Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электромагнитные поля и волны.-6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

10lg

c 2 c;

…

10lg

c n 1 c;

10lg

c n c.

n 1

rn 1

Далее надо связать отношение радиусов различных эквипотенциальных

сфер:

10lg

c n c c n c

n 1

rn 1

или

10lg

n c.

rn 1

Зададимся c 10 , тогда lg

n . Отсюда

10n , r

10n r

rn 1

n 1

Тогда r

r 10 n . Пусть r

10м 103 см . Тогда

n 1

r r 10 1

103 10 1 102 см ;

r r 10 2

103 10 1 10 см ;

r r 10 3

103 10 3 1 см ;

r r 10 4

103

10 4 0,1 см и т.д.

Вывод. Расстояния между соседними эквипотенциальными сферами

уменьшаются по мере увеличения потенциала.

Задача №3

Найти производную плоскопараллельного

поля

M x2 y2

точке M

3, 2 по направлению вектора

3 .

Решение:

32 2 .

По теореме Пифагора находим l :

Используя

свойства градиента, запишем

Gl G

cos x0 l

cos y0

Подготовим из условий задачи заготовки:

cos

;

cos

;

2x 2 3;

2 y 4.y

тогда

M
									1		3

		cos xo	l		cos yo	l	2	3		4		3
l	l			y					2		2

Ответ: 3 .

Задача №4

Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля

5x2 yz 5xyz2 7xy2 z в точке М (1, 1, 1).

Решение:

Запишем формулу для определения градиента скалярного поля: :

grad	d		d			d
		x0		y	0		z0

	dx		dy			dz

Проведем дифференцирование и в полученные результаты подставим

координаты точки M :					10xyz								5x2 z 5xz 2 14xyz
	grad x			0	10xyz		5 yz 2 7 y z z y					0	5x2 z 5xz 2 14xyz
				0								0

	z	0	5x2 y 10xyz 7xy 2 8x						0	4 y	0		8z	0
		0							0		0			0

Ответ:	grad 8x0					4 y0		8z0 .

Задача №5

Найти векторную линию магнитного полупроводника

	i
H	i	0 , где	R – расстояние от оси провода до точки M , r

	2 R
	2 R
вектор точки M .
	Решение:
	Раскрыв векторное произведение z0 , r , получим
			z0 , r	x0	y0	z0
				x0	y0	z0
				0	0	1	yx0 xy0 .
				x0	y0	0
	Следовательно,

стоком

–радиус-

yx0

xy0 .

2 R

Дифференциальное уравнение векторных линий запишется:

откуда x2 y2 R2 ,

z c . Т.е. векторные линии являются окружностями с

центром на оси Z .

Ответ: x2 y2

и z c .

Задача №6

Найти уравнение

векторных

линий поля

A ,

A r, x

, где

r –

радиус-вектор, r

x0 x y0 y

z0 z .

Решение:

A x x y y z

z, x

z y ,

Ответ: x c , y2

z2 c .

Задача №7

Вычислить	дивергенцию радиус вектора в прямоугольной системе
координат

		r	x0 x y0 y z0 z.
Решение:
Записываем		формулу дивергенции			и,	подставив в нее заданное

значение вектора r		, дифференцируем:
			x	y		z 3.
		div r	x	y		z 3.
			x	y		z

Ответ: 3.

Задача №8

Вычислить div векторного поля заданного в виде 2xyzr .

	24
Решение:

Используя свойство	дивергенции	div( a)	div a a grad ,
распишем заданное значение:
div 2xyzr 2xyz div r r grad 2xyz .
Продифференцируем радиус-вектор и проделаем необходимые
математические операции:

div 2xyzr	6xyz x0 x y0 y z0 z

x0

Ответ:

2xyz			2xyz			2xyz
	y	0		z	0		6xyz 6xyz 12xyz.
x			y			z

12xyz .

Задача №9

Найти ротор вектора H

x0 y y

0 x .

2 R2

Решение:

Формула для вычисления ротора векторного поля rot H в декартовой

системе координат имеет вид:

rot H

H x

H y

H z

Подставляем в нее x -вую

y -вую составляющие напряженности

заданного магнитного поля и вычисляем определитель. Полученное значение

показывает направление и величину искомого rot H .

rot H

2 R2

Ответ: z

Задача №10

Определить циркуляцию

вектора

поля

5x y0

по

контуру,

указанному на рис. 1.10.

Рис. 1.10. К задаче №10

Решение:

Воспользуемся теоремой Стокса:

Adl

rot Ad S,

Вектор определяем по формуле

rot A

z0 5;

Тогда циркуляция Ц будет:

Ц z0 5z0 dS 5z0

z0 9

45.

Ответ: 45 .

Задача №11

А. Вычислить циркуляцию

вектора

y2 x0

x2 y

по

контуру,

приведенного на рисунке, используя теорему Стокса.

По определению циркуляции:

Ц adl

, где dl x0dx

y0dy.

Рис. 1.11. К задаче №11

Решение:

Используя теорему Стокса, подставив значения ротора вектора a ,
проинтегрировав полученное выражение, получим:

Ц adl		rot a d S						2 x y z0 z0dydx
			S							0
			1 x		2	0		0 y		2	1
					2	0				2	1
	2 y						x					1	1	0.


			0	2				1	2
Ответ: Ц 0 .						1					0
						1					0

Задача №12
Определить поток вектора a x0								через площадку, перпендикулярную

оси X , имеющую форму прямоугольника со сторонами равными 1 и 2.

