1_semester_2013_2014

ОЛ-1, пп. 2.2; ДЛ-1, гл. 1, §4.

Лекция 5. Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Ориентированная площадь и ориентированный объем и их свойства. Векторное произведение двух векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатной форме. Векторное произведение в положительно ориентированном ортонормированном базисе. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл. Объем тетраэдра. Свойства смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения. Смешанное произведение в положительно ориентированном ортонормированном базисе. Условие компланарности трех векторов.

ОЛ-1, пп. 2.3–2.5; ДЛ-1, гл. 1, §4.

Лекция 6. Геометрический смысл уравнения f (x, y) 0 на плоскости и F(x, y, z) 0 в

пространстве. Различные виды уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Нормальный и направляющий векторы прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление угла между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пучки прямых. Полуплоскости.

ОЛ-1, пп. 4.1–4.4, Д. 5.1; ДЛ-1, гл. 2, §1-3.

Лекция 7. Различные виды уравнения плоскости в пространстве: общее уравнение плоскости; уравнение плоскости, проходящей через три точки; уравнение плоскости “в отрезках”. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Пучки и связки плоскостей.

ОЛ-1, пп. 5.1-5.2, Д. 5.1; ДЛ-1, гл. 2, §1-3.

Лекция 8. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой; векторное уравнение прямой; канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми.

ОЛ-1, пп. 5.3–5.5; ДЛ-1, гл. 2, §1-3.

Лекции 9–10. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Исследование формы кривых второго порядка. Параметры кривых второго порядка (полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет). Фокальные свойства эллипса и гиперболы. Директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы. Вывод канонических уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Оптическое свойство (без док-ва). Смещенные кривые второго порядка. Исследование неполного уравнения кривой второго порядка.

ОЛ-1, гл. 11; ДЛ-1, гл. 3, §1-3.

Лекции 11–12. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Эллипсоид. Конус. Гиперболоиды. Параболоиды. Их канонические уравнения. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.

ОЛ-1, гл. 12; ДЛ-1, гл. 3, §4.

Лекция 13. Аффинные преобразования плоскости. Композиция преобразований и обратное преобразование. Координатная запись аффинных преобразований. Геометрические свойства. Движения.

ДЛ-1, гл. IV.

Лекции 14–15. Модели проективного пространства Их изоморфизм. Проективные координаты. Теорема Дезарга. Проективные преобразования.

ОЛ-4, ч.I, гл.X, §1-5.

МОДУЛЬ 2: Алгебраические структуры Лекции 16–17. Определение группы, кольца, поля, подгруппы, подкольца, подполя. Их основные свойства. Примеры. Поле вычетов.

ДЛ-3, гл. 1, §2-4, 6.

41

Лекция 18. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы. Полярные координаты. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости. Операции над комплексными числами и их свойства. Построение и основные свойства алгебры многочленов. Общие свойства корней многочленов. Деление многочленов с остатком. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без док-ва) и следствия из нее. Теорема о комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые многочлены над полем комплексных чисел и над полем действительных чисел.

ДЛ-3, гл. 1, §5, гл. 3, §1-4; ОЛ-1, пп. 3.6; ДЛ-3, гл. 1, §5.

Лекция 19. Определение векторного (линейного) пространства и подпространства. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Определение алгебры и подалгебры. Примеры.

ДЛ-3, гл.1, §7-9.

МОДУЛЬ 3: Матрицы и СЛАУ. Группы Лекция 20. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции с матрицами и их

свойства. Транспонирование матриц. Операция умножения и ее свойства. Блочные матрицы и операции над ними.

ОЛ-1, пп. 6.1–6.2; ДЛ-3, гл. 1, §9.

Лекция 21. Транспонирование матриц. Операция умножения и ее свойства. Блочные матрицы и операции над ними. Четность и знак перестановки. Определение определителя. Определитель как полилинейная кососимметрическая функция.

ОЛ-1, пп. 6.3–6.5, 7.1; ДЛ-3, гл. 1, §9, гл. 2, §4.

Лекция 22. Элементарные преобразования матриц, приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований строк. Теорема об определителе транспонированной матрицы и следствия из нее.

ОЛ-1, пп. 6.8,7.2; ДЛ-3, гл. 2, §4.

Лекция 23. Теорема об определителе матрицы с углом нулей. Теорема об определителе произведения матриц. Теорема о разложении определителя по строке (по столбцу). Определитель Вандермонда.

