Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matem_analiz_3_semestr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.

Зафиксируем некоторое значение x и запишем ряд из модулей членов степенного ряда

an x x0 n . Это – знакоположительный числовой ряд. Применим к нему признак

n 0

Даламбера или радикальный признак Коши. Применяя признак Даламбера, имеем

lim

an 1

x x0

n 1

x x

lim

an 1

Отсюда

x x

x x0

lim n

an 1

Поэтому R lim n

an 1

Применяя радикальный признак Коши, имеем

x x

lim

Так определяется радиус сходимости степенного ряда.

Затем исследуется сходимость ряда на границе интервала сходимости, в точках

x x0 R, x x0 R. Эти точки подставляются в исходный ряд, ряд становится обычным числовым рядом и исследуется стандартными методами для числовых рядов.

( 1)n (x 3)n

Пример.

n 5

n 1

| ( 1)n | | (x 3)n |

x 3

Составим ряд из модулей

, применим радикальный

n 5

n 1

признак Коши lim n

x 3

5 .

n n

Радиус сходимости R=5, интервал сходимости (-2, 8). Исследуем сходимость ряда на

границе, подставляя точки x= -2, в исходный ряд..

1 n 5 n

В точке x = -2 имеем ряд

- гармонический ряд, он расходится.

n 5

т 1

n 1

1 n 5 n

( 1)n

В точке x = 8 имеем ряд

- сходящийся (по признаку Лейбница)

n 5

т 1

n 1

знакочередующийся ряд.

Область сходимости исходного ряда (-2, 8].

Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости.

Доказательство.

Пусть

x x0

R .

Выберем

R2 : R1 R2 R ,

например

R R . На

интервале

x x

и в точке

x1 степенной ряд

сходится

абсолютно, так как этот интервал лежит внутри интервала сходимости. Тогда (точно

так

же,

как

доказательстве

теоремы

Абеля

оценим

(x x

x x0

q n ,

n (x1 x0 )n

x x

где q

1 в области

x x

n N (

не зависит от x ).

x x0

Тогда в области

степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку

Вейерштрасса (члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

Следствие. Внутри интервала сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании ряда.

Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.

Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.

lim

n 1

x x

n 1

x x

lim

n 1

1 R

x x

lim n

an 1

x x0

n , перейдем к ряду из

Продифференцируем

почленно

степенной ряд

nan

n 1

модулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.

lim

n 1

x x

n 1

x x

lim

n 1

1 R

an 1

lim n

Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.

Лекция 15. Ряд Тейлора.

Ряд Тейлора.

			n	x0
Рядом Тейлора называется степенной ряд вида		f		x0	x x0 n (предполагается,
Рядом Тейлора называется степенной ряд вида			n!		x x0 n (предполагается,
	n 0		n!
что функция f x является бесконечно дифференцируемой).
						f n 0
Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при x0	0 , то есть ряд						x n .
Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при x0	0 , то есть ряд					n!	x n .
					n 0	n!

Теорема. Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.

Доказательство. Пусть f x an x x0 n и степенной ряд сходится в интервале

n 0

xx0 R . Подставим в разложение x x0 , получим f x0 a0 .

Так как степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости, мы можем его дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же интервале, так как радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Его вновь можно

дифференцировать почленно

т.д.

Вычислим

коэффициенты

в степенных рядах,

= a1 ,

полученных почленным дифференцированием. f x0

n 2

f x n n 1 an x x0

, f

x0 2 1 a2 , a2

n 2

f x0

f x n n 1 n 2 an x x0

n 3

, f

x0 3 2 1 a3 ,

n 3

f (n) x

Продолжая этот процесс, получим

. Это – коэффициенты ряда Тейлора.

Поэтому степенной ряд есть ряд Тейлора.

Следствие. Разложение функции в степенной ряд единственно.

Доказательство. По предыдущей теореме коэффициенты разложения функции в степенной ряд определяются однозначно, поэтому разложение функции в степенной ряд единственно.

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.

Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляя

коэффициенты разложения по формуле

f (n) x

, где

0 .

e x 1 x

...

n 0 n!

x2n 1

sin x x

... 1

(2n 1)!

n 0

(2n 1)!

cosx 1

... 1 n

(2n)!

n 0

(2n)!

2n 1

shx x

...

(2n 1)!

n 0

chx 1

...

(2n)!

n 0

(2n)!

