- •Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Понятие об изогональных траекториях.
- •7.5. Интегрирование простейших типов д.У. 1-го порядка.
- •7.5.1. Д.У. С разделяющимися переменными.
- •7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.5.5. Д.У. В полных дифференциалах.
- •3. Д.У. 2-го порядка. Интегрирование методом понижения порядка.
- •3.1. Общие положения.
- •9. Линейные д.У..
- •9.1. Введение.
- •9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.У.
- •9.2.3. Формула Остроградского-Лиувилля Пусть и– решения (2), следовательно,
- •9.2.4. Существование фср (2)
- •9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
- •9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •9.3.1. Теоремы о частных решениях
- •9.3.2. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения 2-го порядка
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
- •9.4.1. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •В силу следствия достаточно найти решение уравнения
- •9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
- •9.4.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •9.5. Системы дифференциальных уравнений
- •9.5.1. …
Понятие об изогональных траекториях.
Задача. Пусть на плоскости XOY задано однопараметрическое семейство кривых
(I) - . Найти уравнение семейства кривых (II) пересекающих кривые первого семейства под заданным постоянным углом . Семейство (II) называют изогональным семейству (I).
Решение.
Выведем д.у. первого семейства также как это делалось выше. Мы получим:
Пользуясь определением изогональности найдем связь между угловыми коэффициентами касательных и кривых семейств I и II в точках их пересечения. Пусть , и пустьX и Y координаты точек кривых семейства II. По формуле угла между 2-мя прямыми на плоскости получим:
Подставляя последние выражение в д.у. семейства кривыхI получим д.у. искомого семейства II :
Интегральные кривые этого д.у. и будут искомыми изогональными кривыми.
Если то траектории называют ортогональными. В этом случае зависимость междуибудет наиболее простой:, и , т.о. д.у. семейства ортогональных кривых запишется в виде: .
Пример. Найти ортогональные траектории к семейству парабол . Исключая С из системыполучимтогда д.у. семейства ортогональных траекторий
интегрируя почленно.
-семейство подобных эллипсов.
Сказанное выше относится и к уравнениям вида:
(*)
но с небольшими дополнениями. Во-первых, (*) может иметь несколько решений, относительно :
(**)
и т.д.
Теорема Коши в отношении каждого уравнения обуславливает единственность и существование интегральной кривой, проходящей через . Поэтому, для (*) при выполнении дополнительного условия
через любую , в которой выполнены условия теоремы Коши для (*), проходит столько кривых, сколько решений имеет (*). Для (*) общее решение также зависит от одной константы:
Иногда, решение д.у. приводит к выражениям вида:
не разрешенных относительно y. Такое соотношение называют общим интегралом д.у.
Пример.
будет удовлетворено, если - общий интеграл.
- общее решение. Семейство изоклин для (*), найдем из соотношения , где
Особые точки и особые решения д.у..
Теорема Коши гарантирует существование решения д.у. , проходящего через, если :
a) непрерывна и б) - существует и ограничена.
Нарушение хотя бы одного условия может привести к тому, что решение может не существовать, либо оно может быть неединственным. Если теорема Коши нарушается только в отдельных изолированных точках, то они называются особыми точками д.у.. Поведение интегральных кривых в окрестности особых точек может быть различным ( непредсказуемым ).
Если же нарушение условий теоремы Коши имеет место вдоль некоторой кривой, то она может оказаться интегральной кривой данного д.у.. Такую интегральную кривую называют особой, а соответствующее решение – особым решением.
Опр. Решение д.у. первого порядка называется особым, если через любую точку его интегральной кривой проходит по крайней мере еще одна интегральная кривая того же д.у., имеющая в этой точке ту же касательную.
Особое решение, как правило, в общем решении не содержится, т.е. не может быть получено ни при каком выборе константы
Пример. - общее решение, проверяется подстановкой. Условия теоремы Коши нарушены наy=0 т.к.
Легко видеть, что y=0 – интегральная кривая, причем особая, т.к. через каждую ее точку проходит входящая в общее решение, касательной к которой служитy=0. Прямую же y=0 ни при каком С не получим.