Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matem_analiz_3_semestr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Здесь 2

- оператор Лапласа (скаляр – оператор).

y 2

z 2

divgrad div

2 .


(divgrad)a 2 Pi 2Qj 2 Rk - произведение скаляр-оператора Лапласа на вектор a .
				Гармоническое поле.
	Скалярное поле x, y, z называется гармоническим, если
		2	2	2
	2	x2	y 2	z 2 0 - уравнение Лапласа.

	Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциальное ( a grad ), а
					2	2	2
потенциал - гармоническое скалярное поле, т.е. 2 x2						y 2	z 2 0 .
	Теорема. Для того, чтобы векторное поле
	Теорема. Для того, чтобы векторное поле				a(M ) было гармоническим, необходимо и
достаточно чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.
							то оно потенциальное,
	Необходимость. Если векторное поле a(M ) - гармоническое,						то оно потенциальное,
	grad , тогда оно соленоидально, так как
т.е. a	grad , тогда оно соленоидально, так как				diva divgrad 2 0 .
					потенциальное, то
	Достаточность. Если векторное поле a(M )				потенциальное, то		a grad . Так как оно

	divgrad 2 . Следовательно, поле потенциально и его
еще и соленоидально, то 0 = diva

потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.

Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.

Часть 2. Числовые и функциональные ряды

Лекция 10. Числовые ряды и их свойства.

Числовой ряд an – это сумма бесконечного количества чисел, выбранных по

n 1

определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда an .

Примеры

1. 1+	1	1	1		1	...	1	...-		бесконечно	убывающая				геометрическая
1. 1+	2	4	8	16		...	2n 1	...-		бесконечно	убывающая				геометрическая
	2	4	8	16			2n 1
прогрессия со знаменателем q									1	. Ее сумма равна		1		2 ,
прогрессия со знаменателем q									2	. Ее сумма равна	1		1	2 ,
									2				1
													2

2.1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.

3.1-1+1-1… Сумма этого ряда не существует (ни конечная, ни бесконечная).

При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд». Отвечая на этот вопрос для геометрической прогрессии, мы вычисляем последовательно S2 1+ 12 32 ,

=1+

, - суммы n членов ряда – частичные суммы ряда

S n .

Ряд

называется

сходящимся,

если

существует

конечный

предел

n 1

последовательности

частичных

сумм ряда –

он

называется суммой

ряда

lim n Sn

S .

Ряд называется

расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен или

вообще не существует.

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то lim n an 0 .

Доказательство.

an Sn

Sn 1 .

Пусть

ряд

сходится,

тогда

lim n an

lim n Sn

lim n Sn 1 S S 0 .

Необходимый признак позволяет отсеивать часть расходящихся рядов.

Достаточный признак расходимости. Если lim n an

0 , то ряд расходится.

Доказательство (от противного). Пусть ряд сходится. Тогда по необходимому

признаку сходимости ряда

lim n an

0 Противоречие с lim n an

0 .

3n 2

Пример. Ряд

расходится, так как

lim n an

n 1

2n 1

Пример Ряд 1

расходится, так как an

e 0 .

n 1

Критерий Коши сходимости ряда.

(Это – критерий Коши для последовательности частичных сумм ряда).

Для того чтобы ряд сходился (последовательность частичных сумм имела конечный

предел), необходимо и достаточно, чтобы 0 N, n N, p 0

Sn p Sn

Критерий Коши расходимости ряда. (отрицание критерия Коши)

Для

того

чтобы

ряд

расходился

необходимо

достаточно,

чтобы

0 N, n N, p 0

Sn p Sn

Пример. Рассмотрим гармонический ряд

n 1

| Sn p

...

... 1

...

n 1

...

n p

2 3

n n 1

2 3

...

, если выбрать

p n .

Удалось для

N, n выбрать

p n ,

n p

p 2

чтобы

Sn p

. Следовательно, гармонический ряд расходится.

Свойства сходящихся рядов.

1.Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.