1 x

x 2

... 1 n x n ,

1 x

n 0

ln 1 x x

... 1 n 1

, ( 1 x 1) (интегрируя предыдущую

n 1

формулу)

				64
1 x 1 x 1 x 2	...	1 ... n 1 x n ... 1 1 ... n 1 x n ...

2!		n!	n 1	n!

x 1, R \ N .

Пусть записано разложение функции в степенной ряд. Возникает вопрос, всегда ли это разложение (степенной ряд) сходится именно к этой функции, а не к какой-либо другой.

Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к той функции, по которой он построен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при n .

Доказательство. Запишем формулу Тейлора, известную из 1 семестра

(x x0 )

f x0

(n)

(x0 )

f (x) f (x0 ) f

(x x0 )

...

(x x0 )

Необходимость. Обозначим Sn – частичную сумму ряда Тейлора .

f x0

(n)

(x0 )

(x x0 )

...

(x x0 ) .

Sn f (x0 ) f x0 (x x0 )

Если ряд Тейлора сходится к

f (x) ,

то lim n ( f (x) Sn ) 0 . Но по формуле Тейлора

f (x) Sn Rn . Следовательно,

lim n Rn

0 .

Достаточность.

Если lim n Rn

0 ,

то

lim n ( f (x) Sn ) 0 ,

а S n - частичная сумма

ряда Тейлора. Поэтому ряд Тейлора сходится именно к функции f (x) .

Теорема. Пусть все производные функции

f (x)

ограничены в совокупности одной

L, n) Тогда ряд Тейлора сходится к функции

константой. (

f n (x)

f (x) .

Доказательство. Оценим остаточный член формулы Тейлора

f n ( )

n 1

x x0

n 1

0 ,

так

как

показательная функция растет

(n 1)!

медленнее, чем n!.

Поэтому (по предыдущей теореме)

ряд Тейлора сходится к функции

f(x) .

Вкачестве примера применения теоремы рассмотрим разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x. Эти ряды сходятся к функциям, так как их производные ограничены в совокупности единицей на всей оси.

Вразложении функции ex на отрезке [a, b] все производные функции ограничены константой eb, поэтому ряд для функции ex сходится к ней на любом конечном отрезке.

Ряды для функций sh x, ch x можно получить линейной комбинацией экспонент, следовательно, ряды для этих функций сходятся к ним на всей оси.

Рассмотрим разложение в ряд функции		1 x .		Предположим, что ряд сходится к
функции	S(x) . Можно, дифференцируя	ряд	почленно, установить справедливость
			в	качестве упражнения). Решая это
соотношения 1 x S (x) S(x) (выведите его

дифференциальное уравнение, получим S (x) (1 x) .

Применение степенных рядов.

1. Вычисление значений функций

Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью 0.01.

x		dx			x	3		x	5		x	7			(0.3)	3	(0.3)	5
arctg x		dx		x	x			x			x		...	arctg0.3 0.3	(0.3)		(0.3)		...
arctg x		x	2	x									...	arctg0.3 0.3					...
0	1	x		3			5			7					3		5
0

По следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося ряда оценивается модулем первого отброшенного члена.

R	n	(0.3)n 1	0,01 . Из этого неравенства найдем n, n=2. arctg 0.3 0,3 .

		n 1

Если разложение – знакопостоянный ряд, то надо подобрать какой-либо мажорантный ряд с известной суммой, например, оценить сверху члены ряда членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и оценку суммы ряда проводить по сумме прогрессии.

2. Вычисление интегралов.

0.3

Пример. Вычислить

dx с точностью 0,01

1 x

0.1

1 x x 2

x3 ...

1 x

0.3

...|0.3 1 0.3 (0.3)2

(0.3)3 ... 1 0.1 (0.1)2 (0.1)3 ...

dx x

0.11

0.1

(0.3)n 1 ,

(0.1)n 1 ,

(0.3)n 1 0.1 n 1 0.01

n 3,

0.3 4

0.1 4

0.0082 0.01

0.3

dx (1

0.3 (0.3)2

(0.3)3 ) (1 0.1 (0.1)2 (0.1)3 ) 0.146

1 x

0.1

Решение дифференциальных уравнений.

Пример. y y 2

y 0 1

способ.

Представим

y(x)

в виде

степенного ряда с неопределенными

коэффициентами до x n (n – заранее определено). Это разложение подставляется в левую и правую часть, и приравниваются коэффициенты при равных степенях x. Решается система алгебраических уравнений и определяются коэффициенты.

y(x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x3 a4 x 4 a5 x5 .