ОЛ-1, пп. 7.2–7.3; ДЛ-3, гл. 2, §4.

Лекция 24. Обратная матрица. Теорема об ее единственности. Критерий существования обратной матрицы. Присоединенная матрица. Способы вычисление обратной матрицы. Матрица, обратная произведению двух обратимых матриц. Формулы Крамера.

ОЛ-1, пп. 8.1–8.2; ДЛ-3, гл. 2, §5.

Лекция 25. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная формы записи. Метод Гаусса. Следствие для однородных СЛАУ.

ОЛ-1, пп. 9.1–9.2, 10.3; ДЛ-3, гл.2, §1.

Лекция 26. Линейная комбинация векторов. Линейная оболочка. Линейная зависимость векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем. Критерий линейной зависимости. Основная лемма о линейной зависимости. Базис. Размерность. Координаты вектора. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.

ДЛ-5, гл.1; ДЛ-3, гл. 1, §7, гл. 2, §2.

Лекция 27. Ранг системы векторов. Ранг матрицы. Совпадения ранга строк и ранга столбцов матрицы. Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований. Критерий Кронекера -Капелли совместности СЛАУ. Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ.

ОЛ-1, пп. 8.4–8.6, 9.3; ДЛ-3, гл. 2, §2, 5.

Лекция 28. Минор матрицы. Теорема о ранге матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре и ее следствия. Свойства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ, теорема о ее существовании. Нормальная фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

42

ОЛ-1, пп. 8.5-8.6, 9.5–9.6; ДЛ-3, гл. 2, §2.

Лекция 29. Примеры групп и подгрупп. Циклические группы и их свойства. Определение порядка группы. Изоморфизм групп. Примеры.

ДЛ-3, гл. 4, §1-3.

Лекция 30. Группа подстановок. ОЛ-5

Лекция 31. Определение системы порождающих группы. Примеры. Разбиение на смежные классы. Примеры. Теорема Лагранжа и ее следствия.

ДЛ-3, гл. 4, §4-5.

Лекция 32. Определение нормальной подгруппы и факторгруппы. Примеры. Определение гомоморфизма. Его основные свойства. Теорема о гомоморфизме. Примеры.

ДЛ-3, гл. 4, §6. Лекции 33–34. Резерв. Упражнения

МОДУЛЬ 1: Аналитическая геометрия Занятие 1. Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Ауд.: изложение теории; ОЛ-2 №№ 3.8, 3.19, 3.22, 3.25, 3.27, 3.51, 3.53, 3.187, 3.189, 3.198 или

ДЛ-2 №№ 1205(3), 1211, 1217, 1219, 1223, 1234(2), 1237, 1239, 1247.

Дома: ОЛ-2 №№ 3.3 9, 3.12, 3.20, 3.21, 3.28, 3.50, 3.52, 3.188, 3.190, 3.192, 3.199 или ДЛ-2 №№ 1204(7), 1205(4), 1206(2), 1212, 1214, 1218, 1220, 1225, 1235(2), 1253, 1238, 1241,

1243, 1251.

Занятие 2. Линейные операции с векторами. Разложение вектора по базису. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису. Простейшие задачи аналитической геометрии: вычисление длины отрезка, деление отрезка в данном отношении.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.7 2.8, 2.19, 2.20, 2.38, 2.39, 2.44, 2.46, 2.51, 2.56, 2.57 или ДЛ-2 №№ 769(1,3), 773(1,3,5), 775(2,4,6), 777, 779, 783, 788, 789, 794, 771. Дома: ОЛ-2 №№ 2.10, 2.22, 2.36, 2.37, 2.45, 2.46, 2.52, 2.58 или ДЛ-2 №№ 769(2,4), 773(2,4), 775(1,3,5), 776, 778, 785, 787, 793.

Занятие 3. Скалярное произведение векторов и его приложения.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.40, 2.65, 2.70, 2.78(б, г, ж, з, и), 2.80, 2.82, 2.84, 2.89 или ДЛ-2 №№ 795(1,3,5,7), 808, 814(1,4), 815, 818, 821, 826, 833, 780, 825. Дома: ОЛ-2 №№ 2.66, 2.67, 2.71, 2.72, 2.78(а, в, д), 2.81, 2.83, 2.88 или ДЛ-2 №№ 795(2,4,6), 812(1,4,5), 820, 824, 830, 835, 781, 813, 817, 819. Занятие 4. Векторное произведение векторов и его приложения.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.98(а, б), 2.99, 2.100(а, б), 2.108, 2.109, 2.115, 2.118, 2.120 или ДЛ-2 №№ 839, 843, 844, 850, 854, 855, 857, 840, 861, 862.

