1_semester_2013_2014

Дома: ДЛ-3 №№ 5.442, 5.445, 5.472, 5.497.

Занятие 22. Исследование функций и построение их графиков. Ауд.: ОЛ-3 №№ 943, 953, 973, 989.

Дома: ОЛ-3 №№ 945, 946, 974, 988 или Ауд.: ДЛ-3 №№ 5.493, 5.500, 5.516, 5.525. Дома: ДЛ-3 №№ 5.494, 5.502, 5.517, 5.526

Занятие 23. Практические задачи на наибольшие и наименьшие значения функции. Ауд.: ОЛ-3 №№ 866, 868, 875, 884, 885,889.

Дома: ОЛ-3 №№ 873, 876, 877, 882, 883, 886, 888.

Занятие 24. Контроль по модулю № 2.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (для студентов ФН2)

Модуль 1

Основная и дополнительная литература

Основная литература (ОЛ)

Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. – М., Изд. МГТУ, 1998. – 392 с. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука,

1993. – 478 с.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2003. – 240 с. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2003. – 296 с.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. – М.: ИнтегралПресс, 2006. – 416 с.

Дополнительная литература (ДЛ)

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1987. –

336 с.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – Спб.: Профессия, 2001. – 240 с.

31

Беклемишева Л.А., Петрович Ю.А., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука, 1987. – 496 с.

Методические пособия, изданные в МГТУ (МП)

Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2002. – 46 с.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия / Под ред. В.Ф. Панова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1989. – 72 с.

Галкин С.В. Матрицы и определители, решение систем. – М.: МВТУ, 1988. – 45 с. Сборник задач по линейной алгебре / Под ред. С.К. Соболева. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 1991. – 154 с.

Дубограй И.В., Леванков В.И., Максимова Е.В. Методические указания к выполнению домашнего задания по теме “Кривые второго порядка”. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана,

2002. – 52 с.

Бархатова О.А., Садыхов Г.С. Поверхности второго порядка. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2005. – 40 с.

Агеев О.Н., Гласко А.В., Покровский И.Л. Матрицы и определители. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2004. – 68 с.

Гласко А.В., Покровский И.Л., Станцо В.В. Системы линейных алгебраических уравнений. – М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2004. – 61 с.

Лекции Модуль 1

Векторная алгебра

Лекция 1. Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора (направленного отрезка). Нуль-вектор, единичный вектор (орт). Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Связанные, скользящие, свободные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций. Ортогональная проекция векторов на направление. Теоремы о проекциях (доказать самостоятельно).

ОЛ-1, пп. 1.1–1.4; ОЛ-3, гл.2 §1, гл.1 §2 п.1.

Лекция 2-3. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость векторов. Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов. Критерий линейной зависимости систем из двух и трех геометрических векторов, линейная зависимость четырех векторов (доказать самостоятельно). Векторные пространства V1, V2, V3 и базисы в них. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами. Ортонормированный базис. Скалярное произведение векторов, его механический смысл. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе. Вычисление длины вектора, косинуса угла между векторами и проекции вектора на направление. Координаты вектора в ортонормированном базисе как проекции этого вектора на направление базисных векторов. Направляющие косинусы вектора.

ОЛ-1, пп. 1.5–1.7, 2.2; ОЛ-3, гл. 2, §§1–2, гл. 1, §1, п. 3.

Лекция 4. Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл. Объем тетраэдра. Свойства смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе. Условие компланарности трех векторов.

ОЛ-1, пп. 2.3–2.5; ОЛ-3, гл. 2, §3.

32

Прямые и плоскости

Лекция 5. Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Радиусвектор точки, координаты точки; связь координат вектора с координатами его начала и конца. Простейшие задачи аналитической геометрии: вычисление длины отрезка, деление отрезка в данном отношении. Геометрический смысл уравнения f (x, y) 0 на плоскости и F(x, y, z) 0 в

пространстве. Различные виды уравнения прямой на плоскости: векторное уравнение, параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Нормальный и направляющий векторы прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Вычисление угла между прямыми.