Доказательство.	Для	второго	ряда	частичная	сумма	будет	равна
S2 n ka1 ... kan	k a1	... an kS1 n . По		теореме о	предельном переходе в

равенстве S2 kS1 .

2.Члены сходящегося ряда можно группировать. Полученный ряд будет сходиться, и сумма его не изменится.

Сгруппируем члены ряда, например, так

b1 a1 .. ak , b2

ak 1 ...

al , ...bn

as ...

a p ... . Видно, что частичные суммы

группированного ряда представляют собой подпоследовательность последовательности частичных сумм исходного ряда. Так как последовательность сходится, то и подпоследовательность сходится к тому же пределу.

3. В сходящемся	ряде	можно отбросить конечное	число первых членов
a1 ...ak (a1 ... ak	B) .	Полученный ряд будет сходиться,	а его сумма будет меньше
суммы исходного ряда на B.

Запишем частичные суммы второго ряда

S2 1 ak 1 S1 k 1 B,...S2 n ak 1 ... ak n S1 k n B . По теореме о предельном переходе в равенстве S2 S1 B .

Замечание. Ряд, полученный из исходного ряда отбрасыванием первых k членов,

называется остатком ряда и обозначается Rk an

n k 1

4.Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился остаток ряда. (Докажите это самостоятельно, используя доказательство свойства 3).

Поэтому сходимость ряда можно исследовать, «начиная с некоторого n».

5.Сходящиеся ряды можно складывать (или вычитать), получая сходящийся ряд с суммой, равной сумме (или разности) сумм исходных рядов.


Рассмотрим два сходящихся ряда an			и bn . Рассмотрим ряд cn , где
		n 1	n 1	n 1
cn an bn .	Sc n Sa n	Sb n . Переходя к пределу в равенстве, получим Sc			Sa	Sb .

Примеры.

1.Ряд –5+7-8+100+1+0,5+0,25+0,125+… сходится. В самом деле, отбросив первых четыре члена ряда (свойства 3,4), получим сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

2.Ряд 1 1 12 12 14 13 18 14 ...расходится. Он представляет собой сумму двух рядов: сходящейся геометрической прогрессии (нечетные члены) и гармонического ряда (четные члены). Если бы этот ряд сходился, то, вычитая из него почленно сходящийся ряд 1 0 12 0 14 ..., мы должны были бы по свойству 5 получить

сходящийся ряд. А получаем расходящийся гармонический ряд. Следовательно, исходный ряд расходится.

3.	Ряд			1					1	...						1			... сходится. Рассмотрим сходящийся ряд
3.	Ряд		1 2					2 3		...			n(n 1)						... сходится. Рассмотрим сходящийся ряд
			1 2					2 3					n(n 1)
					1		1				1			1							1	1
	1																...						... 1. Группируем его члены
	1																...						... 1. Группируем его члены
					2		2				3			3							n n
		1				1			1						1			1
1										...										... , получаем исходный ряд. Следовательно, он
1										...									3	... , получаем исходный ряд. Следовательно, он
		2				2			3			1				2 2			3

сходится (свойство 2), и его сумма равна 1.

Лекция 11 Знакоположительные ряды.

Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены – положительные (неотрицательные) числа.


an	an 0
n 1

Основная и довольно приятная особенность знакоположительных рядов в том, что частичные суммы ряда представляют собой неубывающую последовательность.

Sn Sn 1 an Sn 1 , т.к. an 0.

Поэтому достаточно проверить, что последовательность частичных сумм ограничена сверху, чтобы по теореме Вейерштрасса утверждать, что последовательность частичных сумм имеет конечный предел, т.е. ряд сходится.

На этом основаны, практически, все признаки сходимости рядов.

Ряд может сравниваться с несобственным интегралом (интегральный признак Коши), с другими рядами (признаки сравнения рядов), в частности, со сходящейся геометрической прогрессией (признак Даламбера, радикальный признак Коши).