Дома: ОЛ-2 №№ 2.98(в), 2.100(в, г), 2.105, 2.106(в), 2.107, 2.111, 2.116, 2.119, 2.123 или ДЛ-2 №№ 841, 842, 848, 851, 858, 859, 853, 860.

Занятие 5. Смешанное произведение векторов и его приложения.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.125, 2.127(а), 2.129, 2.130, 2.132, 2.134, 2.135(а), 2.136(а), 2.137, 2.138(а), 2.140(а,в) или ДЛ-2 №№ 865(1,3,5), 867, 868, 869, 871, 874(1,2), 875, 877, 878.

Дома: ОЛ-2 №№ 2.124, 2.126, 2.127(б), 2.131, 2.133, 2.135(б), 2.136(б), 2.138(б), 2.139, 2.140(б, г) или ДЛ-2 №№ 865(2,4,6), 866, 870, 873, 874(3), 876.

Занятие 6. Прямая на плоскости.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.141, 2.143(а), 2.144(а), 2.152, 2.163, 2.150(а), 2.164, 2.168, 2.175, Дома: ОЛ-2 №№ 2.143(б), 2.144(б), 2.150(б), 2.161, 2.178*, 2.156, 2.158.

Занятие 7. Плоскость в пространстве.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.180(а), 2.181(а), 2.182(а), 2.183(а), 2.184(б), 2.185, 2.190, 2.196, 2.191 или

43

ДЛ-2 №№ 916, 917, 921, 930, 932, 926(1), 927(1), 940(1), 941(3), 942(2), 947, 949, 964(1). Дома: ОЛ-2 №№ 2.180(б), 2.181(б), 2.192(б), 2.193(б), 2.194(а), 2.187, 2.188, 2.189, 2.195 или ДЛ-2 №№ 914, 991, 929, 931, 934, 926(2), 927(2), 940(2), 941(1), 942(3), 950, 964(2). Занятия 8–9. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.197(а), 2.198, 2.200(а), 2.204, 2.205(а), 2.208, 2.214 или ДЛ-2 №№ 1010(1), 1007, 1018, 1020(1), 1023, 1042, 1050, 1063(1), 991, 1052.

Дома: ОЛ-2 №№ 2.197(б), 2.199, 2.201, 2.203(б), 2.205(б), 2.206, 2.210, 2.215 или ДЛ-2 №№ 1008(1), 1009(1), 1024, 1043, 1054, 1063(2), 993.

Занятие 10. Кривые второго порядка.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.249(а,в), 2.269(а), 2.288(а,в,е) или ДЛ-2 №№ 471(1,2), 472(1), 541(1), 542(1,2), 597(1), 598(1), 599(1). Дома: ОЛ-2 №№ 2.249(б), 2.269(б,в), 2.288(б,г,д) или

ДЛ-2 №№ 471(3), 472(2,3), 541(2,3), 542(3), 597(2), 598(2), 599(3).

Занятие 11. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений. Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.393, 2.394, 2.383, 2.379, 2.372, 2.377, 2.405 или МП-6. Дома: ОЛ-2 №№ 2.395, 2.397, 2.375, 2.382, 2.374, 2.380, 2.381 или МП-6.

Занятие 12. Аффинные преобразования плоскости. Проективное пространство. Ауд.: ДЛ-4 №№ 1154, 1157, 1176., 1179, 1347 (1,2),1358, 1441*.

Дома: ДЛ-4 №№ 1156, 1160, 1164, 1182, 1347(3,4), 1359, 1354, 1440*. Занятие 14. Контрольная работа.

Занятие 15. Коллоквиум.

МОДУЛЬ 2: Алгебраические структуры Занятия 16–17. Группы, кольца, поля, подгруппы, подкольца, подполя. Проверка аксиом. Вывод свойств.

Ауд.: ОЛ-3 №№ 1.1.1 а, 5.1.1 а, в, 5.2.1 а, б, в, 5.2.3., 5.4.1, а, б, з, 5.4.12, 5.5.1, 5.4.7, 5.4.8 Дома: ОЛ-3 №№ 5.1.1 б,г, 5.1.3, 5.2.1 г, д, 5.3.1, 5.4.3а-д, 5.4.14.

Занятия 18. Комплексные числа и операции над ними.

