Степенная аппроксимация.
Как проводить анализ данных, если функция спроса не является линейной? Подбираем подходящее семейство функций и по результатам измерения (опроса) оцениваем параметры. Можно использовать степенное семейство:
D(p) = Cpα.
При этом полезно преобразование переменных, приводящее задачу к линейному виду. В случае степенного семейства необходимо прологарифмировать обе части последнего равенства. Тогда получим:
ln
D(p)
= ln c
+
lnp.
Затем обозначим:
у = ln D(p), x = ln p, b =ln c.
Исходя из введенных обозначений, имеем линейное уравнение:
у
=
x
+ b.
Задача оценивания параметров степенной зависимости сведена к ранее рассмотренной задаче оценивания параметров линейной функции.
Необходимо составить таблицу исходных данных – пар чисел (x, y) также в порядке возрастания значений параметра x. Рассчитаем линейную прогностическую функцию (табл. 7):
Таблица 7. Составление линейной функции.
|
i |
Xi = ln(pi ) |
Ni |
Xi Ni |
Yi = ln(D(pi)) |
Yi*Ni |
Xi2Ni |
Yi*Xi*Ni | |||||
|
1 |
5,01063529 |
2 |
10,02127059 |
3,91202301 |
7,82404601 |
50,2129321 |
39,2034411 | |||||
|
2 |
5,29831737 |
1 |
5,298317367 |
3,87120101 |
3,87120101 |
28,07216692 |
20,5108515 | |||||
|
3 |
5,52146092 |
1 |
5,521460918 |
3,8501476 |
3,8501476 |
30,48653067 |
21,2584395 | |||||
|
4 |
5,70378247 |
1 |
5,703782475 |
3,8286414 |
3,8286414 |
32,53313452 |
21,8377377 | |||||
|
5 |
6,2146081 |
3 |
18,6438243 |
3,80666249 |
11,4199875 |
115,8640615 |
70,9707466 | |||||
|
6 |
6,39692966 |
1 |
6,396929655 |
3,73766962 |
3,73766962 |
40,92070901 |
23,9096096 | |||||
|
7 |
6,55108034 |
1 |
6,551080335 |
3,71357207 |
3,71357207 |
42,91665356 |
24,3279089 | |||||
|
8 |
6,68461173 |
2 |
13,36922346 |
3,68887945 |
7,37775891 |
89,3680679 |
49,3174537 | |||||
|
9 |
6,80239476 |
1 |
6,802394763 |
3,63758616 |
3,63758616 |
46,27257452 |
24,744297 | |||||
|
10 |
6,90775528 |
12 |
82,89306335 |
3,61091791 |
43,331015 |
572,6049959 |
299,320047 | |||||
|
11 |
7,17011954 |
1 |
7,170119543 |
3,21887582 |
3,21887582 |
51,41061427 |
23,0797245 | |||||
|
12 |
7,31322039 |
6 |
43,87932232 |
3,17805383 |
19,068323 |
320,8991546 |
139,450848 | |||||
|
13 |
7,43838353 |
1 |
7,43838353 |
2,89037176 |
2,89037176 |
55,32954954 |
21,4996937 | |||||
|
14 |
7,60090246 |
6 |
45,60541476 |
2,83321334 |
16,9992801 |
346,6423092 |
129,20987 | |||||
|
15 |
7,82404601 |
3 |
23,47213803 |
2,39789527 |
7,19368582 |
183,6470879 |
56,2837288 | |||||
|
16 |
8,00636757 |
3 |
24,0191027 |
2,07944154 |
6,23832463 |
192,3057649 |
49,94632 | |||||
|
17 |
8,29404964 |
1 |
8,29404964 |
1,60943791 |
1,60943791 |
68,79125943 |
13,3487579 | |||||
|
18 |
8,51719319 |
3 |
25,55157957 |
1,38629436 |
4,15888308 |
217,6277396 |
35,4220107 | |||||
|
19 |
8,85366543 |
1 |
8,853665428 |
0 |
0 |
78,38739151 |
0 | |||||
|
|
|
50 |
355,485123 |
|
153,96881 |
2564,292698 |
1063,6415 | |||||
|
|
|
7,10970245 |
|
3,0793761 |
|
| ||||||
Найдём
значения параметров
и
:
Получаем линейную функцию:
Далее проводим потенцирование выражения:
eln
D
(p)
=
e-0,84
ln
p
+9,06
= e-0,84
ln
p
e9,06
= e9,06(eln
p)-0,84
= 8604,15
p-0,84
т.е.