ОЛ-1, пп. 3.1–3.5, 4.1–4.3; ОЛ-3, гл. 2, §1 п. 9, гл. 4 §1, гл. 5, §1.

Лекция 6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Различные виды уравнения плоскости в пространстве: общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через три точки, уравнение плоскости “в отрезках”. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

ОЛ-1, пп. 4.4, 5.1; ОЛ-3, гл. 5, §1, п. 7, §3.

Лекция 7. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой; векторное уравнение прямой; канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми.

ОЛ-1, пп. 5.3–5.5; ОЛ-3, гл. 5, §4.

Модуль 2 Кривые и поверхности второго порядка

Лекции 8. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Вывод их канонических уравнений. Исследование формы кривых второго порядка. Параметры кривых второго порядка (полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет). Смещенные кривые второго порядка. Исследование неполного уравнения кривой второго порядка.

ОЛ-1, гл. 11; ОЛ-3, гл. 6, §1–3.

Лекция 9. Поверхности второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка. Их канонические уравнения. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Эллипсоид. Конус. Гиперболоиды. Параболоиды.

ОЛ-1, гл. 12; ОЛ-3, гл. 7, §3.

Матрицы и системы линейных уравнений

Лекция 10. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Определители и их свойства. Линейные операции с матрицами и их свойства. Транспонирование матриц. Операция умножения и ее свойства. Элементарные преобразования матриц, приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.

ОЛ-1, пп. 6.1–6.4; ОЛ-4, гл. 1, §1.

Лекции 11. Обратная матрица. Теорема о единственности обратной матрицы. Критерий существования обратной матрицы. Присоединенная матрица. Способы вычисление обратной матрицы. Матрица, обратная произведению двух обратимых матриц. Формулы Крамера.

ОЛ-1, пп. 6.5, 6,6, 8.1–8,3; ОЛ-4, гл. 1 §1 п. 3, §2, п. 7, гл. 3 §2, п. 1.

33

Лекция 12. Минор матрицы. Ранг матрицы. Базисный минор. Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы. Критерий линейной зависимости. Теорема о базисном миноре и ее следствия. Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований. Способы вычисления ранга матрицы.

ОЛ-1, пп. 6.7, 6.8, 8.4–8.6; ОЛ-4, гл. 1 §3.

Лекция 13. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная формы записи. Критерий Кронекера-Капелли совместности СЛАУ. Однородные СЛАУ. Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ.

ОЛ-1, пп. 9.1–9.5; ОЛ-4, гл. 3, §1–2.

Лекция 14. Свойства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ, теорема о ее существовании. Нормальная фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

ОЛ-1, пп. 9.5–9.7; ОЛ-4, гл. 3, §1–2.

Лекция 15. Комплексные числа и комплексная плоскость. Сложение и умножение комплексных чисел, их свойства. Операция комплексного сопряжения, ее свойства. Модуль и аргумент комплексного числа, свойства модуля. Деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа, умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра. Извлечение корня п-й степени из комплексного числа.

ОЛ-6, гл. 7, §1.; ДЛ-4, гл. 4, гл.9, §38.

Лекция 16. Многочлены с действительными коэффициентами. Деление с остатком, теорема Безу. Корень многочлена и его кратность. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение многочленов с действительными коэффициентами на неприводимые множители. Существование вещественного корня у многочлена нечетной степени с действительными коэффициентами.

ОЛ-6, гл. 7, §2; ДЛ-4, гл.5.

Лекция 17. Резерв.

Практические занятия Модуль 1 Векторная алгебра

Занятия 1. Определители и их свойства. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Ауд.: изложение теории; ОЛ-2 №№ 3.8, 3.19, 3.22, 3.25, 3.27, 3.51, 3.53, 3.187, 3.189, 3.198 или

ДЛ-2 №№ 1205(3), 1211, 1217, 1219, 1223, 1234(2), 1237, 1239, 1247.