ОЛ-2 №№ 1.421, 1.435, 1.436, 1.448(а), 1.485, 1.496, 1.499, 5.2.1 з, и, 5.4.1 л, ОЛ-3 №№ 6.6.5 а, б, г, о.

Дома: ОЛ-2 №№ 1.422, 1.437, 1.448(б), 1.486, 1.497, 1.500, 5.2.1 к, 5.4.1 м, ОЛ-3 №№ 6.6.5 е, л, п, р.

Занятие 19. Общие свойства корней многочленов. Деление многочленов с остатком. Неприводимые многочлены.

Ауд.: ОЛ-3 №№ 7.1.4 а, 7.6.1а, 7.1.1 а, 7.2.1 а, г, 7.2.2 г, 7.2.4 а. Дома: ОЛ-3 №№ 7.1.4 б, 7.6.1 б, 7.1.1 б, 7.2.1 б, 7.2.2 д, 7.7.11. Занятие 20. Рубежный контроль по модулю.

МОДУЛЬ 3: Матрицы и СЛАУ. Группы Занятие 21. Матрицы. Линейные операции с матрицами. Умножение матриц.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 3.78, 3.80, 3.81, 3.83, 3.86, 3.90, 3.92, 3.94, 3.103.

Дома: ОЛ-2 №№ 3.76, 3.79, 3.82, 3.84, 3.85, 3.91, 3.93, 3.95, 3.104. Занятия 22–23. Четность перестановки. Определители n-го порядка. Ауд.: ОЛ-2 №№ 3.36, 3.40, 3.41, 3.46, 3.47, 3.61, 3.65, 3.67, 3.69, 3.71, 3.73. Дома: ОЛ-2 №№ 3.37, 3.42, 3.43, 3.48, 3.62, 3.66, 3.68, 3.70, 3.72.

Занятие 24. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Решение СЛАУ матричным способом.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 3.106, 3.108, 3.112, 3.114, 3.117, 3.121, 3.122, 3.125. Дома: ОЛ-2 №№ 3.107, 3.110, 3.113, 3.115, 3.119, 3.123, 3.124. Занятие 25. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Ауд.: ОЛ-2 №№ 3.207, 3.210, 3.218, 3.220, 3.240.

Дома: ОЛ-2 №№ 3.208, 3.211, 3.219, 3.221, 3.241.

44

Занятия 26–27. Линейные пространства. Проверка линейной зависимости систем векторов. Линейные оболочки. . Нахождение ранга матрицы.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 4.2, 4.4, 4.21, 3.150, 3.152, 3.154, 3.156, 3.159, 3.166, 3.168, 3.171, 3.173, 3.174,

3.178, 4.51, 4.52.

Дома: ОЛ-2 №№ 4.5, 3.151, 3.153, 3.157, 3.161, 3.165, 3.167, 3.172, 3.175, 3.179, 4.53.

Занятие 28. Решение однородных и неоднородных СЛАУ (продолжение). СЛАУ над Z n .

Ауд.: ОЛ-2 №№ 3.224, 3.225, 3.228, 3.230, 3.232, 3.235; ОЛ-3 №№ 2.3.10 (а). Дома: ОЛ-2 №№ 3.223, 3.226, 3.227, 3.229, 3.231, 3.234; ОЛ-3 №№ 2.3.10 (б). Занятие 29. Контрольная работа.

Занятие 30. Циклические группы. Определение порядка группы и порядка элемента. Изоморфизм групп.

Ауд.: ОЛ-3 №№ 5.3.8, 5.3.12 а, 5.3.14 а, 5.3.3 в, е, 5.3.5 а, 5.2.16, 5.2.25 а, б, е.. Дома: ОЛ-2 №№ 5.3.12 б, 5.3.14 б . 5.3.3 г, ж, 5.2.17, 5.2.33, 5.2.13.

Занятие 31. Группа подстановок.

Ауд.: ОЛ-3 №№ 1.3.1 а, 1.3.2 а, 1.3.4 а, 1.3.5 а, д, 5.3.3 а, 5.3.5 в. Дома: ОЛ-3 №№ 1.3.1 б, 1.3.2 б, 1.3.4 б, 1.3.5 б, ж, 5.3.3 б..

Занятия 32. Смежные классы. Нормальные подгруппы и факторгруппы. Гомоморфизмы. Ауд.: ОЛ-3 №№ 5.2.14 а, б, Ч.3 1.2.1.а, б, 1.2.17 а, 1.2.19 Дома: ОЛ-3 №№ 5.2.14 д, е, ж, 5.2.15, Ч.3 1.2.1.в, 1.2.17 г, 1.2.22 а, в..

