9.3.2. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения 2-го порядка

Пусть

, (*)

причем – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения. Для нахождения общего решения (*) необходимо найти. Согласно методу Лагранжа,ищется в виде:

,

где и– неизвестны. Так как неизвестных функций две, а уравнение одно, то накладывается еще одно произвольное условие с целью упростить решение. Пусть

и потребуем, чтобы

,

– это и есть дополнительное условие, то есть .

Далее,

.

Подставим последнее выражение в уравнение (*), получим

,

поскольку и. Получили следующую систему уравнений:

.

Эта система имеет решение относительно и, так как(илинейно независимы). Отсюда

,,

,,

,

.

На практике можно пользоваться сразу готовыми формулами или выводить их для конкретного уравнения.

Пример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение

.

Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения есть

и.

Имеем систему уравнений

,

.

Заключение:

Таким образом, линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка можно решить, если суметь найти частное решение неоднородного уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения. Стандартного процесса нахождения общего решения неоднородного уравнения нет. Многие дифференциальные уравнения не интегрируются в элементарных функциях.

9.4. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

9.4.1. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дано:

, (1)

где ,– действительные числа. Составим так называемое характеристическое уравнение:

(2)

и найдем ,– корни уравнения (2), и пусть. Рассмотрим две функции:

и. (3)

Докажем, что иесть частные решения, образующие фундаментальную систему решений. Подстановка дает:

и,

, (4)

следовательно, общее решение

,

где ,–.

Если и– комплексно сопряженные числа,,, то (4) дает решение в мнимой форме. Но можно получить и в действительной, если перейти к

(5)

(6)

– общее решение.

Примеры:

1) ,,.

2) ,,.

3) ,,.

Рассмотрим теперь случай . В этом случае, аможно получить, используя формулу Остроградского – Лиувилля:

,

,

значит, и– фундаментальная система решений. Общее решение будет

. (7)

9.4.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Дано:

, (8)

и – действительные числа, соответствующее однородное уравнение имеет вид:

,

характеристическое уравнение будет:

.

При известном общем решении однородного дифференциального уравнения частное решение неоднородного находится вариацией постоянных, а затем составляется общее решение (8). Метод вариацмм применим к (8) при и в этом смысле универсален. Однако, для частных случаевчаще применяется метод подбора.

Общее правило. Если может быть представлена в виде

, (9)

где ,– действительные числа,и– целые рациональные функции степенейи, тогда (8) имеет частное решение вида

. (10)

Здесь – кратность корняхарактеристического уравнения. Если же не является корнем, то .,и– многочлены степени. Коэффициентыиопределяются из тождества после подстановкив (8). Далее, как обычно, общее решение есть суммаи.

Если же не может быть сразу представлена в виде (9), но является суммой таких выражений, то используется теорема о наложении решений.

Для обоснования рассмотрим два частных случая и выведем правила нахождениядля каждого случая.

Случай 1.

,,–.

Этот случай соответствует .будем искать в виде. Подставимв (8), получим

,

где есть:

1. многочлен -ной степени, если.

2. многочлен -й степени, если,.

3. многочлен -й степени, если.

В первом случае приходим к тождеству

, (*)

из которого можно найти неопределеные коэффициенты .

Во втором случае, ,, то есть когдаесть корень характеристического уравнения, тождество (*) невозможно, так как степеньна 1 меньше степени. Чтобы их сравнять, надо умножитьна. При этом степеньповышается на 1. То есть мы будем искать решение в виде

.

В третьем случае умножается на, то есть

.

Правило 1. Если есть, то частное решениенадо искать в виде

,

где – многочлен-й степени, а– кратность корня. Для вычисления неопределенных коэффициентовнадо подставитьв (8) и затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях.

Пример.

,, корень– однократный, тогда

,

,,и

.

Случай 2.

,,

. (*)

Сделаем замену ,

, где

,.

Таким образом, уравнение (*) сведено к частному случаю, рассмотренному выше. Следовательно:

1. Если , тогда, где коэффициентыследует определить.

2. , , то есть если– простой корень характеристического уравнения, то.

3. , то есть – двойной корень характеристического уравнения, то.

Правило 2.

Если , то

,

где – кратность корняв характеристическом уравнении.

Пример.

,

и.

, подставляя в дифференциальное уравнение, получим:

,,.

.

Перейдем теперь к общему случаю:

.

Вспомогательная теорема.

Пусть в уравнении

(*)

–принимает комплексные значения и пусть – некоторое решение. Тогда

есть решение уравнения ,

есть решение уравнения .

Положим ,. Дважды дифференцируяи подставляя в (*), получим:

,

отсюда, по равенству комплексных чисел, следует доказательство теоремы.

Следствие.

Если есть решение уравнения, тоесть решение уравнения.

Заменим теперь в общем уравнении ипо формулам Эйлера:

,,

перегруппируем и введем новые обозначения:

,,,

тогда

.