Дома: ОЛ-2 №№ 3.3 9, 3.12, 3.20, 3.21, 3.28, 3.50, 3.52, 3.188, 3.190, 3.192, 3.199 или ДЛ-2 №№ 1204(7), 1205(4), 1206(2), 1212, 1214, 1218, 1220, 1225, 1235(2), 1253, 1238, 1241,

1243, 1251.

Занятие 2. Линейные операции с векторами. Разложение вектора по базису. Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.7 2.8, 2.19, 2.20, 2.38, 2.39, 2.44, 2.46, 2.51, 2.56, 2.57 или ДЛ-2 №№ 769(1,3), 773(1,3,5), 775(2,4,6), 777, 779, 783, 788, 789, 794, 771.

Дома: ОЛ-2 №№ 2.10, 2.22, 2.36, 2.37, 2.45, 2.46, 2.52, 2.58 или ДЛ-2 №№ 769(2,4), 773(2,4), 775(1,3,5), 776, 778, 785, 787, 793.

34

Занятие 3. Скалярное произведение векторов и его приложения. Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.40, 2.65, 2.70, 2.78(б, г, ж, з, и), 2.80, 2.82, 2.84, 2.89 или ДЛ-2 №№ 795(1,3,5,7), 808, 814(1,4), 815, 818, 821, 826, 833, 780, 825.

Дома: ОЛ-2 №№ 2.66, 2.67, 2.71, 2.72, 2.78(а, в, д), 2.81, 2.83, 2.88 или ДЛ-2 №№ 795(2,4,6), 812(1,4,5), 820, 824, 830, 835, 781, 813, 817, 819.

Занятие 4. Векторное произведение векторов и его приложения.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.98(а, б), 2.99, 2.100(а, б), 2.108, 2.109, 2.115, 2.118, 2.120 или ДЛ-2 №№ 839, 843, 844, 850, 854, 855, 857, 840, 861, 862.

Дома: ОЛ-2 №№ 2.98(в), 2.100(в, г), 2.105, 2.106(в), 2.107, 2.111, 2.116, 2.119 или ДЛ-2 №№ 841, 842, 848, 851, 858, 859, 853, 860.

Занятие 5. Смешанное произведение векторов и его приложения.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.125, 2.127(а), 2.129, 2.130, 2.132, 2.134, 2.135(а), 2.136(а), 2.137, 2.138(а), 2.140(а,в) или ДЛ-2 №№ 865(1,3,5), 867, 868, 869, 871, 874(1,2), 875, 877, 878.

Дома: ОЛ-2 №№ 2.124, 2.126, 2.127(б), 2.133, 2.135(б), 2.136(б), 2.138(б), 2.139, 2.140(б, г) или ДЛ-2 №№ 865(2,4,6), 866, 870, 873, 874(3), 876.

Прямые и плоскости Занятие 6. Плоскость в пространстве.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.180(а), 2.181(а), 2.182(а), 2.183(а), 2.184(б), 2.185, 2.190, 2.196, 2.191 или ДЛ-2 №№ 916, 917, 921, 930, 932, 926(1), 927(1), 940(1), 941(3), 942(2), 947, 949, 964(1). Дома: ОЛ-2 №№ 2.180(б), 2.181(б), 2.192(б), 2.193(б), 2.194(а), 2.187, 2.188, 2.189, 2.195 или ДЛ-2 №№ 914, 991, 929, 931, 934, 926(2), 927(2), 940(2), 941(1), 942(3), 950, 964(2).

Занятия 7–8. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.197(а), 2.198, 2.200(а), 2.204, 2.205(а), 2.208, 2.214 или ДЛ-2 №№ 1010(1), 1007, 1018, 1020(1), 1023, 1042, 1050, 1063(1), 991, 1052.