Занятия 33–34. Резерв. Контрольные мероприятия

МОДУЛЬ 1: Аналитическая геометрия Рубежный контроль по модулю (8-я неделя). МОДУЛЬ 2: Алгебраические структуры Рубежный контроль по модулю (10-я неделя). МОДУЛЬ 3: Матрицы и СЛАУ. Группы

Домашнее задание «Матрицы и СЛАУ» (17-я неделя). Рубежный контроль по модулю (17-я неделя). ЛИТЕРАТУРА Основная литература (ОЛ)

Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. – Москва, Изд. МГТУ, 1998. –

392 с.

Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – Москва: Наука,

1993. – 478 с.

Сборник задач по алгебре: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Кострикина А.И. – Москва: Наука Минобр, 1987. – 352 с.

Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Москва: Наука, 1979. – 512 с.

Кострикин А.И. Введение в алгебру, часть II. –Москва: Физматлит Минобр, 2004. Дополнительная литература (ДЛ)

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – Москва: Наука, 1987. –

336 с.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – Санкт-Петербург.: Профессия,

2001. – 240 с.

Винберг Э.Б. Курс алгебры: Научное издание – М. : «Факториал», 1999. – 528с. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов./ Моденов П.С.,

Пархоменко А.С. –Москва-Ижевск: ЗАО НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002 – 384 с.

Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: Учеб. для втузов. – Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана Минобр, 2002 – 335 с.

45

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (для студентов ИУ-9)

МОДУЛЬ 1: Введение в анализ

Лекции МОДУЛЬ 1: Введение в анализ

Лекция 1. Элементы теории множеств. Множества и его элементы. Пустое и универсальное множества. Способы задания множеств, равенство множеств, подмножества. Операции над множествами и их свойства.

ОЛ-3 гл. 1 § 2.

46

Лекция 2. Отображения (функции), образ и прообраз. Инъекция, сюръекция, биекция, композиция и обратное отображение. Семейства множеств, их объединения и пересечения. Декартовы (прямые) произведения множеств.

ОЛ-3 гл. 1 § 2–3.

Лекция 3. Числовые множества. Свойства и геометрическая интерпретация вещественных чисел. Аксиома полноты. Открытые и замкнутые множества, окрестности точек. Теорема о вложенных отрезках. Верхняя и нижняя грани числового множества. Ограниченные числовые множества, их точные грани. Теорема о верхней грани. Модуль числа и его свойства. Натуральные числа. Свойство Архимеда и его следствия.

ОЛ-3 гл. 2 § 1–3; ОЛ-4 гл. 1 § 5; ОЛ-10 гл. 1 § 2.

Лекция 4. Элементы математической логики. Логические высказывания и операции над ними, кванторы, построение отрицания сложных логических высказываний, содержащих кванторы. Математическая теорема как логическое высказывание. Прямое доказательство теорем, доказательство от противного и доказательство "по индукции". Примеры: доказательство неравенства Бернулли и формулы бинома Ньютона.

ОЛ-3 гл. 1 § 1, 4.

Лекция 5. Мощность множеств. Теорема о мощности конечных множеств. Понятие счетного множества. Примеры. Теорема о подмножестве счетного множества. Счетность объединения конечного и счетного семейства счетных множеств. Счетность рациональных чисел. Мощность континуума. Примеры. Теорема Кантора. Сравнение мощностей множеств. Формулировка теоремы Кантора — Бернштейна. Теорема о сравнении мощности множества и мощности множества всех его подмножеств. Следствие из нее.

ОЛ-3 гл. 1 § 4, гл. 2 § 4.

Лекция 6. Числовые последовательности и их пределы. Предел константы. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Примеры использования этого факта. Арифметические свойства пределов последовательностей.

ОЛ-3 гл. 3 § 1.

Лекция 7. Теоремы существования пределов последовательностей. Критерий Коши. Сходимость ограниченной монотонной последовательности. Число e , как предел последовательности рациональных чисел.

ОЛ-3 гл. 3 § 1.

Лекция 8. Предельные точки последовательности. Частичный предел последовательности. Теорема Больцано — Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы последовательности. Теорема о их существовании для ограниченной последовательности.

ОЛ-3 гл. 3 § 1; ОЛ-4 гл. 2 § 6; ОЛ-10 гл. 1 § 3 п. 3.6, 3.12.

