Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matem_analiz_3_semestr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

								31

			Производная			скалярного поля по направлению l		определяется как

g	\|		lim		g M tl g(M )		. Известно из теории функций многих переменных (выпуск V
l	\|	M	lim	t 0		t	. Известно из теории функций многих переменных (выпуск V
l		M		t 0		t

учебника), что производная по направлению есть проекция градиента на данное направление

g
g			gradg	l
	\|	M	gradg		.
l		M		\| l \|
Пример. Найти производную скалярного поля g(x, y, z) = x2 + y2 + z3 по направлению
{1,3,2} в точке (1,0,4)
gradg 2x, 2 y,3z 2 ,						g		1		3		2	98
						l	\| 1,0,4 2,0,48		,		,			.

								14		14		14	14
								14		14		14	14

Векторное поле.

Векторная линия - линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к ней.

Уравнения векторной линии легко получить из условия коллинеарности векторов поля

a(M ) P(x, y, z) i Q(x, y, z) j

R(x, y, z)k и касательной dr

dxi dy j dz k

P(x, y, z)

Q(x, y, z)

R(x, y, z)

Пример. Написать уравнения векторных линий векторного поля

a(M ) y i

x j

xdx ydy,

xdx ydy 0,

d (x 2 y 2 ) 0,

x 2 y 2

C -

линии уровня –

окружности (С>0).

Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями.

Формула Остроградского – Гаусса.


Пусть компоненты векторного поля	a	(M ) P(x, y, z) i	Q(x, y, z) j	R(x, y, z)k

непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой области V и на ее кусочно гладкой границе .

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса

		P	Q	R
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy				dv.
	V	x	y	z

Заметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поля

a(M ) через поверхность .

Доказательство. 1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольности P, Q, R состоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поля P, Q, R. В самом деле, можно взять P = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы в которую входит только R. Остальные части формулы (при P = 0, R = 0, Q = 0, R = 0) доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулы

R(x, y, z)dxdy R dv
	V	z

2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственную область V в виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными оси OZ. Доказательство можно

проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах.

	Итак, будем доказывать соотношение R(x, y, z)dxdy							R dv	для цилиндрического
							V	z
							V
тела V, проектирующегося в область				D на плоскости OXY. Пусть «верхняя» граница
цилиндрического тела – поверхность				1	описывается уравнением				z z1 (x, y) , «нижняя»
граница – поверхность 2			описывается		уравнением	z z2 (x, y) .			Боковую	поверхность
цилиндрического тела, параллельную оси OZ, обозначим 3 .
	Сразу заметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю.
Действительно,		R(x, y, z)dxdy R x, y, z cos d 0 ,					так	как	нормаль	на боковой
		3	3
поверхности ортогональна оси OZ и cos 0 .
	Заметим также, что на «верхней» поверхности 1					cos 0 , а на «нижней поверхности
2	cos 0 .	Поэтому при	переходе	от	поверхностного		интеграла по 2			к двойному

интегралу по области D и обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностного интеграла по 1 к двойному интегралу по области D и обратно менять знак не надо .

z		n1
		1

3 n3

2	n2
	n2
	D

R dxdydz

( x, y )

R(x, y, z (x, y) dxdy

R dz dxdy

V z

D z2 ( x, y )

R(x, y, z2 (x, y) dxdy =

R(x, y, z)dxdy R(x, y, z)dxdy =

R(x, y, z)dxdy R(x, y, z)dxdy + R(x, y, z)dxdy =

R(x, y, z)dxdy

Таким образом,

соотношение

R(x, y, z)dxdy

доказано.

Замечание. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» виде


П (a) div a dv - поток векторного поля через замкнутую поверхность					равен
	V
объемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью .
Дивергенция векторного поля (расходимость) есть		P	Q	R .
		x	y	z

Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат. Покажем это.

Инвариантное определение дивергенции.

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестность VM – шар радиуса r с центром в точке M. Обозначим M - ее границу – сферу радиуса r. По теореме о среднем для тройного интеграла

diva dv diva(M ) VM

M VM ,

diva M

divadv

n d

(по

M M

формуле Остроградского – Гаусса).

Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точке M.

a n d

diva(M ) lim VM M

. Это и есть инвариантное определение дивергенции.

Поэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности

потока

векторного

поля

через

окрестность этой

точки

характеризует

мощность

источника (если

diva(M ) >0) или стока (если

diva(M ) <0) векторного поля в точке M.

Если diva(M ) >0, то точка M – источник векторного поля, если diva(M ) <0, то точка M

– сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой

области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области

равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

Пример.

Определить

расположение

источников

стоков

векторного

поля

xz 2

a x 2 y i xzy j

k . Выяснить, является ли точка M(1,2,3) источником или стоком.

xz 2xz 2xy xz . Все точки,

для которых 2xy+xz >0 –

источники,

все

diva 2xy

точки, для которых 2xy+xz <0 – стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни

4 3 7 0 .

стоков. Точка M – источник, так как diva(M )

Свойства дивергенции.

1) Линейность. div 1a1

2 a2 1diva1 2 diva2

div 1a1

2 a2 div(( 1 P1 2 P2 )i

( 1Q1 2Q2 ) j

( 1 R1 2 R2 )k

( P

P )

( Q

Q )

( R

R )

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1diva1 2 diva2 .

divC 0 , где

cx i

cz k - постоянное векторное поле.

c y

divC

grad ,

где x, y, z - скалярное поле.

div a diva

( P)

div( a) div( Pi

Rk )

grad .

diva a

		Соленоидальное поле и его свойства.
Векторное поле
		a M называется соленоидальным в области V, если в любой точке M
этой области
	diva(M ) 0.

Свойства соленоидального поля.

1)Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю.

Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из инвариантного определения дивергенции.

2)Поток соленоидального поля через любую поверхность, окружающую изолированный источник или сток, один и тот же.

1в

1н

2в

2 н

Рассмотрим две замкнутых поверхности 1 и 2 , окружающие

изолированный источник (сток). Будем считать векторное поле соленоидальным в пространственной области между поверхностями. Рассечем поверхности плоскостью P и выберем на ней «верхнюю» сторону плоскости и «нижнюю» сторону, введем на плоскости вектор нормали от «нижней» стороны к «верхней». Плоскость разделяет поверхности на «верхние» и «нижние» части. Обозначим на них направления внешних нормалей к поверхностям.

Рассмотрим две пространственных области. Одна из них лежит выше плоскости и ограничена верхними частями поверхностей и верхней частью плоскости. Вторая ограничена нижними частями поверхностей и нижней частью плоскости.

В той и другой области поле соленоидально. Следовательно,

поток векторного поля через границы этих областей равен нулю.

Пв ПР П 2в П 1в 0 , Пн ПР П 2 н П 1н 0 .

Складывая эти выражения, получим П 1 П 1в П 1н П 2 в П 2 н П 2 .

3)Поток соленоидального поля через произвольное сечение векторной трубки один и тот же.

										35
n	a	Обозначим Sбок		–боковую поверхность векторной трубки. На
		боковой поверхности направления нормали и векторного поля
	S2	ортогональны,			так		как	векторная		трубка образована
		векторными линиями, а вектор поля направлен по касательной
		к векторной линии. Поэтому поток векторного поля через
		боковую поверхность векторной трубки равен нулю (ПSбок.= 0).
S1		Учитывая направления нормалей и вектора поля на сечениях
S1		векторной	трубки			S1	и S2,	а также		соленодальность поля,
		векторной	трубки			S1	и S2,	а также		соленодальность поля,
		получим
		ПS ПS	ПS		2	0,	П S ПS		.
		1	бок		2		1		2

Следствие. Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться и заканчиваться внутри поля.

В самом деле, иначе конечный поток приходился бы на нулевую площадь источника или стока, что требовало бы бесконечной мощности источника или стока.

Лекция 9 Формула Стокса.

Ротор векторного поля.

Назовем ротором векторного поля

a(M )

P(x, y, z) i Q(x, y, z) j

R(x, y, z)k вектор

rot a

Свойства ротора.

1) Линейность

rot( 1a1 2 a2 )

1 rota1

2 rota2

rot( 1a1 2 a2 )

1 P1 2 P2

1Q1 2Q2

1 R1 2 R2

1 P1

1Q1

1 R1

= 1 rota1

2 rota2 .

2 P2

2 R2

2) rotC 0, C - постоянное векторное поле.

rotC

3) rot( a) rot a

grad rot a

( Q)

( R)

( P)

( R)

rot ( a)

k +

grad

rot

= rot a

			( Q)
j
			x
			x

a .