Заметим, что при дифференцировании степень понижается на единицу, поэтому в разложении нужно запасать членов на k больше n, где k – порядок дифференциального уравнения.

Разложение проводится по степеням (x - x0), если начальные условия заданы в точке x0. В данном уравнении производится разложение в ряд Маклорена, так как начальное

условие задано в нуле.

y (x) a1 2a2 x 3a3 x 2 4a4 x3 5a5 x 4 .

Подставляем разложения в правую и левую части уравнения y y 2 x .

a1 2a2 x 3a3 x 2 4a4 x3 5a5 x 4 = . (a0 a1 x a2 x 2 a3 x3 a4 x 4 a5 x5 ) x .

a02 a12 x 2 a22 x 4 2a0 a1 x 2a0 a2 x 2 2a0 a3 x3 2a0 a4 x 4 2a1a2 x3 2a1a3 x 4 x.

Удерживаем в разложении члены четвертых степеней, в коэффициентах при x5 будут

1a1 a02 1

x2a2 2a0 a1 1

x 2			3a	3		a 2						2a						a		2
				3						1							0			2
x3			4a			4		2a							a	3	2a a										2
						4							0			3									1		2
x 4			5a			5		a					2 2a						0		a			4	2a a								3
						5							2						0					4						1			3
Отсюда a									1 a										1, a													1		, a				2	,		a					7
Отсюда a							0		1 a										1, a								2							, a		3			,		a	4
							0										1										2					2				3	3					4			12
																																2					3								12
y(x) 1 x												x 2					2		x3								7			x 4
y(x) 1 x																	3		x3							12				x 4
												2					3									12
2 способ. Представим y(x)																														в виде ряда Тейлора.
																															2				y					3			y	1V	(0)			4
																							y (0)								2				y		(0)			3			y		(0)			4
y(x) y(0) y (0)x																													x										x								x		...
y(x) y(0) y (0)x																									2!				x								3!		x					4!			x		...
																									2!												3!							4!
y(0) 1
					2		(x) x,																							2		(0) 0 1
y (x) y							(x) x,											y (0) y														(0) 0 1
										1,															2 1 1
y (x) 2 yy										1,						y (0)									2 1 1
y											2														y							4
y		(x) 2 y											2 yy ,												y		(0)					4
y	1V																						2 yy											y	1V		(0) 4 2 8 14
y			(x) 4 y y										2 y y										2 yy							,				y			(0) 4 2 8 14
y(x) 1 x												1		x2					2			x			3			7				x4 .
y(x) 1 x														x2								x			3							x4 .
												2							3								12

Содержание

Часть1 Кратные, криволинейные интегралы, теория поля

Лекция 1	Двойной интеграл..		2
Лекция 2.	Приложения двойного интеграла	.	6
Лекция 3.	Тройной интеграл	.	10
Лекция 4.	Приложения тройного интеграла		13
Лекция 5.	Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства		15
Лекция 6.	Формула Грина		20
Лекция 7	Поверхностный интеграл.		26
Лекция 8	Скалярное и векторное поля	.	30

Лекция 9	Формула Стокса	35
	Часть 2 Числовые и функциональные ряды.
Лекция 10.	Числовые ряды и их свойства	41
Лекция 11.	Знакоположительные ряды	44
Лекция 12.	Знакопеременные ряды	51
Лекция 13.	Функциональные ряды	55
Лекция 14.	Степенные ряды	59
Лекция 15.	Ряд Тейлора	62

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019152.58 Кб6mashgraf.doc
#
09.02.20153.3 Mб28mat-analiz-1-kurs.doc
#
09.02.2015227.88 Кб6Matanaliz.docx
#
09.02.201525.86 Кб13matan_rk.docx
#
09.02.201519.8 Mб7matematika_11klass_1_polugodie.pdf
#
09.02.20151.29 Mб18Matem_analiz_3_semestr.pdf
#
10.02.201540.6 Mб2225Materialovedenie_2008.pdf
#
09.02.2015263.63 Кб10MATHAN1.pdf
#
10.02.2015131.8 Кб12Mathcad - Var9.pdf
#
10.02.2015152.86 Кб16Mathcad - ДЗ 2 Волков пешти испр (15 стр).pdf
#
10.02.2015176.02 Кб15Mathcad - ДЗ 2 домашенко испр (16 стр).pdf