D*(p) = 8604,15 p-0,84
Таблица 8. Оценивание функции спроса методом степенной аппроксимации.
|
i |
Цена pi |
Ni |
pi Ni |
Спрос D(pi) |
D*(pi) |
Ni[D(pi) – D*(pi)] |
Ni[D(pi)-D*(pi)]2 | |||||
|
1 |
150 |
2 |
300 |
50 |
127,3013081 |
-154,602616 |
11950,9845 | |||||
|
2 |
200 |
1 |
200 |
48 |
99,94748784 |
-51,9474878 |
2698,54149 | |||||
|
3 |
250 |
1 |
250 |
47 |
82,8476612 |
-35,8476612 |
1285,05481 | |||||
|
4 |
300 |
1 |
300 |
46 |
71,07170643 |
-25,0717064 |
628,590463 | |||||
|
5 |
500 |
3 |
1500 |
45 |
46,25344973 |
-3,7603492 |
4,71340871 | |||||
|
6 |
600 |
1 |
600 |
42 |
39,67899097 |
2,321009029 |
5,38708291 | |||||
|
7 |
700 |
1 |
700 |
41 |
34,85499816 |
6,145001836 |
37,7610476 | |||||
|
8 |
800 |
2 |
1600 |
40 |
31,15298285 |
17,6940343 |
156,539425 | |||||
|
9 |
900 |
1 |
900 |
38 |
28,21535247 |
9,784647533 |
95,7393274 | |||||
|
10 |
1000 |
12 |
12000 |
37 |
25,82307794 |
134,1230647 |
1499,08304 | |||||
|
11 |
1300 |
1 |
1300 |
25 |
20,71061718 |
4,289382822 |
18,398805 | |||||
|
12 |
1500 |
6 |
9000 |
24 |
18,36254471 |
33,82473172 |
190,685413 | |||||
|
13 |
1700 |
1 |
1700 |
18 |
16,52812193 |
1,471878069 |
2,16642505 | |||||
|
14 |
2000 |
6 |
12000 |
17 |
14,41689989 |
15,49860067 |
40,0344371 | |||||
|
15 |
2500 |
3 |
7500 |
11 |
11,95033976 |
-2,85101927 |
2,70943696 | |||||
|
16 |
3000 |
3 |
9000 |
8 |
10,25172016 |
-6,75516049 |
15,2107311 | |||||
|
17 |
4000 |
1 |
4000 |
5 |
8,048885685 |
-3,04888569 |
9,29570392 | |||||
|
18 |
5000 |
3 |
15000 |
4 |
6,671817058 |
-8,01545117 |
21,4158192 | |||||
|
19 |
7000 |
1 |
7000 |
1 |
5,027650319 |
-4,02765032 |
16,2219671 | |||||
|
|
|
50 |
84850 |
|
|
-70,7756371 |
18678,5333 | |||||
|
|
|
|
|
|
|
SS2 | ||||||
Аналогично линейному случаю, определим оптимальную розничную цену pопт. при различных значениях издержек. А именно, решим задачу:
(p
– p0.)D*(p)
в случае степенной зависимости:
(p
– p0.)с*pα*→
Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизируемой функции на константу. Поэтому переходим к задаче:
(p
– p0.)pα*
= f(p)→
Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к 0:
Получим оптимальное значение розничной цены:
В одной координатной плоскости построим графики восстановленной функции спроса (МНК) и восстановленной функции спроса (степенной) (см. рис.3):
Рис.3. Выборочная и восстановленные функции спроса.
Определим, какая из двух аппроксимаций позволяет более точно приблизить функцию спроса:
Для
первой модели (МНК) имеем:
Для
второй модели (степенной) имеем:
Вывод:
- следовательно, в нашем случае, модель
аппроксимации МНК лучше описывает
функцию спроса, чем модель степенной