Лекции 9–10. Компакты на прямой. Предельные точки множеств. Теорема о предельной точке. Открытые покрытия подмножеств прямой. Теорема о конечном покрытии. Понятие компакта. Внутренние и предельные точки множеств. Теоремы о внутренности открытых множеств, о замыкании замкнутых множеств и о замкнутости компакта.

ОЛ-3 гл. 2 § 3; ОЛ-4 гл. 13 § 1, 3, 6.

МОДУЛЬ 2: Предел и непрерывность Лекция 11. Предел функции. Виды пределов. База множеств. Предел функции по базе. Наиболее употребительные базы.

ОЛ-3 гл. 3 § 2; ОЛ-4 гл. 3 § 1, 2.

Лекция 12. Основные свойства предела функции по базе. Теоремы о единственности предела, о сохранении знака, о локальной ограниченности функции, имеющей предел, о предельном переходе в неравенстве, о пределе промежуточной функции, о связи односторонних и двустороннего пределов. Формулировка критерия Коши существования предела функции по базе.

ОЛ-3 гл. 3 § 2; ОЛ-4 гл. 3 § 2.

Лекция 13. Определение предела функции в точке по Гейне. Теорема об эквивалентности двух определений предела функции в точке по Коши и по Гейне.

47

ОЛ-3 гл. 3 § 2.

Лекция 14. Бесконечно малые, бесконечно большие функции по базе и их свойства. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой. Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых. Арифметические свойства бесконечно малых и пределов. Теорема о пределе сложной функции (о замене переменной в пределе).

ОЛ-3 гл. 3 § 2.

Лекция 15. Два замечательных предела. Следствия из них. ОЛ-3 гл. 3 § 2.

Лекция 16. Сравнение функций при одинаковом стремлении аргумента, эквивалентные функции, символы «o» и «O». Их свойства и критерий эквивалентности функций. Таблица эквивалентностей. Теорема о замене эквивалентных при вычислении пределов. Метод эквивалентных бесконечно малых для вычисления пределов и особенности его применения. Типы неопределенностей в пределах и методы их раскрытия.

ОЛ-4 гл. 3 § 7; ОЛ-3 гл. 3 § 2; ОЛ-2 гл. 6 § 6.4.

Лекция 17. Непрерывность функции в точке. Различные формулировки определения и их эквивалентность. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность арифметических операций и сложной функции. Теоремы о переходе к пределу под знаком непрерывной функции и о непрерывности элементарных функций.

ОЛ-3 гл. 4 § 1, 2; ОЛ-1 гл. 9 § 9.1, 9.2, 9.5.

Лекция 18. Непрерывность функций на множествах. Определение непрерывности функции на интервале, на отрезке, непрерывного отображения топологических пространств и ограничение отображения на подмножество. Теоремы о связи этих понятий. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы Больцано — Коши, о промежуточном значении, Вейерштрасса об ограниченности и о достижимости наибольшего и наименьшего значений.

ОЛ-3 гл. 4 § 1, 2.

Лекция 19. Точки разрыва функций: определение, классификация и примеры. ОЛ-3 гл. 4 § 1.

Лекция 20. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

ОЛ-3 гл. 4 § 2.

Лекции 21–22. Теорема о точках разрыва монотонной функции и критерий непрерывности монотонной функции. Теоремы о существовании и непрерывности обратной функции. ОЛ-3 гл. 4 § 2.

МОДУЛЬ 3: Производная Лекция 23. Производная функции. Ее механический и геометрический смысл. Касательная и

нормаль к графику функции. Их уравнения. Вывод формулы для производной степенной функции. Односторонние и бесконечные производные, их геометрический смысл. Точки излома и заострения графика функции. Примеры. Определение дифференциала и дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке и теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции. Пример функции непрерывной, но не дифференцируемой. Геометрический смысл дифференциала функции. ОЛ-3 гл. 5 § 1.

Лекция 24. Правила дифференцирования. Теоремы о производных и дифференциалах суммы, произведения и частного от деления двух функций. Теоремы о производных сложной и обратной функции. Свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка и геометрическая интерпретация этого свойства. Формула логарифмической производной.

ОЛ-3 гл. 5 § 2; ОЛ-2 гл. 2 § 2.1-2.3.

Лекция 25. Производные и дифференциалы высших порядков. Механический смысл второй производной. Теорема о неинвариантности формы второго дифференциала. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически. Теорема о производной параметрически заданной функции.

ОЛ-2 гл. 2 § 2.4-2.6, гл. 4 § 4.1-4.2, 4.4-4.5.

