VP( V1 , V2 , n) := |
for i 0 |
.. (n − 1) |
|
VPi ← |
V1i V2i |
|
VP |
|
|
−1.321 |
4 |
|
|
× 10 |
|
|
|
−5.741 |
3 |
|
|
× 10 |
|
|
|
× 103 |
||
VP(v1 , v2 , 5) = |
−2.321 |
|
|
|
2.533 × 103 |
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
2.057 × 10 |
|
|
7.7 Интегрирование
7.7.1Определенный интеграл
Построить график подынтегральной функции на интервале интегрирования. Вычислить значение интеграла.
Определим функцию f(x) равную подынтегральной функции.
f(x) := |
1 |
|
|
1 + 2 sin(x) |
2 |
||
|
Построим график данной функции по оси Ох зададим интервал от 0 до π/4.
186
0.8 |
|
f(x) |
|
0.6 |
|
0.40 |
0.5 |
|
x |
π
⌠ 4
f(x) dx = 0.605
⌡0
7.7.2Неопределенный интеграл
Найти вручную первообразную для подынтегральной функции. Вычислить неопределенный интеграл при помощи MathCad.
Вручную найдем первый неопределенный инте-
грал
∫ |
|
3x + 2 |
|
|
dx = 3∫ |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
+ 2∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
x + 12 = t |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
x |
2 |
+ 2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x + x + 2 |
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
+ x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= 3∫ |
(t |
− 12)dt |
|
+ 2∫ |
|
|
|
dt |
|
|
= |
3 |
∫d( |
t |
2 +134 |
) + |
1 |
∫ |
|
|
|
|
dt |
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
t 2 +13 |
|
|
t |
2 |
|
|
t |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t +134 |
|
|
|
4 |
|
|
|
+134 |
|
|
|
|
|
|
+134 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
187 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3
t2 +134 + 12 ln t + 
t2 +134 = 3
x2 + x +2 + 12 ln x + 12 + 
x2 + x +2 +C
Вычислим его при помощи MathCad
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
⌠ |
|
|
3x + 2 |
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx → 3 (x + x + 2) |
|
+ |
|
|
asinh |
|
7 |
|
|
|
x + |
|
|
|||||
|
|
2 |
+ x + 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MathCad выразил натуральный логарифм через |
|||||||||||||||||||||||
гиперболический арксинус. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
грал |
Вручную найдем второй неопределенный инте- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 −3 |
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
= |
∫(2 −tg 3 x)d(tgx) = 2tgx − |
3 tg 4 x +C |
|
|
||||||||||||||||||||||
cos |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Вычислим его при помощи MathCad |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
|
2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 − tan(x) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
tan(x) |
dx → indef_int |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos(x) |
|
cos(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MathCad не может вычислить данный неопределенный интеграл.
7.8 Дифференцирование
Найти производную заданной функции. Вычислить значение первой и второй производной в заданной точке.
188
Используя функцию вычисления производной, вычислим ее подставив ее в качестве функции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
x |
|
|
|
1 |
(a2 |
− x2) |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
d |
|
x |
|
a2 − x2 + |
|
asin |
|
|
→ |
|
− |
|
x |
+ |
|
|
|
||||||||||
dx 2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a2 − x2)2 |
|
|
|
(4 − x2)2 |
|||
Чтобы вычислить значения первой и второй производной зададим значение заданной точки переменной х
ивоспользуемся встроенными функциями.
x:= 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
(a2) |
2 |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
d |
x |
|
|
|
a2 − x2 + |
|
|
|
asin |
|
|
→ |
+ |
a2 42 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
8 |
|||||||||||||||||||||||
dx 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
d2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
dx2 2 |
|
|
a |
− x |
+ |
|
|
|
2 asin |
2 |
→ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
189