Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электромагнитные поля и волны.-6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

171

	кр E	2 R	кр H	2 R
	кр E	mn и	кр H	mn ;	(8.13)
		mn и		mn ;	(8.13)
Е010	Е011		Н111		Н211

Линии поля Н

Линии поля Е

Рис. 8.7. Структуры полей в цилиндрическом резонаторе для колебаний

типа Нmnp и Еmnp .

Критические длины волн некоторых типов колебаний приведены в

таблице 8.2.

При

расчѐте резонансной

частоты

следует

помнить,

что для

колебаний

Hmnp

индекс

p 1,2,3, , а

для

колебаний

Emnp

возможны

значения p 0,1,2,

Таблица 8.2. Значения кр

цилиндрического волновода

Типы

Н31

волн

кр

2,613R

1,64R

1,223R

1,64R 3,41R 2,06R 1,496R

В цилиндрическом резонаторе основными типами (имеющие минимальные резонансные частоты) колебаний считаются колебания Н111 и

172

Е010. Возможны вырожденные колебания, когда одному значению резонансной частоты f0 соответствует несколько различных типов

колебаний. В цилиндрических резонаторах все колебания с индексом m 0 имеют двукратное вырождение, проявляющееся в повороте плоскости

поляризации по координате на 900 , т.е. структуры этих типов колебаний

одинаковы, но по углу повернуты друг относительно друга на 900 . Запасенная в цилиндрическом резонаторе энергия вычисляется по

формулам:

– Колебание типа E010

0,423 E 2

a 2 h

(8.14)

E 010

max

– Колебание типа E011

)

(

WE 011 Emax

(2 01

(8.15)

– Колебание типа H 011

0,316 E2

a2h

;

(8.16)

Н 011

max

– Колебание типа H111

0,749 E2

a2h

(8.17)

Н111

max

Собственная

добротность

цилиндрических

резонаторов

рассчитывается для колебаний Нmnp

и Еmnp

по формулам, которые имеют вид:

– Колебание типа E010

Q0 E 010

2Rs

(8.18)

– Колебание типа E011

Q0 E 011

2Rs

2a h

(8.19)

– Колебание типа H 011

Q0 Н 011

a2h р2

2 a2

h2 ;

(8.20)

– Колебание типа H111

a 2

2 3 2

p (1

112

Q0 H 111

a 2

a 2 2

112

)

11h

(8.21)

						173
где	0	c	-резонансная длина волны резонатора для					данного типа
где	0	f0	-резонансная длина волны резонатора для					данного типа
		f0
колебания.

	RS				поверхностное сопротивление стенок резонатора. (8.22)
	RS			2	поверхностное сопротивление стенок резонатора. (8.22)
				2
	Если резонатор заполнен диэлектриком, то добротность его следует
определять по формуле:
					Qобщая1	1
							,	(8.23)
						1Q tg	,	(8.23)
						0
						0

где tg - тангенс угла потерь диэлектрика, заполняющего резонатор.

В коаксиальных резонаторах основной тип колебания Тmnp Т001 T1 ,

резонансная длина волны которого при воздушном и диэлектрическом заполнении определяется формулами:

0	2L	,		2L
		,	0		r
					r

т.е. длина резонатора равна половине длины волны в нем. Амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей в коаксиальных резонаторах на основном типе колебания T1 имеют вид:

sin(

z)e j t

sin(

z)e j t

(8.24)

cos(

z)e j t

cos(

z)e j t

rZW

где A E0 R1, E0 ,

E0 -напряженность электрического поля у поверхности

внутреннего проводника; U - разность потенциалов между внутренним и внешним проводниками (амплитуда напряжения)

Собственная добротность медного коаксиального резонатора находится по формуле (размеры в сантиметрах):

Qо			2,4 104
Qо				1	1
				1	1
		4		R		R
	0			R		R
	0			2		1
				2		1
		L		2,3 lg( R2		R1 )
							.	(8.25)
							.	(8.25)

174

8.2. Примеры решения задач

Задача №1

В прямоугольном резонаторе, имеющем размеры: а 3 см, в 2 см, l 4 см. см. Определить его резонансную длину волны и

резонансную частоту. Какой тип колебаний будет основным? Какой тип колебаний будет ближайшим к основному?

Решение:

Низшим – основным будет тип колебаний, у которого один индекс равен нулю, а два других – единице. Низшими могут быть типы Н101, Н011, Е110 .