48

МОДУЛЬ 4: Дифференциальное исчисление Лекция 26. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ферма, Ролля,

Лагранжа и Коши. Их геометрический смысл. Точки локального минимума, максимума, экстремума. Критерий постоянства функции.

ОЛ-2 гл. 5 § 5.1-5.3; ОЛ-3 гл. 5 § 3.

Лекция 27. Правило Бернулли — Лопиталя. Сравнение на бесконечности роста показательной, степенной и логарифмической функций.

ОЛ-2 гл. 6 § 6.1-6.3; ОЛ-3 гл. 5 § 4.

Лекция 28. Формула Тейлора. Теоремы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Коши, Лагранжа и в общей форме. Формула Маклорена основных элементарных функций. Применения формулы Тейлора.

ОЛ-2 гл. 7 § 7.1-7.5; ОЛ-3 гл. 5 § 3.

Лекция 29. Исследование функции: асимптоты, монотонность и экстремумы. Необходимые и достаточные условия существования вертикальных и наклонных асимптот. Необходимое и достаточное условие монотонности функции. Достаточное условие строгой монотонности. Их геометрический смысл. Стационарные и критические точки функции. Необходимое и три достаточных условия экстремума.

ОЛ-2 гл. 8 § 8.1-8.3, 8.7; ОЛ-3 гл. 5 § 4.

Лекции 30–31. Исследование функций: выпуклость и точки перегиба. Геометрическая интерпретация определения выпуклых и вогнутых функций. Различные варианты необходимых и достаточных условий выпуклости графика функции. Их геометрическая интерпретация. Свойство касательной график функции в точке перегиба. Необходимое и два достаточных условия точки перегиба. Общая схема построение графика функции. Примеры.

ОЛ-2 гл. 8 § 8.4-8.6, 8.8; ОЛ-3 гл. 5 § 4. Лекция 32. Резервная. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ МОДУЛЬ 1: Введение в анализ

Занятие 1. Построение графиков функций методом элементарных преобразований. Ауд.: Решение задачи 3 и 4 д/з №1.

Дома: ОЛ-7 стр. 35–36: 19, 27, 40, 58, 64, 87, 90, 95.

Занятие 2. Контрольная работа по школьной программе. Занятие 3. Элементы теории множеств.

Ауд.: задачи лекции; ОЛ-7 стр. 144: 1, 3; стр. 152: 115 (I: а, в, II: б), 116 (а, б).

Дома: задачи лекции, ОЛ-7 стр. 144: 1, 2, 4, 5, 10; стр. 152: 115 (I: г, е, II: а), 116 (г), 117, 119. Занятие 4. Элементы теории множеств.

Ауд.: задачи лекции; ОЛ-7 стр. 153: 134; стр. 147: 57, 58.

Дома: задачи лекции; ОЛ-7 стр. 146-147: 41, 43, 47, 48, 61; стр. 152--153: 126, 129, 118, 120. Занятие 5 . Элементы математической логики.

Ауд.: Логическая символика. Построение отрицания логических высказываний, содержащих кванторы.

Задачи лекции; ОЛ-6 1.83, 1.89, 1.90, 1.92.

Дома: задачи лекции; ОЛ-3 стр. 32: 5, 6; ОЛ-5 стр. 10-11: 16, 18, 19, 21 (a), ОЛ-7 стр. 144: 4, 5, 10; ОЛ-6 1.84, 1.87, 1.91, 1.93, 1.94.

Занятие 6.. Мощность множеств. Ауд.: задачи лекции.

Дома: задачи лекции; ОЛ-7 стр. 146-147: 41, 43, 47, 48. Занятие 7. Предел числовой последовательности.

Ауд.: решение задачи 5 д/з-1, вар. 29-30; ОЛ-5: 172, 175, 179, ОЛ-7 стр. 83: 125. Дома: ОЛ-7 стр. 83: 126; стр. 148-150: 76, 83, 86, 101, задача 5 д/з-№1.

Занятие 8. Подпоследовательности. Ауд.: задачи лекции Дома: ОЛ-7 стр. 148--149: 71-73, 89.

49

Занятие 9. Топологические свойства числовых множеств.

Ауд.: задачи лекции; ОЛ-7 стр. 144--147: 14 а), 20, 21, 22, 65. Дома: ОЛ-7 стр. 145--149: 33, 35, 66, 67, 76, 89, задачи лекции.

Занятие 10. Рубежный контроль по модулю 1. МОДУЛЬ 2: Предел и непрерывность Занятие 11. Функции и их пределы по базе. Ауд.: задачи лекции.