Дома: ОЛ-2 №№ 2.197(б), 2.199, 2.201, 2.203(б), 2.205(б), 2.206, 2.210, 2.215 или ДЛ-2 №№ 1008(1), 1009(1), 1024, 1043, 1054, 1063(2), 993.

Занятие 9. Рубежный контроль №1.

Модуль 2 Кривые и поверхности второго порядка

Занятие 10. Кривые второго порядка.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.249(а,в), 2.269(а), 2.288(а,в,е) или ДЛ-2 №№ 471(1,2), 472(1), 541(1), 542(1,2), 597(1), 598(1), 599(1). Дома: ОЛ-2 №№ 2.249(б), 2.269(б,в), 2.288(б,г,д) или

ДЛ-2 №№ 471(3), 472(2,3), 541(2,3), 542(3), 597(2), 598(2), 599(3).

Занятие 11. Поверхности второго порядка. Приведение уравнений поверхностей к каноническому виду. Исследование методом сечений.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 2.393, 2.394, 2.383, 2.379, 2.372, 2.377, 2.405 или МП-6. Дома: ОЛ-2 №№ 2.395, 2.397, 2.375, 2.382, 2.374, 2.380, 2.381 или МП-6. Матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

Занятие 12. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица.

35

Ауд.: ОЛ-2 №№ 3.78, 3.80, 3.81, 3.83, 3.86, 3.90, 3.92, 3.94, 3.103, 3.106, 3.108, 3.112, 3.114, 3.117

или МП-4 №№ 1.1–1.33 (нечетные); 1.61–1.67 (нечетные).

Дома: ОЛ-2 №№ 3.76, 3.79, 3.82, 3.84, 3.85, 3.91, 3.93, 3.95, 3.104, 3.107, 3.110, 3.113, 3.115, 3.119 или МП-4 №№ 1.2–1.34 (четные); 1.62–1.68 (четные).

Занятие 13. Решение матричных уравнений. Решение СЛАУ матричным способом. Нахождение ранга матрицы.

Ауд.: ОЛ-2 №№ 3.121, 3.122, 3.125, 3.190, 3.192, 3.198, 3.150, 3.152, 3.154, 3.156, 3.159, 3.166, 3.168 или МП-4 №№ 1.79–1.97 (нечетные), 1.43–1.49 (нечетные).

Дома: ОЛ-2 №№ 3.123, 3.124, 3.191, 3.199, 3.151, 3.153, 3.157, 3.161, 3.165, 3.167 или МП-4 №№ 1.80–1.98 (четные), 1.44–1.50 (четные).

Занятие 14. Решение систем линейных однородных уравнений. Ауд.: ОЛ-2 №№ 3.224, 3.225, 3.228, 3.230, 3.232, 3.235 или МП-4 №№ 2.1–2.15 (нечетные).

Дома: ОЛ-2 №№ 3.223, 3.226, 3.227, 3.229, 3.231, 3.234 или МП-4 №№ 2.2–2.16 (четные).

Занятие 15. Решение систем линейных неоднородных уравнений. Ауд.: ОЛ-2 №№ 3.206, 3.208, 3.210, 3.211, 3.218, 3.220, 3.239 или МП-4 №№ 2.17–2.33 (нечетные).

Дома: ОЛ-2 №№ 3.207, 3.209, 3.212, 3.213, 3.219, 3.221, 3.236 или МП-4 №№ 2.18–2.34 (четные).

Занятие 16. Рубежный контроль №2.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (для студентов ГУИМЦ)

МОДУЛЬ 1: Векторная алгебра

36

Лекции

МОДУЛЬ 1: Векторная алгебра Лекция 1. Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора как

направленного отрезка. Равенство векторов. Свободные векторы, как множества эквивалентных направленных отрезков. Длина вектора. Нулевой вектор. Линейные операции над векторами: сложение и умножение на число. Алгебраические свойства линейных операций без доказательств. Вектор, противоположный данному, вычитание векторов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Условия линейной зависимости 2-x, 3-x и 4-x геометрических векторов. Векторные пространства V1, V2 и V3 . Базисы в V1, V2 и V3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора относительно базиса.

