- •Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Понятие об изогональных траекториях.
- •7.5. Интегрирование простейших типов д.У. 1-го порядка.
- •7.5.1. Д.У. С разделяющимися переменными.
- •7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.5.5. Д.У. В полных дифференциалах.
- •3. Д.У. 2-го порядка. Интегрирование методом понижения порядка.
- •3.1. Общие положения.
- •9. Линейные д.У..
- •9.1. Введение.
- •9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.У.
- •9.2.3. Формула Остроградского-Лиувилля Пусть и– решения (2), следовательно,
- •9.2.4. Существование фср (2)
- •9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
- •9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •9.3.1. Теоремы о частных решениях
- •9.3.2. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения 2-го порядка
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
- •9.4.1. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •В силу следствия достаточно найти решение уравнения
- •9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
- •9.4.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •9.5. Системы дифференциальных уравнений
- •9.5.1. …
В силу следствия достаточно найти решение уравнения
,
но последнее было уже рассмотрено. Из этого следует, что его решение нужно искать в виде
,
–с неопределенными комплексными коэффициентами, – кратностьв характеристическом уравнении.
На основании теоремы о наложении решений и следствия из вспомогательной теоремы,
,
где сопряжен с.
Снова используем формулы Эйлера:
,
.
Приводим к виду
, (**)
где ,– многочлены с вещественными коэффициентами.
Замечание.
При использовании (**) надо помнить, что вид подобен виду, но является более полным. Так, если, то в (**) мы должны брать, если, то в (**) следует взять, и если, то в (**) возьмем, и т. д.
Пример.
,
,,,,
, так какне корень характеристического уравнения,
,
,,,, и т. д.
9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
Теорема.
Линейное дифференциальное уравнение преобразуется снова в линейное дифференциальное уравнение при всяком линейном преобразовании неизвестной функции и любом преобразовании аргумента (и только при таких преобразованиях).
Доказательство.
В уравнении
положим , где– новая искомая функция, аи– известные функции. Тогда
,
,
и исходное уравнение преобразуется к виду
,
и это уравнение снова является линейным, так как все коэффициенты и правая часть есть функции только . отметим, чтовходит только в правую часть.
Положим, что , тогдаи
,.
Подставляя эти значения, получим опять линейное уравнение:
,
заменяя нанайдем, что все коэффициенты и правая часть есть функции только. На этом доказательство первой части закончено.
Предположим теперь, что . Тогда
,.
Подставляя ,ив исходное уравнение, получим в общем случае нелинейное уравнение
. (*)
Чтобы (*) было линейным, нужно, чтобы ине зависели от,, асодержалолишь в первой степени или было функцией только от. Выполнение этих требований превращаетв линейную функцию. Если
,
и тогда не зависит от, а. При этом
есть функция от в первой степени. Таким образом, теорема доказана.
Очевидно, что для преобразования линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами в линйое дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами достаточно рассмотреть соответствующее однородное уравнение.
Согласно теореме, сохранение линейности возможно только в двух случаях: при линейном преобразовании функции (, так как она не входит в коэффициенты в левой части) и при произвольном преобразовании.
Теперь выведем условия, налагаемые на илинейного дифференциального уравнения 2-го порядка, при которых это уравнение может быть приведено к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с постоянными коэффициентами с помощью преобразованияили.
Необходимое и достаточное условие для преобразования .
Итак, пусть дано уравнение
(1)
и подстановка , тогда
,
,
подставляя в уравнение, получим:
, (2)
и потребуем, чтобы коэффициенты при ибыли константами:
.
Тогда . Отсюдаили
или
.
Последнее равенство можно записать, как
, где. (3)
(3) и есть условие приводимости (1) к (2), в котором коэффициенты являются постоянными.
Найдем теперь , с помощью которой это приведение выполняется:
.
Положим и, тогдаи
.
Таким образом, преобразование выполняется, если выполнено (3).
Пример.
.
Условие (3) выполняется и приводит к уравнению
.
Необходимое и достаточное условие для преобразования .
Пусть , тогда
и
. ()
Далее,
Из (*), считая , имеем
.
Кроме того, . Подставляя эти результаты в (**), получим:
или,
. ()
() и есть искомое условие.
Найдем теперь . Из (*):
,
где , а– одна из первообразных от.
Таким образом, если выполняется (), то (1) можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью преобразования.
Пример. Рассмотрим уравнение Эйлера
,
здесь ,,,–, тогдаили– нужная подстановка.