Каждый признак можно сравнить с увеличительным стеклом. У каждого признака есть своя область применения, более широкая или более узкая (как поле зрения линзы) и своя сила. Одни признаки сильнее, позволяют различать слабо сходящиеся или слабо расходящиеся ряды, но имеют узкую область применения (например, интегральный признак Коши). Другие, наоборот, имеют широкую область применения, но довольно слабы, ряды, близкие к границе сходимости, с их помощью не различишь (например, признаки Даламбера и Коши (радикальный)).

Пока в библиотеке рядов, которые мы можем использовать для сравнения, всего два ряда: сходящийся ряд - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, известная еще из школы, и расходящийся гармонический ряд, полученный по критерию Коши.

Заметим, что критерий Коши (как критерий сходимости), вообще, самый сильный инструмент при исследовании сходимости ряда, но его область применимости узка.

Интегральный признак Коши, основанный на сравнении с несобственным интегралом – очень сильный признак. В самом деле, если аппроксимировать непрерывную подинтегральную функцию кусочно-постоянной, то площадь под графиком функции (интеграл) и площадь под графиком кусочно-постоянной функции будут различаться на конечное число.

Интегральный признак Коши.

f(x), an			Пусть при x 1 определена непрерывная, не
f(x), an			возрастающая			функция	f(x), такая, что
			возрастающая			функция	f(x), такая, что
a1			f (n) an ,		lim x f (x) 0 .
a1

a2			Тогда	ряд	an сходится		тогда и только
					n 1
an-1			тогда,	когда		сходится	несобственный

an			интеграл f (x)dx .
			интеграл f (x)dx .
				1
1 2	n-1	n	x
1 2	n-1	n

n
Доказательство. f (x)dx - это площадь под графиком функции f (x) при 1 x n .
1
Так как a2 a3 ... an Sn a1 (сумма	площадей	прямоугольников) ограничивает
площадь под графиком функции снизу, а a1 a2	... an 1	Sn an ограничивает ее сверху,

то Sn a1 f (x)dx Sn an .

									46
								n
.	Достаточность.		Если	интеграл		сходится, то		Sn a1 f (x)dx a1 f (x)dx ,
поэтому последовательность Sn								1	1
поэтому последовательность Sn					ограничена сверху. Так			как эта последовательность не

убывает, то по теореме Вейерштрасса lim n Sn							S . Поэтому ряд an сходится.
								n 1

Необходимость. Если ряд					an сходится,		то lim n Sn S ,		а по необходимому
					n 1
признаку		сходимости	ряда	an 0		при	n .	Поэтому	последовательность
n					f (x) 0 ) ограничена сверху. Следовательно, по теореме
f (x)dx		(неубывающая, так как			f (x) 0 ) ограничена сверху. Следовательно, по теореме
1
		n
Вейерштрасса lim n f (x)dx					f (x)dx , т.е. несобственный интеграл сходится.
		1			1

Если ряд расходится, то и интеграл расходится и наоборот. Это легко доказывается от противного.

Поэтому говорят, что несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится. Это понятие часто употребляют при сравнении рядов.

Пример. Применим интегральный признак к гармоническому ряду.

dx lim

lim

ln b ln 1

интеграл

расходится, поэтому

гармонический ряд расходится.

Пример. Рассмотрим

«ряды

Дирихле»

. Название

взято в кавычки,

так

т 1 n

неизвестно, рассматривал ли эти ряды Дирихле, но оно устоялось за долгие годы.

x p
	dx	lim		b1 p 1	p 1 . Ясно, что интеграл сходится при p>1 и расходится при
		lim	b	b1 p 1	p 1 . Ясно, что интеграл сходится при p>1 и расходится при
			b
1

P<1. Случай p=1 рассмотрен выше (расходящийся гармонический ряд). Отсюда следует вывод

сходится при p 1

т 1 n p

расходится при p 1

Интересно, что

ряд

сходится при q 1 и расходится при q 1

, интегралы

n 1

n ln

расходятся (проверьте по интегральному признаку).

n 2

n ln n

n 3

n ln n ln ln n

Теперь становится яснее, где пролегает граница между сходящимися и расходящимися рядами. Заодно накоплена библиотека сходящихся и расходящихся рядов, которые можно использовать как эталонные при сравнении рядов. Сравнивать ряды можно с помощью признаков сравнения.

