- •Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Понятие об изогональных траекториях.
- •7.5. Интегрирование простейших типов д.У. 1-го порядка.
- •7.5.1. Д.У. С разделяющимися переменными.
- •7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.5.5. Д.У. В полных дифференциалах.
- •3. Д.У. 2-го порядка. Интегрирование методом понижения порядка.
- •3.1. Общие положения.
- •9. Линейные д.У..
- •9.1. Введение.
- •9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.У.
- •9.2.3. Формула Остроградского-Лиувилля Пусть и– решения (2), следовательно,
- •9.2.4. Существование фср (2)
- •9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
- •9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •9.3.1. Теоремы о частных решениях
- •9.3.2. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения 2-го порядка
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
- •9.4.1. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •В силу следствия достаточно найти решение уравнения
- •9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
- •9.4.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •9.5. Системы дифференциальных уравнений
- •9.5.1. …
9.5. Системы дифференциальных уравнений
9.5.1. …
Нормальной системой дифференциальных уравнений называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка снеизвестными функциями,, …,аргумента, в которой любое уравнение содержит производную 1-го порядка только от одной из функций:
. (1)
Теорема Коши.
Если – непрерывные функции по,, …,в некоторой области, то любой внутренней точкеобластисоответствует, и притом единственное, решение,, …,, удовлетворяюще этим начальным условиям. Такое решение называется частным.
Произвольно изменяя , получим бесконечное множество решений, или:
, …,
– такое решение называется общим. Частное решение всегда можно получить из общего.
Системы дифференциальных уравнений типа (1) и дифференциальные уравнения -го порядка можно преобразовывать друг в друга с помощью введения дополнительных переменных или их исключения.
Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:
(2)
–действительные числа, – известные непрерывные функции. Если, то система называется однородной.
Рассмотрим метод интегрирования системы (2) приведением е к одному линейному дифференциальному уравнению -го порядка с одной искомой функцией(например). Для этого продифференцируем первое уравнение из (2) пои заменим получившиеся в правой частиих выражениями из (2):
.
Затем продифференцируем и его по и снова сделаем замены. После-го шага получим систему:
(*)
Выражая из первых уравнений,, …,через,,,, …,(предполагая) и подставляя в-е уравнение, получим
(**)
– линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами и одной неизвестной функцией.
Найдя общее решение (**) и используя производныеот него из (*) найдем,, …,.
Пример.
,
Получим систему
,
.
Дифференцируя и подставляя в, найдем:
.