4. Обработка данных опроса с помощью метода наименьших квадратов.

Для восстановления теоретической функции спроса воспользуемся методом наименьших квадратов. Для начала необходимо составить таблицу исходных данных – пар чисел (p, D(p)) также в порядке возрастания значений параметра p.Рассчитаем прогностическую функцию и оптимальную цену при различных уровнях издержек (табл. 5).

Таблица 5. Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.

	Це-на pi	Ni	pi Ni	Спрос D(pi)	D(pi)Ni	Pi2Ni	D(pi)piNi	D*(pi)	Ni[D(pi) – D*(pi)]	Ni[D(pi)-D*(pi)]2
1	150	2	300	50	100	45000	15000	41,78	16,44	135,21
2	200	1	200	48	48	40000	9600	41,32	6,68	44,59
3	250	1	250	47	47	62500	11750	40,87	6,13	37,61
4	300	1	300	46	46	90000	13800	40,41	5,59	31,22
5	500	3	1500	45	135	750000	67500	38,59	19,22	123,16
6	600	1	600	42	42	360000	25200	37,68	4,32	18,64
7	700	1	700	41	41	490000	28700	36,77	4,23	17,87
8	800	2	1600	40	80	1280000	64000	35,86	8,27	34,23
9	900	1	900	38	38	810000	34200	34,95	3,05	9,29
10	1000	12	12000	37	444	12000000	444000	34,04	35,49	104,95
11	1300	1	1300	25	25	1690000	32500	31,31	-6,31	39,85
12	1500	6	9000	24	144	13500000	216000	29,49	-32,96	181,02
13	1700	1	1700	18	18	2890000	30600	27,67	-9,67	93,56
14	2000	6	12000	17	102	24000000	204000	24,94	-47,66	378,52
15	2500	3	7500	11	33	18750000	82500	20,39	-28,18	264,67
16	3000	3	9000	8	24	27000000	72000	15,84	-23,53	184,52
17	4000	1	4000	5	5	16000000	20000	6,74	-1,74	3,04
18	5000	3	15000	4	12	75000000	60000	-2,36	19,07	121,25
19	7000	1	7000	1	1	49000000	7000	-20,56	21,56	464,72
	33400	50	84850		1385	243757500	1438350		0,00	2287,90
			1697	10,94	27,7	4875150				SS1

Перейдем к расчету теоретической функции спроса:

Необходимо найти оценки параметров a* и b*:

a* =

b* = 28,79

d* = b* - a*p_ср.= 27,7 – (- 0,01)*1697 = 43,1427

Таким образом, теоретическая функция спроса имеет вид:

D*(p) = (-0, 01)p + 43,14.

Из табл.2 видно, что остаточная сумма квадратов SS = 2287,90 (после округления). Исходя из этого, найдем оценку среднего квадратического отклонения:

Затем найдем доверительные границы для функции спроса:

Например, при p = 1000 руб.:

D^*(1000) _верхн. = 34,04 + 2,09 = 36,13

D^*(1000)_нижн. = 34,04 – 2,09 = 31,95

Таким образом, при цене 1000 руб компьютерную мышь купят 32-36 человек.

Возьмем теперь другую цену, например 2000 руб., тогда:

D*(200)_верхн. = 24,94 + 1,92 = 26,84

D*(200)_нижн. = 24,94 – 1,92 = 23,02

Итак, при цене 2000 руб. компьютерную мышь купят 23-27 человек.

Теперь перейдем к расчету оптимальной цены при различных уровнях издержек p₀. Для этого мы должны максимизировать прибыль:

(p - p_0.) D^*(p) = (p_. – p_0.)(a*p + d*).

Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную:

p_опт. = .

Поскольку a* = -0,01, а d* = 43,14 ,то:

Сравним (табл.6) оптимальные цены, найденные с помощью метода наименьших квадратов (p_опт.2) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (p_опт.1).

Таблица 6. Сравнение методов расчета оптимальной цены.

p0	pопт.2	pопт.1
40	2390,48	1000
100	2420,48	1500
300	2520,48	2000
1000	2870,48	5000
3700	4220,48	7000

Проанализируем результаты, представленные в табл. 5 и 6.

Функция спроса убывает, коэффициент a* отрицателен, поэтому рано или поздно прямая уйдет в отрицательную область. Это значит, что приближение функции спроса линейной зависимостью может быть корректно лишь на некотором отрезке, а не на всей прямой. Выясним, при какой цене спрос достигает 0:

D*(p) = (-0,01)p +43,14= 0

Т.е. корректное приближение функции спроса линейной зависимостью может быть при цене p меньшей, чем 328,71 руб.

Рассмотрим табл.6. Здесь видим разницу между расчетной оптимальной ценой p_опт.2, полученной с помощью метода наименьших квадратов, и расчетной ценой p_опт.1, найденной исходя только из данных опроса. Это связано с тем, что потребитель всегда склонен к круглым числам (например, большинство назовет 100 руб., а не 104 руб. 97 коп.). Мы же при применении метода наименьших квадратов ищем максимум не только среди названных опрощенными значений, а по более обширному множеству.

В одной координатной плоскости построим графики выборочной и восстановленной функции спроса (рис.2):

Рис.2. Выборочная и восстановленная функции спроса.