ОЛ-1 гл.1 п.1.1 – 1.6; ОЛ-3 гл.2 §1; ОЛ-5 гл.1 §1.

Лекция 2. Линейные операции над векторами в координатной форме без доказательств. Угол между двумя векторами без вывода. Ортогональная проекция вектора на направление другого вектора и её линейные свойства без доказательств. Скалярное произведение двух векторов. Алгебраические свойства скалярного произведения. Ортогональность векторов. Нахождение длины вектора и угла между векторами при помощи скалярного произведения. Единичный вектор (орт). Ортонормированный базис в V3. Координаты вектора в ортонормированном базисе как проекции этого вектора на направление базисных векторов. Формулы для вычисления скалярного произведения, длины вектора, косинуса угла между векторами в координатной форме при использовании координат векторов в ортонормированном базисе без выводов. Понятие направляющих косинусов вектора.

ОЛ-1 гл.2 п.2.2; ОЛ-3 гл.2 §2; ОЛ-5 гл.1 §1, гл.1 §3.

Лекция 3. Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический смысл. Алгебраические свойства векторного произведения. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов. Алгебраические свойства смешанного произведения. Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Радиус-вектор точки. Прямоугольная декартова система координат. Формула перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат на плоскости (параллельный перенос, поворот).

ОЛ-1 гл.2 п.2.3 – 2.5, гл.3 п.3.1 – 3.4; ОЛ-3 гл.2 §1 п.9, §3; ОЛ-5 гл.1 §3, гл.3 §1.

Лекция 4. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпедикулярно заданному вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Прямая в пространстве как линия пересечения двух плоскостей. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Векторное уравнение прямой.

ОЛ-1 гл.5 п.5.1 – 5.5; ОЛ-3 гл.5 §3 – 5; ОЛ-5 гл.2 § 2 – 3.

МОДУЛЬ 2: Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и СЛАУ Лекция 5. Кривые второго порядка. Геометрическое определение эллипса и вывод

канонического уравнения, свойства. Гипербола. Геометрическое определение, вывод канонического уравнения, свойства. Асимптоты гиперболы.

ОЛ-1 гл.11 п.11.1 – 11.2; ОЛ-3 гл.6 §1 – 4; ОЛ-5 гл.3 § 2.

Лекция 6. Парабола. Геометрическое определение, вывод канонического уравнения, свойства. Исследование уравнения Ax2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0 , приведение его к каноническому

виду. Преобразование поворота осей координат на плоскости. Приведение общего уравнения второй степени к каноническому виду.

ОЛ-1 гл.11 п.11.3 – 11.4; ОЛ-3 гл.6 §1 – 5; ОЛ-5 гл.3 § 1 – 2.

Лекция 7. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы. Умножение матриц. Алгебрические свойства операции умножения. Транспонирование произведения матриц.

ОЛ-1 гл.6 п.6.1 – 6.4; ОЛ-4 гл.1 §1; ОЛ-5 гл.5 § 1, 6.

Лекция 8. Обратная матрица, теорема об ее единственности. Присоединенная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Матрица, обратная произведению двух обратимых

37

квадратных матриц. Решение матричных уравнений с невырожденной матрицей коэффициентов.

ОЛ-1 гл.8 п.8.1 – 8.3; гл.9 п.9.4; ОЛ-4 гл.1 §2; ОЛ-5 гл.5 § 3, 6. Практические занятия МОДУЛЬ 1: Векторная алгебра

Занятие 1. Определители 2 и 3-го порядков. Основные методы их вычисления. Определитель n- го порядка.

Ауд.: ОЛ-2 № 3.2; 3.3; 3.8; 3.13; 3.14; 3.53; 3.51; 3.53. Дома: ОЛ-2 № 3.1; 3.9; 3.12; 3.19; 3.21; 3.50; 3.52.