Признаки сравнения рядов.

Первый признак сравнения рядов.

		47

Пусть выполнено неравенство an bn	n . Тогда из сходимости ряда	bn следует
		n 1


сходимость ряда an , а из расходимости ряда	an
n 1	n 1

следует расходимость ряда bn .

n 1

Замечание. В силу свойства сходящихся рядов, конечное число членов ряда не влияет на сходимость и неравенство an bn можно проверять «начиная с некоторого n». Поэтому

эту фразу часто можно встретить в теоремах о рядах. Иногда ее просто опускают, но ее всегда надо иметь в виду.


Доказательство. 1) Пусть ряд bn сходится. Тогда
	n 1
Sa n Sb n Sb	n . Поэтому последовательность частичных сумм

выполнено неравенство

S a n ограничена сверху

числом S b . Но эта последовательность не убывает. Следовательно, по теореме Вейерштрассаlim n Sa n Sa Sb . Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве.

2) Пусть ряд an расходится. Если

ряд bn сходится, то по п.1 доказательства и ряд

n 1

an сходится. Противоречие. Следовательно,

ряд bn расходится.

n 1

Пример.

Ряд

расходится,

так

как

, а ряд

(гармонический)

n 2

ln n

ln n n

n 2 n

расходится.

Второй признак сравнения.

Пусть

lim n

C 0 . Тогда

ряды

bn сходятся

или расходятся

n 1

«одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится.

Доказательство. Раскроем определение предела. 0 N , n N								an	C	.
Доказательство. Раскроем определение предела. 0 N , n N									C	.
								bn
С	an	C ,	b		(C ) a		b (C ) .
С		C ,	b	n	(C ) a	n	b (C ) .
	bn			n		n	n
	bn

Если ряд an сходится, то по						1	признаку сравнения ряд bn (C ) сходится
		n 1					n 1

( C 0, так как мало) , ряд bn сходится (свойство сходящихся рядов).

n 1

Если ряд bn сходится, то ряд

n 1

bn (C ) сходится (свойство сходящихся рядов),

n 1

тогда по 1 признаку сравнения ряд an сходится.

n 1

Пусть ряд

an расходится.

Если

ряд

bn сходится,

то

по

предыдущему

ряд

n 1

an сходится (противоречие).

n 1

Пусть ряд

расходится.

Если

ряд

сходится,

то

по

предыдущему

ряд

n 1

bn сходится (противоречие).

n 1

Пример.

Ряд с a

n 2

4n 2

расходится

по

второму

признаку

сравнения

(ряд

n 5

сравнения – гармонический ряд).

sin

n 1

n , arctgn

Ряд

сходится.

sin

ограничена.

Ряд

narctgn

n 2

сравнения

- сходящийся ряд Дирихле.

n 2

Признак Даламбера.

Конечная форма признака Даламбера.

	Пусть n N	an 1
	Пусть n N	an
		an
	Пусть n N	an 1
	Пусть n N	an
		an

q 1, тогда ряд

an сходится.

n 1

an расходится.

n 1

Доказательство. Пусть

n N

an 1

q 1 .

Тогда

n 1

q 2 a

n 1

q3 a

n 2

... q n a .

... a

a q ... a q n 1 a (1 q q 2

... q n 1 )

ряд

an сходится.

Можно

было, не оценивая

частичную сумму ряда, заключить,

что

ряд

n 1

сходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пусть n N	an 1	q 1, Тогда	a		qa	a , a		qa		q 2 a	a ...a		q n 1a	a .
				2			3		2			n
	an				1	1				1	1		1	1

Поэтому an не стремится к нулю при n , необходимый признак сходимости ряда не

выполнен, ряд an расходится.

n 1

Предельная форма признака Даламбера.

an 1

Пусть lim n

q 1 ,

тогда ряд an сходится. Пусть lim n

q 1 , тогда ряд

n 1

an 1

an расходится.

