногда достаточно бывает знать функции распределения вероятности не выше второго порядка. Поэтому раздел теории случайных процессов, использующий распределения вероятностей не выше второго порядка, называется корреляционной теорией.

Свойства ковариационной и корреляционной функций.

1. Ковариационная и корреляционная функции есть четные функции, т.е.

Bξ (t1,t2) Bξ (t2 t1) Bξ (t1 t2) Bξ (τ) Bξ ( τ).

Это следует из определения ковариационной и корреляционной функций.

2.Для стационарного процесса имеем (Рис. 1.8) Bξ (τ) B0ξ (τ) m2ξ.

3.B0ξ (0) Dξ(t).

Для доказательства этого свойства рассмотрим ковариационную функцию B0ξ (τ) при τ 0

12