Электромагнитные поля и волны.-6

Для

случая постоянного

тока

( j 0,

/ t 0) система

уравнений

Максвелла для электрического поля имеет вид:

rotE

0, divD

, D E, j ПР E ,

(4.1)

Первое уравнение (4.1) показывает, что

электрическое поле постоянного тока подобно

электростатическому полю потенциально. Но в

отличие от электростатического. оно существует

и в проводящей среде,

где

.

Если

по

E

j /

проводнику протекает ток, то на его поверхности

появляется

отличная

от нуля

тангенциальная

(касательная)

составляющая

напряженности

Рис. 4.1

электрического поля E

(см. рис. 4.1). Отношение

нормальной

составляющей

Еn

к

тангенциальной Е

для

хороших

проводников имеет порядок 105 , и Е

пренебрежимо мало по сравнению с Е

n

.

При

вычислении

электрического поля

в идеальном

диэлектрике,

уравнений :

rotE 0

,

divj

0 ,

jпр

E .

( 4.2)

Ed 0, jdS

0 ,.

(4.3)

L

S

Сопоставим систему уравнений (4.2) и (4.3) с уравнениями

электростатического поля в среде, не содержащей зарядов,

(4.4)

rotE 0 ,

divD 0 ,

D E ,

Ed 0,

D dS

0 , ,

(4.5)

L

S

электростатики (4.4)

и (4.5) становятся справедливыми для электрического

поля в проводящей среде, если электрическую индукцию

заменить в них

D

плотностью тока

, а диэлектрическую

проницаемость

– удельной

j

проводимостью .

и

→

.

(4.6)

D

→ j

Однако,

тождественность

уравнений

еще

не

гарантирует

границах с хорошими проводниками. Действительно, как следует из второго

уравнения (4.3), нормальная

составляющая

на

границе двух сред

j

непрерывна

j1n j2n .

(4.7)

Касательные

составляющие в силу непрерывности Е

(E1 E2 )

связаны соотношением

( j1

/ 1) ( j2 / 2 ) .

(4.8)

При достаточном различии проводимостей

1 и

2

составляющей j1

можно

пренебречь

и считать

вектор

нормальным

к границе. Таким

j1

образом, совпадение граничных условий для векторов D

в электростатике и

в

проводящих

средах имеет место

только

на

границах

хороших

j

Уравнения

Максвелла

в Уравнения

Максвелла

в

дифференциальной форме

интегральной форме

rotH j

Hdl I

L

(4.10)

divB 0

BdS 0

(4.11)

B H

S

Если в области нет токов (магнитостатика),

то в уравнениях (4.10) и

(4.11) нужно положить

0

и I 0 . В этом

случае магнитное поле

j

оказывается потенциальным и напряженность магнитного поля можно

представить в виде:

H grad M ,

(4.12)

где M - магнитостатический потенциал, который подчиняется уравнению

Лапласа:

2 M 0 .

(4.13)

В тех случаях, когда в рассматриваемой области имеется ток ( j 0 )

магнитостатический потенциал M становится неоднозначной функцией.

Разность значений между точками K1 и K2

зависит от контура, по которому

выполняется интегрирование в формуле

K2

1M 2M Hdl

K1

,

(4.14)

а именно, при каждом обходе контура вокруг тока I

в положительном

создающим его

постоянным

током. Для

определения

магнитного поля

обычно вводят

векторный

потенциал

с вектором

A , связанный

B

соотношением

B rotA

(4.15)

Векторный потенциал стационарного поля удовлетворяет векторному

уравнению Пуассона

2A j

.

(4.16)

Если токи сосредоточены в ограниченной области V , на

поверхности S

или протекают по контуру L , то решение уравнения (4.16)

можно получить из соответствующей формулы для:

объемных токов

поверхностных

линейных токов

токов

I

d

A

j

dV

A

jS

dS

A

4 V R

4 S

R

4 L R

(4.17)

(4.18)

(4.19)

где R - расстояние от элементов dv, dS

или dl

до точки, в которой вычис-

ляется потенциал.

Переход от векторного потенциала

к напряженности магнитного

A

Для

объемных

Для поверхностных

Для

линейных

токов

j, r0

токов

jS , r0

токов

d , r0

1

1

I

H

dV

H

dS

H

4

R2

4

R2

4

R2

V

S

L

(4.20)

(4.21)

(4.22)

Дифференциальная форма закона Био – Савара для

линейных токов представляется в виде

I

dH

dl , r

Известно, что с магнитным полем в объеме V связана

магнитная

энергия

1

1

W M

BHdV

H 2dV

2

2

V

V

,

(4.24)

с плотностью энергии

wì

BH

H 2

2

2

(4.25)

С учетом (4.15) и (4.16) выражение (4.24) приводится к виду

1

W M

AjdV

2

V

,

(4.26)

уединенного контура L с током I примет вид

2

W M

J

A d .