	( P)
		k
	y

Теорема Стокса.

Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхностьс кусочно-гладкой границей .


Пусть компоненты векторного поля	a	(M ) P(x, y, z) i	Q(x, y, z) j	R(x, y, z)k

непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в области V.

Тогда справедлива формула Стокса

	R		Q

			dydz
	y		z

P R

dxdz

z x

Q	P	Pdx Qdy Rdz

	dxdy
x	y

Замечание. Нормаль к поверхности проведена так, чтобы наблюдатель, находясь на конце вектора нормали, видел бы обход контура , совершающимся в положительном

направлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контура находилась бы «по левую руку»).

Доказательство теоремы Стокса.

Как и формула Остроградского – Гаусса, формула Стокса

состоит из

трех

независимых

частей

(в

силу

произвольности компонент векторного поля).

Докажем

одну из этих частей,

остальные формулы доказываются

аналогично. Докажем

dxdz

Pdx -

dxdy

часть формулы

Стокса, в

которой

содержится

только

компонента P.

Предположим,

что

поверхность

описывается

уравнением z x, y . Тогда нормаль к поверхности

представляет собой вектор

n cos ,cos ,cos

1 2

Отсюда видно, что cos "

cos . Вспомним еще, что d cos dxdz, d cos dxdy .

P x, y

dxdz

cos

dxdy

cos d

(на поверхности

x, y , поэтому под интегралом стоит частная производная P по y с

учетом зависимости z от y на поверхности )

P dxdy P(x, y, (x, y)) dxdy

Используем формулу Грина для области D с ее границей . Ее можно записать в виде

Pdx Qdy . Нам понадобится только та ее часть, которая относится к

dxdy

функции P

P dxdy Pdx . Продолжаем равенство дальше.

= P(x, y, x, y )dx P(x, y, z)dx .

В самом деле, на контуре z x, y , а переменные x, y на том и другом контуре те же, так как контур - это проекция контура на плоскость OXY (параллельно оси OZ).

Одна из частей формулы Стокса доказана.

Линейным интегралом векторного поля		по дуге L называется криволинейный
Линейным интегралом векторного поля	a	по дуге L называется криволинейный
интеграл Pdx Qdy Rdz .

Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.

Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру.

	Pdx Qdy Rdz .
Ц a	Pdx Qdy Rdz .

Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме

		.
Ц a	П rot a	.

Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор

– это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.

Инвариантное определение ротора.

Рассмотрим произвольную точку M в области V. Проведем через нее поверхность , границей которой служит контур . Пусть поверхность и контур удовлетворяют условиям

теоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стокса получим


rota	nd rota(M ) n M Pdx Qdy Rdz .

Здесь, как и ранее - обозначение области и ее площади. Из этого соотношения, стягивая контур к точке M, получим

		Pdx Qdy Rdz

rota M n M lim M


Это и есть инвариантное определение ротора.
Правая часть формулы – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля
(энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращении
вокруг некоторого направления, определяемого вектором
			n M ). Левая часть – это проекция
ротора на это направление.
Если направление
	n M совпадает с направлением ротора и n M - единичный вектор,

то левая часть равна модулю ротора. Поэтому модуль ротора векторного поля равен

максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля.

Левая часть достигает максимума при коллинеарности направления и ротора векторного поля. Поэтому направление ротора векторного поля – это то направление,

вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля – наибольшая.

Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью

Векторное поле линейной скорости v

r .

z y y z i

x z z x j

y x x y k

rotv

2 x i

2 y j

2 z k

z y y z

x z z x

y x x y

Ранее была сформулирована теорема о полном дифференциале для пространственной кривой. В ее доказательстве не хватало только одного пункта – перехода от пункта 3) к пункту 2). Все остальное доказывается аналогично случаю плоской кривой.

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.

Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.

1) Pdx Qdy Rdz не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит

только от начальной и конечной точек дуги.

Для любого замкнутого контура S

Pdx Qdy Rdz 0

, R

Q ,

x, y, z S

Pdx Qdy Rdz dV (x, y, z),

P V

, Q

, R

V .

V (x, y, z) - полный

дифференциал.

Теперь переход от пункта 3) к пункту 2) легко сделать по формуле Стокса.

