- •Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Понятие об изогональных траекториях.
- •7.5. Интегрирование простейших типов д.У. 1-го порядка.
- •7.5.1. Д.У. С разделяющимися переменными.
- •7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.5.5. Д.У. В полных дифференциалах.
- •3. Д.У. 2-го порядка. Интегрирование методом понижения порядка.
- •3.1. Общие положения.
- •9. Линейные д.У..
- •9.1. Введение.
- •9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.У.
- •9.2.3. Формула Остроградского-Лиувилля Пусть и– решения (2), следовательно,
- •9.2.4. Существование фср (2)
- •9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
- •9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •9.3.1. Теоремы о частных решениях
- •9.3.2. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения 2-го порядка
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
- •9.4.1. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •В силу следствия достаточно найти решение уравнения
- •9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
- •9.4.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •9.5. Системы дифференциальных уравнений
- •9.5.1. …
9.4.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка содержат все основные, типичные черты уравнений -го порядка.
Однородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:
. (1)
Для него, как и для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, справедливы теоремы о частных решениях 1 и 2. То есть линейные комбинации частных решений также являются решениями и если известно одно или несколько решений, то можно понизить порядок на одну или более единиц.
Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (1) называется всякая система частных решений, которая обладает следующим свойством: ни при каких,, одновременно не равных нулю, линейная комбинация
. (а)
В этом случае , удовлетворяющие (а), называют линейно независимыми.
Из определения ледует, что нулевое решение не входит в фундаментальную систему решений. Например, ,. Тогда, положив, …,, получим
,
что противоречит определению фундаментальной системы решений. Таким образом, фундаментальная система решений не может содержать ни одного . Приновое определение тождественно старому.
Далее, вронскиниан фундаментальной системы решений (и только фундаментальной системы решений) отличен от тождественного нуля. Вронскиниан в общем случае имеет вид:
.
Формула Остроградского-Лиувилля также имеет место в общем случае:
.
Из нее также следует, что либо тождественно равен нулю, либо не равен нулю ни при каком. Первый случай соответствует не фундаментальной системе решений, второй – фундаментальной системе решений.
Существование фундаментальной системы решений доказывается аналогично дифференциальному уравнению 2-го порядка. Основная теорема устанавливает, что общее решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:
, где.
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:
.
Теоремы о частных решениях справедливы и в эом случае. Также, как и метод Лагранжа вариации произвольных постоянных:
Однородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
,
, действительные числа.
Характеристическое уравнение:
.
Любому действительному -кратному корнюсоответствуют решения:
,,.
Так как – действительные числа, то комплексные корни характеристического уравнения встречаются только сопряженными парами и имеют одинаковую кратность. Любой парекратностисоответствуетчастных решений:
,, …,,
,, …,.
Таким образом, в общем случае решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:
,
где и– кратности корней, а,,– многочлены соответствующих степеней.
И, наконец, 2 теоремы о приведении к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Теорема 1.
Если линейное дифференциальное уравнение -го порядка
(*)
допускает приведение к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной вида, то такой цели служит только подстановка
, где.
Теорема 2.
Если (*) допускает приведение к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи подстановки , преобразующей неизвестную функцию, то такое преобразование выполняется только, если положить
Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений приведение осуществляется по тем же формулам.