(4.27)

L

Применим к интегралу в (4.27) теорему Стокса (1.26), получим

Ad rot AdS

Bd S

Ф ,

(4.28)

L

S

S

где Ф – магнитный поток через поверхность S , опирающуюся на контур S .

Подставив (4.28) в (4.27), получим

WМ I Ф / 2 .

(4.29)

В случае N N контуров выражение для WМ записывается:

1

N

W M

InÔn

2 n 1

,

(4.30)

Так как поток магнитной индукции

Ф L I

(4.31)

пропорционален L –индуктивности контура, то

W М I Ф / 2 LI 2 / 2

(4.32)

86

Фnk Mnk Ik

(4.33)

Коэффициент пропорциональности M nk при k n называют взаимной

индуктивностью контуров Lk

и Ln , а коэффициент M kk -собственной

индуктивностью контура Lk

Взаимная индуктивность определяется

следующим выражением

M

d ln d lk

nk

4 L L

r

(4.34)

n

k

индуктивности M kn , определяемой равенством

Фkn M kn In ,

(4.35)

Mnk Mkn .

(4.36)

Решение:

Плотность тока переноса n .в уравнениях Максвелла равна n

,

В процессе протягивания заряженной ( ) тонкой пленки со скоростью

создается поверхностная плотность тока

и по аналогии запишем .

Замыкаться они будут вне пленки (рис. 4.5).

Определим величину магнитного поля. Для определения Н

надо

перпендикулярно поверхности пленки поставить плоскость

и

Отсюда получаем

или 2 .

2

I1 2A и

I 2 1A . Расстояние между проводниками l ( рис. 4.6 ). Где

поля на расстоянии

r

от постоянного прямолинейного тока I определяется из

соотношения Hdl

2 rH , а циркуляция вектора Н , согласно (4.30), равна

L

току I. Следовательно, для первого и второго провода запишем уравнения

H

I1

;

H

I2

.

(4.34)

1

2 r

2

2 (l r)

I1

I2

;

2

1

;

2 (l r)

2 r

2 r

2 (l r)

Y

4

I

а

x

M(x,y)

2

1

y

3

а

X

Рис. 4.7

Решение. Представим квадрат в виде 4-х линейных токов и используя

I

I

(4.34), найдем поле Н от каждой пары H M 1

; H Ì 2

.

2 x

2 (a x)

Аналогично

H M 3

I

; H Ì

4

I

;

2 y

2

(a y)

Суммарное поле

4

I

1

1

1

1

H H Mi

.

a x

i 1

2 x

y a

y

Ищем экстремум по Х

dH

I

1

1

0

.

dx

2

2

(a x0 )

2

X 0

Отсюда

x02 a2 2ax02 x02 ;

2x02 a;

x0 a / 2 .

Ответ: H

4

I

4I

.

макс

a

a

2

2

W M

2 dV

1

2 L

H

I

2

2

Поскольку магнитное поле существует внутри и

снаружи проводника, то магнитную энергию и

индуктивность можно разделить на внутреннюю и

внешнюю. Определим в этой задаче только

внутреннюю индуктивность, поскольку для решения

Рис. 4.7

внешней задачи не хватает данных –не задан внешний

контур с током.

Определим I (r) и Н (r) в разных точках поперечного сечения рисунка

4.7. Для этого воспользуемся законом полного тока. Hd I , в котором I

L

есть ток, пронизывающий контур L . Согласно этому закону, магнитное поле

внутри трубы

(r R1)

будет равно нулю, поскольку

нет тока,

пронизывающего контур в этой области. Внутри проводника

(R1 r R2 )

контур радиуса r будет пронизываться частью полного тока.

I r r 2 R2 .

1

Очевидно,

что величина I (R2 )

дает полный ток в трубе.

Магнитное

поле внутри проводника определится как

H r

I r

j r 2 R2

1

2 r

2 r

.

(4.36)

W M

j

2

l 2

R2

r

j

2

l

1

1

R2

1

(r 2

R2 )2 dr

R4

R4 R2 R2

R4

R4 ln

I 2 L.

R r 2

2

4

1

4

4

2

4

1

1 2

1

1

R1

2

1

Откуда получаем L в виде следующего соотношения:

L

l

1

R4

3

R4

R2 R2

R4 ln

R2

.

2 (R22 R12 )2

4

2

4 1

1 2

1

R1