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять по формуле

x2	, y2 , z2	x2	y2	z2
	Pdx Qdy Rdz=	P x, y1 , z1	dx Q x2 , y, z1	dy R x2 , y2 z dz , так как интеграл
x1 , y1 , z1		x1	y1	z1

не зависит от формы дуги (пути интегрирования).

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять также по формуле Ньютона – Лейбница

x2 , y2 , z2

Pdx Qdy Rdz= V x2 , y2 , z2 V x1 , y1 , z1 , где V x, y, z - потенциал векторного

x1 , y1 , z1

поля ( a gradV ).

Потенциальное поле и его свойства.

Векторное поле a(M ) называется потенциальным, если существует такое скалярное


поле V (M ) (потенциал векторного поля a(M ) ), что a(M ) = gradV (M ) .
		- потенциально, то			= gradV dr dV - полный
Замечание. Если поле a(M )				a(M ) dr
дифференциал. Тогда			dr dV -	полный	дифференциал. Поэтому
	Pdx Qdy Rdz a

свойства потенциального поля можно сформулировать и доказать как следствия теоремы о полном дифференциале.

Свойства потенциального поля.

1. Линейный интеграл потенциального поля a	dr	не зависит от формы дуги L =	AB ,

а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

	dr = gradV dr dV V (B) V ( A) .
В самом деле, a	dr = gradV dr dV V (B) V ( A) .
L	L	L

2. Циркуляция потенциального поля равна нулю

Полагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем a dr = V ( A) V ( A) 0

L
	0
3. Потенциальное поле является безвихревым, т.е. rota	0


			i		j		k
	rot(gradV )
rota
rota			x		y		z
			x		y		z
		V		V		V
			x		y		z

k 0

y z

z x

x y

z y

x z

y x

Оператор Гамильтона


Оператор Гамильтона		i		j		k .
Оператор Гамильтона	x	i	y	j	z	k .
	x		y		z

Применим оператор Гамильтона к скалярному полю ix y

		grad .
j	k	grad .
	z

Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или

векторно умножить на векторное поле a M .

P Q R a

x y z

	0,
diva		a



i	j	k

			rota.
x	y	z	rota.
P	Q	R

Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор.

Дифференциальные операции второго порядка.

В результате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные и

векторные поля
векторные поля	grad , rota,	diva .

К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка.

		можно взять градиент, получив векторное поле
От скалярного поля diva					graddiva .
От векторных полей			можно взять ротор и дивергенцию, получив
		grad , rota
скалярные поля

	div grad , divrota и векторные поля rot grad ,			rot rota .
Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярные
поля div grad ,

	divrota и векторные поля		graddiva , rot grad ,	rot rota .

Ранее было показано, что потенциальное поле – безвихревое, т.е. rot grad =0.

Покажем, что поле ротора – соленоидальное поле, т.е. divrota =0.

Доказательство.

rot a

2 R

2 Q

2 P

2 R

2 Q

2 P

0 .

divrota

x y

x z

y z

y x

z x

z y

Три остальных векторных поля связаны друг с другом. Это становится ясным, если рассматривать векторные операции с оператором Гамильтона «набла» аналогично обычным векторным операциям. Однако, эти аналогии не совсем верны, см. подробнее о свойствах оператора «набла» выпуск 7 учебника.

rot grad =

0 ,

divrota =

a 0

Известно соотношение a

c a

b . Перенося это правила на действия с

оператором «набла», получим

rot rota

a a

a( ) graddiva

2 a

graddiva

(divgrad)a .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019152.58 Кб6mashgraf.doc
#
09.02.20153.3 Mб28mat-analiz-1-kurs.doc
#
09.02.2015227.88 Кб6Matanaliz.docx
#
09.02.201525.86 Кб13matan_rk.docx
#
09.02.201519.8 Mб7matematika_11klass_1_polugodie.pdf
#
09.02.20151.29 Mб18Matem_analiz_3_semestr.pdf
#
10.02.201540.6 Mб2225Materialovedenie_2008.pdf
#
09.02.2015263.63 Кб10MATHAN1.pdf
#
10.02.2015131.8 Кб12Mathcad - Var9.pdf
#
10.02.2015152.86 Кб16Mathcad - ДЗ 2 Волков пешти испр (15 стр).pdf
#
10.02.2015176.02 Кб15Mathcad - ДЗ 2 домашенко испр (16 стр).pdf