Дома: ОЛ-7 стр. 84: 135 (a); стр. 153-154: 142, 144, 126, 127, 129, 134; задачи лекции.

Занятия 12–13. Теоретические задачи на предел функции по базе.

Ауд.: Задачи лекции; ОЛ-7 стр. 79: 13, 11, 12, 17, 19, 20. Дома: ОЛ-7 стр. 79: 14, 15, 16, 21, 22, задачи лекции.

Занятия 14–15. Вычисление пределов методом эквивалентных б.м. и б.б..

Ауд.: ОЛ-7 стр. 80: 30, 31, 32, 38, 39, 40, 42, 33, 36, 44, 50.

Дома: ОЛ-7 стр. 79-80: 26, 35, 41, 43, 67, 46, 49, 46, 52.

Занятие 16. Раскрытие неопределенностей.

Ауд.: ОЛ-7 стр. 80-82: 54, 58, 60, 65, 72, 73, 75, 85, 87; стр. 131: 157.

Дома: ОЛ-7 стр. 77-82: 1 (а, б, л, м), 59, 61, 66, 71, 74, 77, 80, 88; стр. 154--155: 138; задача 1 д/з-

2 своего варианта.

Занятие 17. Сравнение функций при одинаковом стремлении аргумента.

Ауд.: задачи лекции; ОЛ-7 стр. 77-82: 5 (а, б, г, д), 6 (а, б), 7 (а, б), 69, 76, 79,.

Дома: ОЛ-7 стр. 77-82: 1 (д, е), 5 (е, ж, з, и, к), 6 (в, г), 7 (в, г), 70, 78, 81, 89, 90, 100; задачи лекции.

Занятие 18. Подготовка к контрольной работе на пределы.

Ауд.: ОЛ-7 стр. 79-83: 27, 45, 103, 116, 118, 121. Дома: ОЛ-7 стр. 79-83: 28, 47, 104, 113, 120.

Занятие 19. Непрерывность функции. Ауд.: задачи лекции.

Дома: ОЛ-7 стр. 155: 147; стр. 158: 184; стр. 81-83: 62, 82, 101, 120.

Занятие 20. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Ауд.: задачи лекции; ОЛ-7 стр. стр. 156--158: 160, 161, 165, 167, 168, 174, 175, 176.

Дома: ОЛ-7 стр. 158: 182-184, 190; стр. 77-83: 5 (в), 6 (д), 7 (е), 118,121; ОЛ-3: стр. 167: 5, 6.

Занятие 21. Точки разрыва функции.

Ауд.: ОЛ-6: 1.392, 1.394, 1.395, 1.397, 1.399, 1.401; ОЛ-7 стр. 79-83: 45, 103, 116, 118, 121. Дома: ОЛ-6: 1.391, 1.393, 1.396, 1.400, 1.402; ОЛ-7 стр. 79-83: 28, 47, 104, 113, 120.

Занятие 22. Рубежный контроль по модулю 2. МОДУЛЬ 3: Производная

Занятие 23. Производная сложной и обратной функции. Геометрический смысл производной.

Ауд.: задачи лекции; ОЛ-7 стр. 122-123: 1, 2, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 21, 33а, 34а; ОЛ-6: 5.235, 5.245, 5.254.

Дома: ОЛ-7 стр. 122-123: 3, 9, 10, 16, 17, 20, 22, 33б, 34б; стр. 159-160: 197, 199, 201-204; ОЛ-6: 5.239, 5.247, 5.256, задачи лекции.

Занятие 24. Правила дифференцирования. Логарифмическая производная. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

Ауд.: задачи лекции; ОЛ-7 стр. 123-125: 25, 63, 67, 55, 60; стр. 159-160: 199; ОЛ-6: 5.83, 5.85, 5.224, 5.232.

Дома: ОЛ-7 стр. 123-125: 27, 29, 37, 58, 66; стр. 160-161: 208, 213, 216, 221, 222, 223, 224, 228,

229; ОЛ-6: 5.84, 5.88, 5.92, 5.233, 5.225; задачи лекции..

Занятие 25. Подготовка к рубежному контролю.

Ауд.: ОЛ-7 стр. 125-127: 55, 60, 69, 99; ОЛ-6: 5.241, 5.243, 5.246.

Дома: ОЛ-7 стр. 125-127: 42, 57, 65, 87, 97; ОЛ-6: 5.244, 5.248, 5.249, 5.257.

Занятие 26. Рубежный контроль по модулю 3.

50