Формула резонансной частоты

m 2

f 0 mnp

r r

(8.26)

0 mnp

f 0 mnp

, где C

f 0 mnp

Подставляя в формулу частоты индексы m,n, p, ,

определим частоты и

длины волн указанных типов колебаний

Н101

6,255 ГГц,

101

6,255 ГГц, – Основной тип волны.

Н011

13,72 ГГц

011

2,186 см

Е110.

9,014ГГц

0 110

=3,328 см

Задача №2

Цилиндрический объемный резонатор диаметром 2R 5см ,			длиной
l 6см заполнен	диэлектриком с параметрами r 2,56 ;	tg	2 10 4 .
Материал стенок -	медь, удельная проводимость которой 5,7 107 См			.
			м

Какой тип колебаний в резонаторе является основным? Найти резонансную частоту и добротность на этом колебании.

Решение

Из колебаний типа Н основным является

Н111

резонансная частота

p 2

2 R

которого f 0

, кр

3, 41R .

кр

Из колебаний типа Е -

основным является

Е010

резонансная частота

определяется из

выше

приведенной

формулы,

если подставить

кр E 2 R 2,613R .

После подстановки критических длин волн и индексов р в резонансные частоты можно убедиться, что основным является колебание

Е010

175

1 2

3,521 109

f 0 Е

МГц

r r

2,613R

0 1 0

2,613R

Добротность определяем по формуле

Q0 E 010				2 f0 E 0 r			Rl
					0 1 0
							R l
				2

					2
					2
	2 3,14 3,521 109					4 3,14 10 7		0,025 0,06
									31323
								0,025 0,06

	2	2	3,14 3,521 109 3,14 10 7
	2				2 5,7 107
					2 5,7 107

Q		1			1				1		4,347	103

								4		4
0E 010	1		tg	1	2	10 4	0,3 10	4	2 10	4
	1			1


	Q0 E 010			31323
	Q0 E 010			31323

Задача №3

Можно ли в коаксиальный резонатор, имеющий размеры R1 = 6 мм,

R2 =24 мм, L 100 мм и работающий на основном колебании типа Т , накопить предельную энергию 0,55 10 3 Дж , если максимально допустимая напряженность электрического поля 30 кВ / см .

Решение:

Энергия, запасаемая в резонаторе, вычисляется по формуле

WE 2 dV

V 2 .

Электрическое поле основной волны в коаксиальном резонаторе имеет только радиальную составляющую (8.24)

r Ar sin( pL z)

Определим накопленную энергию, учитывая при интегрировании выражение для элементарного объема в виде dV R1d drdz

W [

sin(

z)]2

A2 L ln(

)

(8.27а)

Максимальная напряженность электрического поля, согласно (8.24), существует в середине резонатора на поверхности внутреннего проводника,

т.е. при r R . Ее значение равно мах А R1 , откуда A R1 EМАХ .

С учетом полученного выражения для А запасаемая

равна	Е2
W		мах	R L ln(	R2	)

	2		1	R1

После численных подстановок, получаем

энергия будет

(8.27б)

176

	W	A2 L ln(	R2		) 10,395 10 4 Дж
	W	A2 L ln(			) 10,395 10 4 Дж
	2			R1
Ответ: в коаксиальном резонаторе, указанных размеров можно
накопить	предельную	энергию			0,55 10 3 Дж	,	так	как
10,395 10 4	Дж 0,55 10 3 Дж .

Задача №4

Из отрезка стандартного прямоугольного волновода с поперечным сечением а в 72 34 мм образован прямоугольный объемный резонатор с резонансной частотой 3 ГГц на колебании типа Н101 . Определить длину

резонатора. Как изменится резонансная частота, если резонатор заполнить диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью r =3,7?

Решение:

Воспользуемся формулой (8.26), подставим индексы типа колебаний

1 2

0 Н 101

и определим выражение для длины резонатора

5,12см .

(2 f0101

( 1

Если резонатор заполнить диэлектриком, то резонансная частота

уменьшится в r и станет равной

3 109

1,559 109 ГГц

3,7

Ответ: L 5,12см ,

f 0

r 1,924

раза .

Задача №5

В прямоугольном резонаторе a b L возбуждается тип колебаний Н101 .

Определить мощность потерь в стенках резонатора, при протекании токов проводимости.

Решение:

Картина силовых линий в прямоугольном резонаторе на типе

колебаний Н101

приведена на рис.8.3, из которой видно, что магнитное поле

имеет две составляющие H z

и H x , а согласно (8.2), равные

cos

π x

sin

π z

Н х

H m (

) 1 sin

π x

cos z

L a

L .