Занятия 2–3. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису. Линейные операции над векторами в координатной форме (с изложением теории). Угол между двумя векторами. Ортогональная проекция вектора на направление другого вектора и их свойства (с доказательствами).

Ауд.: ОЛ-2 № 2.8; 2.19; 2.20; 2.38; 2.39; 2.42; 2.46; 2.44; 2.51.

Дома: ОЛ-2 № 2.10; 2.22; 2.36; 2.37; 2.40; 2.43; 2.45; 2.47; 2.52; 2.58.

Занятия 4–5. Скалярное произведение векторов и его свойства. Механический смысл скалярного произведения. Вывод формул для вычисления скалярного произведения, длинны вектора, косинуса угла между векторами в координатной форме при использовании координат векторов в ортонормированном базисе.

Ауд.: ОЛ-2 № 2.65(а, б); 2.67; 2.70; 2.78(б,г,ж,з,и); 2.80; 2.83; 2.84; 2.88. Дома: ОЛ-2 № 2.65(в); 2.66; 2.71; 2.72; 2.78(а,в,д); 2.81; 2.82; 2.89.

Занятие 6. Векторное произведение векторов и его свойства. Механический смысл векторного произведения. Вывод формулы для вычисления векторного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе.

Ауд.: ОЛ-2 № 2.98(а, б); 2.99; 2.100(а,б); 2.102; 2.106; 2.108; 2.109; 2.118. Дома: ОЛ-2 № 2.98(в); 2.100(в,г); 2.101; 2.105; 2.107; 2.111; 2.119; 2.115.

Занятие 7–8. Смешанное произведение векторов и его свойства. Вывод формулы для вычисления смешанного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе. Ауд.: ОЛ-2 № 2.125; 2.127(а); 2.129; 2.132; 2.134; 2.135(а); 2.137; 2.138(а); 2.140(а).

Дома: ОЛ-2 № 2.124; 2.126; 2.127(б); 2.133; 2.135(б); 2.136(а); 2.138(б); 2.139; 2.140.

Занятия 9–10. Прямая на плоскости, ее направляющий и нормальный векторы. Различные виды уравнения прямой на плоскости: уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение; каноническое; параметрическое уравнение прямой; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой «в отрезках»; нормированное уравнение прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Условие перпендикулярности и параллельности прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Отклонение точки от прямой.

Ауд.: ОЛ-2 № 2.141(а); 2.142(а); 2.143(а); 2.144(а); 2.145; 2.148; 2.150(а).

Дома: ОЛ-2 № 2.141(б,в); 2.142(б,в); 2.143(б,в); 2.144(б,в); 2.149; 2.150(б); 2.158.

Занятия 11–12. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости «в отрезках». Угол между двумя плоскостями. Условие перпендикулярности и параллельности плоскостей. Нормированное уравнение плоскости.

Ауд.: ОЛ-2 № 2.182(а); 2.183(а); 2.184(а); 2.180(а); 2.181(а); 2.185; 2.186; 2.190. Дома: ОЛ-2 № 2.182(б); 2.183(б); 2.184(б); 2.180(б); 2.181(б); 2.187; 2.188; 2.196.

Занятия 13–14. Прямая в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Условие пересечения двух прямых. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Скрещивающиеся прямые, расстояние между ними. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

Ауд.: ОЛ-2 № 2.197(а); 2.198; 2.200; 2.204; 2.214.

Дома: ОЛ-2 № 2.197(б); 2.199(а); 2.203(б); 2.205(б); 2.208; 2.215.

38

Занятие 15. Рубежный контроль по модулю 1 (РК №1) «Векторная алгебра, прямые и плоскости».

МОДУЛЬ 2: Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и СЛАУ Занятие 16. Кривые второго порядка.

Ауд.: ОЛ-2 № 2.249(а,в); 2.269(а); 2.288(а,в,е).

Дома: ОЛ-2 № 2.249(б); 2.269(б,в); 2.286; 2.288(б,г,д).

