7.6 Матричные операции

Определить матрицы. Размерность матриц подобрать с учетом выражения. Количество строк и столбцов - не менее четырех. Обязательно наличие неквадратных матриц.

(A D − D C) + B E

Количество столбцов матрицы А и строк матрицы D должно быть равным, пусть оно будет n. С другой стороны число столбцов матрицы D должно быть равно числу строк матрицы С, значит оно тоже равно n. Так как произведения матриц A на D и D на С должно дать матрицы одинаковых размеров и при этом квадратные (чтобы можно посчитать определитель), то размеры матриц A,D и С - одинаковы, nxn. Так как произведение матриц B и Е, должно дать также матрицу nxn, то размер В - nxk, a E - kxn. Пусть n будет равно 5, а k - 6. Тогда зададим переменные диапазона n и k, т.к MathCad начинает нумерацию строк и столбцов с 0, то их значения будут 0..4 и 0..5 соответственно.

Заполнить матрицы случайными значениями при помощи встроенных функций (не вручную).

Воспользуемся функцией rnd. Зададим предел значений 1, тогда значения будут варьироваться от 0 до 0.999. Умножим это значение на 10 и округлим до целого при помощи функции round. Так получится значение от 0 до 10. Заполнение будет производится при помощи двух вложенных циклов for, первый будет перебирать строки, второй – столбцы.

176

Для результирующей матрицы выполнить следу-

ющее

Сложить каждые элемент со скаляром х1.

Исходные данные x1=24.45. x1 := 24.45

F := F + x1

178

Вычесть из каждого элемента скаляр х2.

Исходные данные x2=69.54.

Вычислить определитель матрицы.

Воспользуемся встроенной функцией MathCad.

F = −1.678 × 108

Найти обратную матрицу и проверить резуль-

тат.

Для нахождения обратной матрицы воспользуемся встроенной функцией MathCad.

Fobr := F− 1

Проверим результат, зная, что произведение определителей исходной и обратной матриц равно 1

Fobr F = 1

179

Найти собственные числа и собственные вектора и проверить результат.

Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией eigenvals, она выводит значения в вектор.

Для нахождения собственных векторов воспользуемся функцией eigenvecs, она выводит значения векторов в столбцы матрицы.

Sv:= eigenvecs(F)

Для проверки воспользуемся свойством собственных чисел и векторов - Av=λv, где А - квадратная матри-

ца, v - ее собственный вектор, λ - соответствующее собственное число.

180

Вычислить ранг матрицы

Вычислим ранг с помощью функции MathCad -

rank.

rank(F) = 5

Определить вектора, которые состоят из элементов n-ой строки и m-го столбца.

Исходные данные n=3 m=4

Так как MathCad начинает нумерацию строк и столбцов с 0, то зададим переменным n и m значения 2 и 3 соответственно.

n := 2 m := 3

Для выделения строки n воспользуемся функцией выделения вектора из столбца матрицы, транспонировав перед этим матрицу. Для выделения столбца m просто воспользуемся этой функцией. Присвоим этим векторам имена v1 и v2.

Вычислить Модуль каждого вектора.

Воспользуемся функцией MathCad для определения модуля вектора.

182

Вычислить орт каждого вектора.

С помощью элементов программирования напишем функцию Ort(V,n), определяющую орт вектора V. С помощью цикла for рассчитывается n координат орта, по формуле координата орта равна соответствующей координате вектора деленной на его длину.

Проверим результат, зная, что длина орта равна 1.

Вычислить сумму координат каждого вектора.

С помощью элементов программирования напишем функцию Sum(V,n), рассчитывающую с помощью цикла for сумму n координат вектора V.

183

Вычислить количество положительных и отрицательных координат каждого вектора.

С помощью элементов программирования напишем функцию Pos(V,n), рассчитывающую с помощью цикла for количество положительных координат вектора V, (n - количество координат вектора V). Аналогично напишем функцию Neg(V,n) для подсчета количества отрицательных элементов.

184

Вычислить скалярное произведение векторов.

Воспользуемся функцией скалярного вычисления векторов.

v1 v2 = −1.668 × 104

Вычислить Sinγ и Cosγ, где γ - угол между векто-

рами.

Зная, что косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов деленному на их длины.

По основному тригонометрическому тождеству вычислим синус угла между векторами.

торное произведение векторов.

Встроенная функция MathCad позволяет вычислить векторное произведение только для трехкомпонентных векторов. Поэтому вычислим векторное произведение, зная, что оно равно произведению длин векторов и синуса угла между ними.

v1 v2 Sinγ = 3.328 × 104

Вычислить вектор, координаты которого являются произведением соответствующих координат двух векторов.

С помощью элементов программирования напишем функцию VP(V1,V2,n), рассчитывающую с помощью цикла for каждую координату нового вектора.

185