(8.28)

В соответствии с граничными условиями для тангенциальных

составляющих

магнитного

поля,

ток проводимости

равен

jпр H на

границе. Направление токов определяется правилом вращения буравчика: движение буравчика совпадает с направлением магнитного поля, а

177

направление токов совпадает с направлением вращения рукоятки в стенке резонатора. Мощность потерь в стенках можно разделить по пределам интегрирования на три интеграла: две боковых, две торцевых и по верхней –

нижней граням. Составляющая поля H z

в боковых стенках при х 0

и х а

вызывает

составляющую

тока проводимости

jy .

Потери

стенках

прямоугольного резонатора

{ L b (H

cos

π x

sin

π z

при x 0, a dy dz a

b (H

(

) 1 sin

π x

cos z )2 при z 0,L dx dy

пот

L a

L (H

π x

π z

a L

π x

cos z )2 при y 0,b dx dz}

cos

sin

)2 при y 0, b dx dz

(

) 1 sin

H 2 m {

(

)2 (

) 2

(

) 2 (

)} 2R

H 2 m {

(

(1 (

)2 }, Вт

L a

4 L a

L 2

(8.29)

Задача №6

Для измерения параметров диэлектриков используется цилиндрический резонатор на колебании Н 012 как не имеющий продольных

токов проводимости (рис.8.7). Открывается торцевая крышка, и резонатор полностью заполняется диэлектриком. Измеренные резонансные частоты

резонатора без диэлектрика f0 , с диэлектриком f0 , и добротности без диэлектрика Q0 , с диэлектриком Q0 .

Вывести формулы для расчета относительной диэлектрической проницаемости

и тангенса угла диэлектрических потерь по измеренным величинам.

Решение:

Выражение для резонансной частоты колебания Н 012 .

1 2

2 2

f 0

1,64R

r .

Из этого выражения получим формулу для определения относительной

диэлектрической проницаемости

2 1

1 2

r (

)

{

} (

)

1,64R

(8.30)

Добротность резонатора, заполненного диэлектриком, определяется

выражением:

Q0 r

Q0 ,

		178
откуда
tg	1		1
tg	Q0 r		Q0

				(8.31)
				(8.31)

Задача №7

В прямоугольном	медном резонаторе,	имеющем размеры:
а 5 см, в 3 см , l=5 см	возбуждается колебание	Н101 . Определить его

резонансную длину волны и резонансную частоту. Найти добротность на этом колебании.

Решение:

Воспользуемся формулой (8.26) для определения резонансной частоты

			1	2	1 2	3 108
		C						1		2		1		2
f	0 101						(		)		(		)		4,24ГГц
		2				2		10 2				5 10 2
			a		L		5

Резонансную длину волны определяем :

0 Н101 С f0 101 7,07см

Для нахождения добротности резонатора можно воспользоваться несколькими способами. Первый, использовать соотношения (8.5), (8.6), для которых в задаче 5 найдены из (8.2) составляющие поля заданного типа колебания, получено выражение мощности потерь в стенках. Второй,- воспользоваться общей формулой (8.8а) для получения из неѐ выражения добротности нашего типа колебания. Третий, провести оценку добротности по упрощенной формуле, получив ее. Мы воспользуемся первым и третьим способами и сравним рассчитанные по формулам результаты.

H 2

H 2 m

{(cos

π x

sin

π z

)2 (

sin

π x

cos

z )2

}dxdydz

H 2 m

abL[1 (

)2 ]

(8.32)

Р 2R

H 2 m {

(

(1 (

)2 }

пот

abL[1 (

)2 ]

(

2 ab

(1 (

а 2

16RS

{

)

) }

(8.33)

Получим

упрощенную

формулу

оценки

добротности

для любого

резонатора и типа колебаний в нем. Используем общую формулу добротности

			H m2 dV
Q0	W	V
	P n	RS	H 2m dS

и предположим, что вариации поля внутри резонатора отсутствуют, т.е.

179

хm

const, Н

H 2

Н 2

const,

101 ,

тогда

(2 ) S

2 ( ) S

где

2 - глубина проникновения электромагнитной волны в стенки

резонатора. Получена упрощенная формула практической оценки добротности любого резонатора

																	Q			2		V
																	Q
																	0			S																	(8.34)
																				S																	(8.34)
Рассчитаем добротность резонатора по (8.33), (8.34)
	Q					2					V	13600
	Q											13600
		0			2 ( ) S
					2 ( ) S
																	2																	5 3 5