Занятия 17–18. Поверхности вращения. Поверхности второго порядка, их классификация. Исследование методом сечений. Цилиндрические и конические поверхности Ауд.: ОЛ-2 № 2.372; 2.383; 2.395; 2.394; 2.377; 2.380; 2.405.

Дома: ОЛ-2 № 2.393; 2.397; 2.373; 2.374; 2.378; 2.379; 2.381; 2.382. Занятие 19. Контрольная работа «Кривые и поверхности второго порядка».

Занятие 20. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Ауд.: ОЛ-2 № 3.78; 3.81; 3.84; 3.86; 3.90; 3.93; 3.103.

Дома: ОЛ-2 № 3.76; 3.79; 3.82; 3.83; 3.85; 3.91; 3.94; 3.95; 3.104.

Занятия 21–22. Понятие определителя n-го порядка. Свойства определителей (с доказательствами). Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Ауд.: ОЛ-2 № 3.54 (а), 3.27; 3.29; 3.25; 3.187; 3.189; 3.191.

Дома: ОЛ-2 № 3.54 (б, в); 3.55, 3.24; 3.28; 3.30; 3.188; 3.190; 3.54 (б, в); 3.55; 3.192.

Занятия 23–24. Обратная матрица. Вывод формул Крамера. Решение матричных уравнений. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

Ауд.: ОЛ-2 № 3.106; 3.108; 3.109; 3.114; 3.117; 3.121; 3.123; 3.190; 3.198.

Дома: ОЛ-2 № 3.107; 3.110; 3.115; 3.116; 3.119; 3.122; 3.124; 3.125; 3.191; 3.192. Занятие 25. Рубежный контроль по модулю 2 (РК №2) «Матричная алгебра».

Контрольные мероприятия МОДУЛЬ 1: Векторная алгебра

Домашнее задание «Векторная алгебра» (6 неделя).

Домашнее задание «Плоскость и прямая в пространстве» (9 неделя). Рубежный контроль по модулю 1 (9 неделя).

МОДУЛЬ 2: Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и СЛАУ Домашнее задание «Кривые и поверхности второго порядка» (13 неделя). Контрольная работа «Кривые и поверхности второго порядка» (13 неделя). Рубежный контроль по модулю 2 (16 неделя).

ЛИТЕРАТУРА Основная литература (ОЛ)

Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. –388 с. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического

анализа: Учеб. пособие для вузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. 2-е изд. – М.: Наука, 1986. – 428 с.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1988. – 223 с. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984. – 294 с.

Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1987. – 336 с.

Дополнительная литература (ДЛ)

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1986. – 240 с. Беклемешева Л.А. Петрович Ю.А. Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука, 1987. – 496 с

39

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (для студентов ИУ-9)

МОДУЛЬ 1: Векторная алгебра

Лекции МОДУЛЬ 1: Аналитическая геометрия

Лекции 1–2. Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора (направленного отрезка). Нуль-вектор, единичный вектор (орт). Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Связанные, скользящие, свободные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций. Ортогональная проекция векторов на направление. Теорема о проекциях (доказать самостоятельно). Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость векторов. Критерий линейной зависимости двух и трех векторов, линейная зависимость четырех векторов. Векторные пространства V1, V2, V3 и базисы в них. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами. Ортонормированный базис.

ОЛ-1, пп. 1.1–1.7; ДЛ-1, гл. 1, §1.

Лекция 3. Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Радиусвектор точки, координаты точки; связь координат вектора с координатами его начала и конца. Простейшие задачи аналитической геометрии: вычисление длины отрезка, деление отрезка в данном отношении. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису. Преобразование координат точки при замене системы координат.

ОЛ-1, пп. 3.1-3.3; ДЛ-1, гл. 1, §2-3.

Лекция 4. Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Вычисление длины вектора, косинуса угла между векторами и проекции вектора на направление. Координаты вектора в ортонормированном базисе как проекции этого вектора на направление базисных векторов.

40