§ 2.5. Графическое построение изображений

Если известно положение главных точек системы и положение фокусов относительно их, то графическим построением можно найти изображение точки, отрезка и плоскости.

По положению главных точек строятся главные плоскости. Из точки А проводится луч АМ₁ , составляющий произвольный угол с оптической осью. Через передний фокус F проводится линия FB, перпендикулярная оптической оси. Из точки В проводится луч ВМ₂ , параллельный оптической оси, до пересечения с главной плоскостью в точке М₂ . Луч М₂ ‘В ‘ сопряженный с лучом ВМ₂ должен пройти через задний фокус системы F’. Для нахождения луча, сопряженного с лучом ВМ₁ , из точки М₁’ проводится луч М₁’А’ параллельный лучу М₂’ В₂’ . Точка пересечения луча М₁ ‘А‘ с оптической осью А’ будет являться изображением точки А.

Построение изображений, не лежащих на оптической оси.

Рис. 2.7.

1. Из крайней точки предмета В, расположенной вне оптической оси, проводят два луча: ВМ₁ параллельный оптической оси и ВМ₂ проходящий через передний фокус системы. После преломления в системе луч М₁’В’ должен пройти через задний фокус системы, а луч М₂’В’ параллельно оптической оси. Точка пересечения этих двух лучей В’ будет являться изображением точки В.

2. Проведя через точку В’ прямую, перпендикулярную оптической оси, получим точку пересечения этой прямой с осью А’, которая является изображением точки А и следовательно отрезок А’В’ будет являться изображением отрезка АВ.

§ 2.6. Основные формулы для сопряжённых точек

Положение предмета и изображения аналитически определяется относительно фокусов системы и относительно главных точек. Определим положение точек А и А’ через отрезки FА и F’A’(отрезки от точек до фокусов отсчитываются от фокусов системы). Согласно правилам знаков FA= -z , a F’A’= -z. (рис. 2.7.)

Из прямоугольных треугольников ABF и FHM₂ и треугольников M₁FH и FAB можно записать:

, (2.14)

. (2.15)

Приравнивая правые части выражений 2.14 и 2.15, получим:

(2.16)

Выражение (2.16) носит название формулы Ньютона и устанавливает зависимость между расстояниями от переднего фокуса до предмета и от заднего фокуса до изображения.

Определим положение точек А и А’ через расстояния от главных точек системы Н и Н’. Из рис. 2.7 следует:

, (2.17)

откуда:

, . (2.18)

Подставим 2.18 в 2.16:

, (2.19)

(2.20)

Поделим обе части уравнения 2.20 на и получим:

. (2.21)

. (2.9)

или

. (2.10)

. (2.11)

Формула 2.10 показывает, что произведение при преломлении сохраняет свою величину, называемую нулевым инвариантом Аббе. Соотношение 2.10 обычно записывают в виде:

. (2.12)

Формула 2.12 позволяет отыскать положение точки если известно положение точкии.

Формулу 2.12 можно применить и к сферическому зеркалу, т.е. к случаю отражения, если положить . Тогда имеем:

. (2.13)