																															2 (2 3 5 5 5)
		2		2 3,14 4, 24 109													4 3,14 10 7								5,95 107						2 (2 3 5 5 5)

						abL[1 (							a		)2 ]													V[1 (				a	)2 ]
						abL[1 (									)2 ]								1					V[1 (					)2 ]						V
Q0													L										1									L							V
													L																			L
				bL		(	а		2	ab				aL		(1 (		а	2				8		2bL	(	а		2 2ab					aL	(1 (	а	2		2 S
	16R {							)											)		}			{				)									)	}
	16R {							)											)		}			{				)									)	}
			S	2			L			2			4					L							4		L			4			4			L
				2			L			2			4					L							4		L			4			4			L

Вывод. Формула (8.33) дает величину добротности в четыре раза меньше, чем (8.34 ). Не учет вариаций поля внутри резонатора приводит к завышению добротности, хотя позволяет быстро оценить ее величину.

8.3. Задачи для самостоятельного решения

1 В	коаксиальном резонаторе из		меди ( 5,7 107 См	), имеющем
			м
размеры	R2 16 мм, R1 7мм	и L 50мм	возбуждается колебание T1 .

Определить резонансную длину волны, резонансную частоту и собственную добротность.

Ответ: 0 =10 см , f0 3 ГГц, Q 2,3 102 .
2	В	прямоугольном резонаторе	из меди ( 5,7 107 См		),	имеющем
				м
размеры:		а 58 мм, в 25 мм, l 40 мм	возбуждается	колебание		типа	Н101 .
Определить резонансную частоту и собственную добротность.
Ответ: 0 4,53cм, f0 4,53ГГц , Qо = 1,1 104
3	В цилиндрическом объемном резонаторе из меди ( 5,7 107 См						м	),
							м
длиной	l 5см возбуждается колебание типа Н011 .			Определить диаметр

180

резонатора, чтобы он оказался настроенным на резонансную частоту f0 6825 МГц .

Ответ: 2а 60 мм .

4 Определить собственную добротность цилиндрического объемного резонатора из меди длиной l 4см . В резонаторе возбуждается колебание типа Н011 с длиной волны 0 2,5 см .

Ответ: Q0 2,35 104

5 Определить резонансную длину волны и резонансную частоту основного типа колебаний в кубическом резонаторе со стороной 20 мм .

Ответ: 0 1,414см , f0 21,216 ГГц ,

6 Какой тип колебаний будет основным в прямоугольном резонаторе, имеющем размеры: а 4 см, в 2 см, l 3 см ? Определить его резонансную

частоту. Какой тип колебаний будет ближайшим высшим? Определить его резонансную частоту.

Ответ: Н101 ; ; f0 6250 МГц; E110; f0 8386МГц.

7 Определить размеры кубического резонатора, низшая резонансная частота основного типа колебаний которого 5 ГГц .

Ответ: 42,4 мм 8 В цилиндрическом объемном резонаторе возбуждаются на одной

частоте колебания типов Н111 и Е010. . При каком отношении радиуса к длине цилиндрического резонатора это возможно?

Ответ: а L 0,493

9 Резонансная частота колебания типа Е011 равна 10 ГГц . Диаметр

цилиндрического объемного резонатора в два раза меньше его длины. Определить диаметр резонатора.

Ответ: 2,41 см
10 Стороны прямоугольного объемного	резонатора относятся как
2 :1:3 . Резонансная частота колебания типа Н111	равна 8 ГГц . Определить
размеры резонатора.
Ответ: 43,75мм : 21,88мм : 65,62 мм

11 В цилиндрическом объемном резонаторе возбуждаются на частоте 4 ГГц колебание типа Е010 , а на частоте 5 ГГц возбуждается колебание типа

Н111 .

Определить размеры резонатора.

Ответ: а 2,871 см; L 3,795 см.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023652.23 Кб9Электромагнитные поля и волны.-1.pdf
#
05.02.20231.87 Mб6Электромагнитные поля и волны.-2.pdf
#
05.02.20232.38 Mб29Электромагнитные поля и волны.-3.pdf
#
05.02.20234.03 Mб7Электромагнитные поля и волны.-4.pdf
#
05.02.20233.52 Mб24Электромагнитные поля и волны.-5.pdf
#
05.02.20234.03 Mб29Электромагнитные поля и волны.-6.pdf
#
05.02.20234.17 Mб32Электромагнитные поля и волны..pdf
#
05.02.20233.12 Mб16Электроника 1. Физические основы электроники-1.pdf
#
05.02.20231.01 Mб9Электроника 1. Физические основы электроники.pdf
#
05.02.2023688.65 Кб7Электроника 2. Электронные приборы.pdf
#
05.02.2023437.06 Кб4Электроника, радиотехника и системы связи.-1.pdf