Рис. 1.12. К задаче №12

Решение:

Потоком векторного поля через ориентированную поверхность S называется величина П =

Запишем ее с учетом выражения для вектора a

П ad S	a, n0	dS x0 x0dS 2.
S	S	S

Отметим, что при изменении направления нормали на противоположное поток меняет знак: П 2 .

Ответ: П 2.

Задача №13


Вычислить поток векторного поля a R ,	где R r0r z0 z (где		r0 –
единичный радиус-вектор )через поверхность	цилиндра	радиуса R	и
высотой h (рис. 1.14).

Рис. 1.13. К задаче №13

Решение:

Искомый поток

П П1 П2

П3 , где П1 ,

П2 , П3 – потоки через

поверхности S

, S

. Следовательно,

П1 ad S

(r0r

z0 z)r0dS R2 Rh 2 R2h;

П2 (r0r z0 0)z0dS, r0 z0 0 П2 0;

П3 (r0r z0h)z0dS h R2 .

Искомый поток П П П 3 R2h .

Данную задачу можно решить с применением теоремы Остроградского

– Гаусса:

Ad S div a dv.

В цилиндрической системе координат

div A

z .

Заданный вектор a имеет 2 проекции a

r 0r

z0 z . Поэтому

div a	1 r2	z	3,	div a dv 3 dv 3 R2h.

	r r	z
				V	V

Решение задачи стало значительно проще, однако при определении потока надо учитывать, что поверхность, пронизываемая потоком, должна быть замкнута.

Задача №14

Сколько из приведенных полей являются потенциальными?

A x2 x0 y2 y0 ; В xx0 y z0 .

Решение:

Потенциальной является поверхность, когда rot a 0 .

1) rot A

0 ;

rotВ

x01

Ответ: Поле A является потенциальным.

Задача №15

Сколько из приведенных полей являются соленоидальными?

1)	A	2z x0 ;

2)	B	8y2 z0 ;

3)	D 3z2 y .
		0

Решение:

В соленоидальном поле div A 0 . Проверяем:
	2z
1) div A	2z			0 ;
1) div A		y		0 ;
		y
		8 y	2
			2
2) div B					0 ;
2) div B		z			0 ;
		z

	3z	2

3) div D			0 ;
	x

Ответ: Соленоидальные все три поля A , B и D .

1.5. Задачи для самостоятельного решения

1.	Найти	наибольшую			скорость		изменения	поля
5x2 yz 7xy2 z 5xyz2 в точке М 1,1,1 .
2.	Найти градиент скалярной функции					r , определяющей расстояние
между текущей точкой М x, y, z и постоянной точкой A a,b,c .

Ответ: G grad r r0 ,			r	r0 r .
3.	Найти grad скалярного поля U x, y 3x2 y 3x y3 y4							в точке
M 1, 2 .
Ответ: 3х2 у 3ху3 у4 .
4.	Определить уравнения силовых линий поля

		E	10z x0		20 y0	10xz0 .

Ответ:	x2 z2 C2	, zy 2x C .
	1		2
5. Определить уравнение силовых линий

		E 10z x0 2		y0		10xz0 .
Ответ:	x2 z2 c2 , 2х zy c .
	1		2

6. Найти уравнения		силовых	линий		B	поля, где	B K, r	, r	–

радиус-вектор.
Ответ xdx ydy 0,		x2 y2	c2 .
7. Определить поток радиус-вектора через поверхность единичного
куба.
Ответ:	3.

8. Определить поток радиус-вектора через поверхность единичного

куба.
Ответ: 3.

9. Найти поток вектора r – радиус-вектора.

Ответ: 2 y0 .
						, где r
10. Найти div вектора A			r, r, k			, где r	– радиус-вектор.

Ответ: 2z .
11. Сколько из приведенных ниже формул являются ложными?
										2;
1)	rot grad 0; 2)	rot x y0		z x0 0 ; 3) div y y0				z z0		2;
									0 .
4)	div a div a a grad ; 5)				div x x0		z2 y0 y2 z0		0 .
Ответ: 3.
12. Сколько из приведенных ниже соотношений ошибочны?

1)	H dl rot H dl ; 2)		div rot B dV 0; 3) Dd S div D dV ;

L	S	V
4) rot grad dV 0 ; 5)
		rot H d S .

S V

S		S
Ответ: 3.
			по контуру, указанному
13. Определить циркуляцию		вектора A	по контуру, указанному
							.
рисунке. Вектор	A задан как векторное произведение			A z		, r	.
					0

	Рис. 1.14. К задачам №13-14
Ответ: 1.

14. Вычислить циркуляцию вектора		A mz2 x0 по контуру
показанному на рисунке 1.17.
Ответ: 0.

15. Вычислить циркуляцию вектора A		5x0	7 y0 по контуру L .

Рис. 1.15. К задаче №15

на

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023652.23 Кб9Электромагнитные поля и волны.-1.pdf
#
05.02.20231.87 Mб6Электромагнитные поля и волны.-2.pdf
#
05.02.20232.38 Mб29Электромагнитные поля и волны.-3.pdf
#
05.02.20234.03 Mб7Электромагнитные поля и волны.-4.pdf
#
05.02.20233.52 Mб24Электромагнитные поля и волны.-5.pdf
#
05.02.20234.03 Mб29Электромагнитные поля и волны.-6.pdf
#
05.02.20234.17 Mб32Электромагнитные поля и волны..pdf
#
05.02.20233.12 Mб16Электроника 1. Физические основы электроники-1.pdf
#
05.02.20231.01 Mб9Электроника 1. Физические основы электроники.pdf
#
05.02.2023688.65 Кб7Электроника 2. Электронные приборы.pdf
#
05.02.2023437.06 Кб4Электроника, радиотехника и системы связи.-1.pdf