Если

lim n

q 1 ,

то признак

не позволяет

сделать вывод о

n 1

сходимости или расходимости ряда.

an 1

Доказательство. Пусть

lim

q 1 . Тогда 0 N ,что n N

При малом

0 q

an 1

q 1 . По конечной форме признака Даламбера ряд

an сходится.

n 1

an 1

Пусть

lim

q 1 . Тогда

0 N ,что n N

При малом

1 q

an 1

то есть n N

. Поэтому a

не стремится к нулю при n ,

n 1

необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд an расходится.

n 1

Замечание. Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержит произведение некоторых чисел или факториал.

Правда, если общий член ряда содержит факториал, то его можно заменить по формуле

n n

2 n при n и применять второй признак сравнения.

Стирлинга

n!~

Пример.

n 1

lim

n 1

lim

(n 1)!nn

lim

. Ряд сходится по

n an

n (n 1)n 1 n!

n (n 1)n

признаку Даламбера.

an 1

n 1

n 1 !n

e n 1 n

Пример.

Рассмотрим

1, так

(n 1)n 1 en n!

n 1 n

1 n

n 1

при n , то

как последовательность 1

, монотонно возрастая, стремится к e

n N

an 1

. Следовательно, n N

. Поэтому a

не стремится к нулю

n 1

при n , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд an

расходится.

n 1

						50
Заметим, что lim		an 1	e			1. Поэтому признак Даламбера в
Заметим, что lim	n	an		1	n	1. Поэтому признак Даламбера в
	n				n

			lim n 1
			lim n 1
				n

предельной форме не дает ответ о сходимости или расходимости ряда, хотя признак в конечной форме позволяет установить расходимость ряда.

Радикальный признак Коши.

Конечная форма радикального признака Коши.

Пусть n N

n an

q 1, тогда ряд an сходится.

n 1

Пусть n N

q 1, тогда ряд an расходится.

n 1

Доказательство.

Пусть n N

n an

q 1. Тогда

q n , q 1,

ряд an

сходится

n 1

по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пусть

n N

an q 1.

Тогда

a n q n 1 ,

ряд

расходится,

так как

n 1

необходимый признак сходимости ряда не выполнен.

Предельная форма радикального признака Коши.

Пусть lim n

q 1,

тогда ряд an

сходится.

n 1

Пусть lim n

q 1,

тогда ряд an

расходится.

n 1

q 1, тогда 0 N, n N

Доказательство. Пусть lim

n a

n an q 1

при малом

Ряд an сходится по конечной форме радикального

n 1

признака Коши.

q 1, тогда

0 N, n N

. n

q 1 при

Пусть

lim

n a

малом . Тогда a n q n

1 , ряд an расходится, так как необходимый признак сходимости

n 1

ряда не выполнен.

n2n

Пример.

n 1

lim

2n 3n

1 ,

lim

n a

ряд сходится по радикальному признаку Коши в

предельной форме.

Замечание. У каждого признака сходимости есть своя «зона нечувствительности». Ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши не позволяют установить расходимость

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.09.2019152.58 Кб6mashgraf.doc
#
09.02.20153.3 Mб28mat-analiz-1-kurs.doc
#
09.02.2015227.88 Кб6Matanaliz.docx
#
09.02.201525.86 Кб13matan_rk.docx
#
09.02.201519.8 Mб7matematika_11klass_1_polugodie.pdf
#
09.02.20151.29 Mб18Matem_analiz_3_semestr.pdf
#
10.02.201540.6 Mб2225Materialovedenie_2008.pdf
#
09.02.2015263.63 Кб10MATHAN1.pdf
#
10.02.2015131.8 Кб12Mathcad - Var9.pdf
#
10.02.2015152.86 Кб16Mathcad - ДЗ 2 Волков пешти испр (15 стр).pdf
#
10.02.2015176.02 Кб15Mathcad - ДЗ 2 домашенко испр (16 стр).pdf