Случайный процесс

Последовательность случайных величин ξ1, ,ξn сходится в среднеквадратическом к величине m, если выполняется соотношение

Если m Mξ mξ, то сходимость в среднеквадратическом озна-

чает стремление дисперсии случайной величины ξnк нулю, то есть

Из сходимости в среднеквадратическом следует сходимость по вероятности. Действительно, согласно неравенству Чебышева

P ξn mξ ε Dεξ2n для любого ε 0.

Рассмотрим случайные процессы, называемые эргодическими.

Определение. Случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика, полученная усреднением по времени одной единственной реализации сходится по вероятности к соответствующей вероятностной характеристике, полученной усреднением по ансамблю.

Таблица 4.1.а

В таблицах 4.1.а и 4.1.б приведены некоторые числовые характеристики непрерывного и дискретного по времени случайного процес-

24

са, вычисленные по времени и по ансамблю. Из приведенных таблиц видно, что при вычислении среднего по времени используется произвольная k-ая реализация случайного процесса и средние по времени

, где означает усредняемую величину, не зависят от времени t.

Таблица 4.1.б

Следовательно, для того, чтобы сопоставить средние по времени и средние по ансамблю, необходимо рассматривать случайные процессы, стационарные, хотя бы в широком смысле.

Эргодический случайный процесс содержится в множестве стационарных случайных процессов.

В качестве критерия эргодичности используем критерий сходимости в среднеквадратическом

Tн

Определим условие эргодичности случайного процесса по отношению к среднему по времени, используя критерий сходимости в среднеквадратическом.

Среднее по времени для непрерывного случайного процесса имеет вид (Таблица 4.1.а)

25

Определим математическое ожидание и дисперсию среднего по времени:

Формула (1.42) отражает среднеквадратическое отклонение среднего по времени от среднего по ансамблю. Если с увеличением вре-

мени наблюдения Tн дисперсия среднего по времени Dξ(k)(t)

стремится к нулю, то имеем среднеквадратическую сходимость и, согласно неравенству Чебышева, будем иметь сходимость по вероятности, что необходимо для эргодичности процесса по определению.

Таким образом, в качестве критерия эргодичности стационарного случайного процесса относительно среднего по времени принимается

(1.39)

lim Dξ(k)(t) 0

Tн

Преобразуем выражение (1.42)

Dξ(k)(t) M ξ(k)(t) mξ 2 M ξ(k)(t1)ξ(k)(t2) m2ξ

Согласно критерию эргодичности должно соблюдаться

26

Достаточным условием выполнения (1.43) является стремление ковариационной функции к нулю при t2 t1 , т.е. с увеличени-

ем времени наблюдения статистическая связь между значениями случайного процесса должны ослабевать и через достаточно большой промежуток времени ими можно пренебречь. Упростим условие (1.43), для этого произведем преобразование координат

Определим область интегрирования для переменных τ и t0 (Рис.

(1.46) соответствует прямой 2.2 на плоскости (τ, t0 ). Область, ограниченная прямыми 1.1, 1.2, 2.1 ,2.2, будет областью интегрирования для новых переменных τ, t0 . Якобиан преобразования

Вычислим двойной интеграл (1.43)

27

Пример 4.1. Пусть процесс ξ(t) - стационарный случайный процесс с ковариационной функцией B0ξ (τ) m сos ω0τ. Доказать, что

Условие Слуцкого выполняется. Следовательно, процесс ξ(t) - эргодический по отношению к среднему по времени.

Пример 4.2. Найти условие эргодичности по отношению к среднему по времени для случайного процесса η(t) k ξ(t) Y b, где k

– постоянная величина, не равная нулю, ξ(t) - стационарный эргоди-

ческий случайный процесс с Mξ(t) mξ, Dξ(t) σξ2, Y – случайная

1.Вычислим η(t) k (ξ(t) mξ ) (Y mY) k ξ(t) Y,

оо

2.Вычислим B0η(t1,t2) M(η(t1) η(t2))

k2 B0ξ (t1,t2) σ2Y k2 B0ξ (t2 t1) σ2Y B0η(t2 t1).

ности t2 t1 стремится к постоянной величине σ2Y, а не к нулю, как

того требует условие эргодичности. Более того, если произвести проверку эргодичности процесса η(t) по условию Слуцкого, то увидим, что оно нарушается.

Следовательно, для того, чтобы процесс η(t) был эргодическим необходимо отсутствие случайной величины Y. Тогда в выражении для B0η(t1,t2) будет отсутствовать величина σ2Y и процесс η(t)бу-

дет эргодическим. Постоянные величины k и b не влияют на условие эргодичности исследуемого процесса.

29

Докажем, что процесс η(t) эргодический. Рассмотрим ковационнуюриационнуюфункциюфункциюпроцессапроцессаη(t).η(t).

B0η(t1,t2) M(η(t1),η(t2)) Mη(t1)Mη(t2).

Корреляционная функция процесса η(t)имеет вид

1 1

Bη(t1,t2) M(η(t1),η(t2)) yi yj P(η(t1) yi,η(t2) yj)=

i0j 0

vv v v

vv

B0η(t2 t1).

Как видно из предыдущего выражения, поведение ковариационной функции зависит от поведения совместной плотности распреде-

Разделив возможные значения v случайного процесса ξ(t) на интервалы с шагом v, определим величину плотности распределения вероятности для каждого i-го интервала при помощи (1.49).

31

1.7. Спектральная функция стационарного случайного процесса

При изучении спектральных свойств детерминированных процессов используется преобразование Фурье. Переход от временного представления процесса к частотному отображению позволяет исследовать амплитудные и фазовые характеристики процесса как функцию частоты. Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить исследуемый процесс.

Однако применить непосредственно преобразование Фурье к анализу случайных процессов невозможно, т.к. случайному процессу

ξ(t) соответствует множество возможных реализаций x(t) ξ(k)(t) и для каждого из них можно применить преобразование Фурье. В результате нельзя однозначно отождествить обратное преобразование Фурье со случайным процессом ξ(t). Поэтому для описания процесса ξ(t) пользуются усредненной спектральной характеристикой.

Рассмотрим стационарный случайный процесс ξ(t). Для каждой реализации ξ(k)(t) на интервале времени ( Tн /2, Tн /2) найдем преобразование Фурье и рассчитаем квадрат модуля преобразования Фурье FξTн (jω), приходящуюся на единицу полосы частот. Опреде-

лим математическое ожидание квадрата модуля преобразования Фу-

32