Электромагнитные поля и волны.-6

показанному на рисунке, радиус окружности R 1 / 2.

z

0,5

Рис. 1.17. К задаче №28

Ответ: Ц 2 .

33

Глава 2. Уравнения Максвелла

Целью данного занятия является закрепление теоретического материала путем решения задач по следующим вопросам курса:

уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах;

материальные уравнения;

граничные условия.

Вначале каждой части занятия приводятся краткие теоретические сведения; в конце занятия – задачи для самостоятельного решения с ответами.

2.1.Краткие теоретические сведения

во взаимной зависимости. Вектор E – напряженность электрического поля,

измеряемая в вольтах на метр ( В м ); вектор D – электрическая индукция –

кулон на квадратный метр ( Кл м2 ); вектор H – напряженность магнитного

поля – ампер на метр ( Ам ); вектор B – магнитная индукция – в веберах на квадратный метр ( Вбм2 ).

В компактной форме операций векторного анализа запишем уравнения Максвелла, которые заключают в себе основы теории электромагнетизма.

где q – заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S ; – объемная

плотность заряда.

4. Закон непрерывности магнитных силовых линий

уравнениям в дифференциальной форме осуществляется с помощью теорем

соответственно плотности тока смещения, плотности тока проводимости, плотности тока переноса и плотности стороннего тока.

Выражения каждого из токов приведены в таблице:

Вэти выражения входит – удельная объемная проводимость вещества.

Вкаждой конкретной задаче присутствует один или несколько токов, соответствующих условиям задачи.

2.1.1.Материальные уравнения

Связь векторов электромагнитного поля в некоторой материальной

35

напряженности электрического поля законом Ома в дифференциальной

Каждая среда характеризуется своими относительными проницаемостями – магнитной ( r ) и электрической ( r ) и удельной

проводимостью .

Материальные среды по своим свойствам делятся на однородные и неоднородные, линейные и нелинейные, изотропные и анизотропные.

Неоднородными являются среды, в которых параметры , и

являются функциями координат. Нелинейными являются среды, в которых параметры , и являются функциями самих полей. Анизотропные

среды отличаются от изотропных тем, что они в разных направлениях обнаруживают различные свойства. Для таких сред , и могут быть

представлены виде тензора. Тензор представляет матрицу, состоящую из 9 независимых элементов. Материальные уравнения в этом случае

2.1.2. Граничные условия

Граничные условия непосредственно следуют из уравнений Максвелла и определяют поведение векторов поля на границе раздела двух сред.

Каждый произвольно ориентированный вектор вблизи граничной поверхности может быть представлен в виде сумм нормальной и

где 0 – касательный к граничной поверхности единичный вектор; n0 –

нормаль к поверхности. Поэтому граничные условия формулируются для тангенциальных и нормальных компонент поля.

Граница может проходить между двумя диэлектриками (граница д-д) и между диэлектриком и металлом (граница д-м). Ниже приведены граничные условия для этого вида границ.

Граничные условия для нормальных компонент электрического поля на границе диэлектрик-диэлектрик:

D1n D2n – при отсутствии поверхностного заряда S на границе

раздела;

D1n D2n S – при наличии поверхностного заряда S на границе раздела;

36

n0 D1 D2 S – векторная форма записи граничных условий;

первой и второй среды соответственно.

Граничные условия для тангенциальных компонент электрического поля на границе диэлектрик-диэлектрик:

проницаемости первой и второй среды соответственно;

E1 E2 .

Граничные условия для тангенциальных компонент магнитного поля на границе диэлектрик-диэлектрик:

первой и второй среды соответственно;

H1 H2 – при отсутствии поверхностного тока jS на границе

Граничные условия для компонент электрического и магнитного полей на границе диэлектрик-металл:

Dn S , где S – плотность поверхностного заряда на границе

раздела;

E 0;

B1n 0 ;

H jS , где jS – плотность поверхностного тока на границе раздела

диэлектрик-металл.

37

2.2. Примеры решения задач

Задача №1

равен нулю – это означает, что нигде нет ни начала, ни конца линий jполн (сколько линий входит в объем, столько и выходит). Следовательно, линии полного тока непрерывны и замкнуты.

Задача №2

Используя уравнения Максвелла, вывести уравнения непрерывности и закон сохранения заряда.

Решение:

Закон сохранения заряда утверждает, что всякому изменению заряда в некотором объѐме соответствует электрический ток, втекающий в объѐм или вытекающий из него. Он является следствием закона непрерывности полного тока.

Задача №3

В сферическом объѐме радиуса R равномерно распределѐн гармонически изменяющийся заряд с объѐмной плотностью 1 cos t .

Чему будет равен ток проводимости, связанный с этим зарядом?

Решение:

Используя закон сохранения заряда

Продифференцировав объемную плотность заряда по времени и учитывая, что объем сферы равен 34 R3 , получим:

Iпр 34 R3 sin t.

Задача №4

Может ли вектор B x0 5x y0 y быть вектором магнитной индукции?

39

Решение:

Заданный вектор может быть вектором магнитной индукции только в том случае, если он будет удовлетворять четвертому уравнению Максвелла. Так как

то заданный вектор не может быть вектором магнитной индукции.

Задача №5

Положительный заряд с объѐмной плотностью 10 3 Клм3 равномерно распределѐн в сферическом объѐме радиуса R 1 см (рис. 2.1). Найти вектор электрического смещения D и вектор напряженности

электрического поля E в областях:

1. 0 r R ;

2. R r .

Построить график зависимости D r . Дать численный результат при: r1 0, 2 см , r2 1 м.

Рис. 2.1. К задаче №5

Решение:

Исходной формулой для решения этой задачи является третье

S

где r0 – единичный радиус-вектор. Следовательно:

1. Для первой области ( 0 r R ) при S 4 r2 получим:

2. Для второй области ( R r ) получим:

40

показанный на рис. 2.2.

Рис. 2.2. К задаче №5

Задача №6

По прямолинейному круглому проводнику протекает ток силою I . Найти выражения, определяющие напряженность магнитного поля внутри проводника (область 1 – 0 r R ) и вне проводника (область 2 – R r )

. Построить графики зависимости H r .

Произвести численные расчѐты при следующих данных: радиус проводника R 1 см , величина тока I 1 А , r1 0,5 см и r2 1 м.

Решение:

Для решения этой задачи используется первое уравнение Максвелла в