3.3. Метод приведения масс и моментов инерции

Рассмотрим метод приведения масс на примере МА с кривошипно – ползунным механизмом (см. рис.2.2). Приведение, т.е. замена реальных масс механизма на условные приведенные осуществляется из условия равенства кинетических энергий реальных звеньев и энергии звена приведения, наделяемого условным суммарным приведенным моментом инерции:

где: m_i, J_Si - масса и момент инерции относительно центра масс S_i i-го звена; V_Si – линейная скорость центра масс звена i; w_j, w _i – угловые скорости звеньев (индекс j соответствует номеру звена, выбранного за звено приведения).

Суммарный приведенный к звену jсуммарный момент инерции

_,

является квадратичной формой кинематических передаточных функций. Выбирая вал 1 в качестве звена приведения, угловая координата j₁ которого будет обобщенной координатой j, получим выражение суммарного приведенного момента инерции

,

где J₁ - момент инерции звена 1 относительного центра вращения.

Если в качестве звена приведения выбрать выходное МА (рис.3.6), то выражение для суммарного приведенного момента инерции примет вид

.

Анализ приведенных моментов инерции позволяет разделить их на две группы:

1. Постоянную составляющую моментов инерции – так называемую первую группу звеньев, играющую в некоторых случаях положительную роль снижения колебаний скорости звена приведения на установившемся режиме.

2. Периодическую переменную составляющую приведенного суммарного момента инерции , так называемой второй группы звеньев, являющуюся внутренним источником колебаний.Вторая группа звеньев может быть значительно снижена (уравновешена). Например, в многоцилиндровом ДВС выбор формы коленчатого вала позволяет снизить неравномерность вращения и произвести уравновешивание машины наиболее эффективным способом.

Таким образом, при определении приведенных моментов сил и моментов инерции не требуется знания законов движения звеньев, для расчёта необходимы лишь кинематические передаточные функции. Поскольку значения их зависят от обобщенной координаты, то параметры динамической модели в общем случае не постоянны, они являются функцией обобщенной координаты звена приведения j_j и зависят от его выбора. Поэтому в качестве звена приведения целесообразно принимать вращающееся звено. которое не совершает остановки, кинематические передаточные функции при таком выборе ни при каких положениях механизма не обращаются в бесконечность.

Рассмотрение общих свойств динамической модели механизма с числом степеней свободы w = 1 и жесткими звеньями показывает, что сфера применения одномассовой динамической модели включает определение закона движения, рассмотрение энергетических процессов в машине и оптимизация на этой основе параметров МА по динамическим критериям и критериям экономичности расхода энергии.

3.4. Расчёт закона движения машины по математической модели

Закон движения выбранного звена может быть найден по приведенным к нему параметрам динамической модели М_Σ(φ) и J_Σ (φ). Применим теорему об изменении кинетической энергии и, упустив для упрощения записи номер звена в обозначении угла поворота j, угловой скорости и ускорения ,получим

,

где и- текущее и начальное значение кинетической энергии; j_нач, w_{нач ,} J_å(j_нач) – начальные значения угловой координаты, скорости и суммарного приведенного момента инерции.

Сумму работ можно представить в виде интеграла с переменным верхним пределом φ от суммарного приведенного момента М_Σ(φ) по углу поворота, поэтому

.

Закон движения w(j) звена приведения представляет решение предыдущего уравнения суммарной работы в функции обобщенной координаты j

.

Таким образом закон движения звена приведения определяется изменением приведенного момента сил и приведенного момента инерции, являющихся при расчёте функцией координаты звена приведения.

Продифференцировав выражение суммы работ по координате j, получим уравнение движения в дифференциальальной форме

.

Учитывая, что начальное значение кинетической энергии машиныT_нач величина постоянная, получим дифференцированием

,

угловое ускорение звена приведения

.

Каким бы сложным не был МА с одной степенью свободы, выполнив приведение сил и масс, его можно представить как одно звено с переменным моментом инерции, в общем случае зависящим от обобщенной координаты j. Поэтому алгоритм расчета динамической модели часто строится в функции j, принимаемой за независимую переменную. Как правило, возникает необходимость связать расчетные значения координаты j со временем. Для этого запишем известное соотношение угловой скорости , откуда выразим бесконечно малый интервал времени. Проинтегрируем его и получим время

.

Таким образом, определение времени движения связано с интегрированием обратной функции закона движения .

В многоцилиндровых ДВС расчёты производятся, принимая М_Σ и J_Σ независящими от угловой координаты вала j, но момент на валу ДВС явно зависит от скорости (рис. 1.8). Для определения закона движения необходимо взять выражение его в дифференциальной форме

Разделив переменные и и проинтегрировав его при начальных условиях , получим выражения для определения времени движения при зависимости сил от скорости

Для анализа возможных режимов движения машин рассмотрим полученное уравнение движения, отметив, что значения приведенных моментов сил и моментов инерции J_Σ (φ) зависят от обобщенной координаты j или времени. Можно сделать вывод, что процессы работы МА делятся на две группы (рис. 3.1):

1. Установившийся режим движения с циклом изменения скорости начального звена, которая или постоянна (стационарный режим) или совершает периодические колебания около среднего значения w_ср (рис. 3.1 а). Суммарная работа движущих сил и сил сопротивления за цикл равна нулю. Колебания происходят за счет периодических изменений работ сил и кинематических передаточных функций механизма. При работе машины скорости её движения могут периодически принимать одни и те же значения, связанные с изменением сил и совершаемых ими работ. Если период такого цикла движения не меняется как показано на рисунке 3.1.а, то такой режим принято называть режимом установившегося движения. Установившееся движение характеризуется амплитудой колебаний скорости и периодом колебаний j_цикла, который определяется частотой действия внешних возмущений или цикловым углом работы механизма;

2. Неустановившиеся режимы разгона и торможения являются переходными (неравновесными процессами) между установившимися режимами:

Разгон – режим неустановившегося движения с возрастанием скорости звена за счет превышения работы движущих сил над работой сил сопротивления. Время разгона машинного агрегата до заданной скорости t_разг является важнейшей динамической характеристикой, характеризующей быстродействие и производительность МА;

Торможение (останов) – переходный режим, на котором работа сил сопротивления превышают работу движущих сил, за счет чего происходит снижение кинетической энергии и скорости МА. Время торможения t_торм часто бывает не менее важной характеристикой, чем время разгона;

У некоторых машин установившееся движение может отсутствовать, а разгон и торможение могут следовать непосредственно друг за другом. В таком “комбинированном цикле непериодического неустановившегося движения” (рис. 3.1 б), характеризующегося остановками звена приведения на неопределённое время t_ост начальные и конечные параметры движения являются одинаковыми «нулевыми», что наделяет такой цикл «разгон – торможение » свойствами как установившегося так и неустановившегося движения.

рис. 3.1.

Комбинация двух неустановившихся режимов: разгона _@073 и торможения _B>@< без установившегося режима между ними показана на рисунке 1.1 б. Эта комбинация обладает одинаковыми начальными и конечными значения скоростей, поэтому изменение кинетической энергии равно нулю подобным циклу установившегося движения. Однако эта комбинация может повторяться через неопределённое время остановки _>AB, что не позволяет выделить общий период цикла с остановкой, хотя можно выделить период движения