Уравнения пространственного движения ла

Математическая модель пространственного движения аэродинамического летательного аппарата (ЛА) для целей управления им обычно создается в виде системы дифференциальных уравнений (ДУ) - это наиболее привычная форма описания движения (и процессов вообще) и именно на эту форму (и форм, получаемых из нее) ориентируется в основном современная теория управления. Незакрепленное тело имеет шесть степеней свободы (три - поступательного движения, три - углового (вращательного)). Выбор переменных, описывающих изменение по этим степеням свободы, предопределен использованием вполне определенного набора систем координат (СК) - стандартных. Необходимо описать изменение выбранных координат в зависимости от скоростей (кинематика движения), а также изменение скоростей под действием влияющих факторов - сил и моментов (динамика движения).

Описание динамики составляется на основе известных фундаментальных соотношений, наиболее удобным среди которых для составления уравнений является закон сохранения (изменения) количества движения.

Для поступательного движения (движения центра масс (ЦМ)) в инерциальных СК этот закон описывается уравнением , а для вращательного (относительно ЦМ) - уравнением , где - количество движения; - момент количества движения; - результирующая всех действующих внешних сил; - результирующий момент; m - масса тела; - вектор скорости; - момент инерции; - вектор угловой скорости.

Непосредственное применение этих уравнений невозможно по следующим причинам:

- СК, относительно которых составляются уравнения движения, как правило, не являются инерциальными;

- ЛА является не твердым телом, а телом переменного состава - в нем может происходить изменение и перераспределение масс, внутреннее относительное движение (например, вращение турбин двигателей или движение жидкого топлива), изменение формы из-за нежесткости конструкции или изменяемой геометрии, взаимодействие ЛА с воздушной средой происходит не только по твердой поверхности - в это взаимодействие вовлекается и часть среды (пограничный слой, спутный вихревой след), а также потоки газов, проходящие через сам ЛА (например, через воздухозаборники двигателей) и выходящие из него в виде реактивной струи;

- параметры среды, в которой происходит движение, и которыми во многом определяются действующие на ЛА силы и моменты, зависят от множества внешних факторов (погодных условий в зоне полета) и к тому же подвержены многочисленным, не всегда контролируемым возмущениям.

Некоторые из этих особенностей учтены при описании аэродинамических сил и моментов. Но этого недостаточно. Поэтому уравнения движения обычно составляют, вводя упрощающие допущения, важнейшими среди которых являются:

- Допущение о плоской форме и отсутствии вращения Земли. Это допущение позволяет считать любую земную СК инерциальной, а ускорение - направленным вертикально вниз и зависящим только от высоты полета.

- Гипотеза стационарности по отношению к изменению массы, момента инерции и центровок ЛА, позволяющая не включать производные от этих величин в уравнения движения.

- Гипотеза затвердевания, предполагающая, что в любой момент времени объект является твердым телом (твердой оболочкой, ограниченной контрольной поверхностью), к которой кроме внешних сил приложены реактивные силы (вызванные в основном истечением реактивной струи, создаваемой движителем ЛА, но возможно - и приемом воздуха через воздухозаборники), кориолисовы силы и гироскопические моменты из-за относительного движения внутри ЛА, а также - вариационные силы, учитывающие перемещение частиц среды через контрольную поверхность с возможными ускорениями. Более того, реактивные и вариационные силы заменяют одной сосредоточенной силой - силой тяги двигателя P=P(_руд,V,H,…), которую экспериментально определяют или рассчитывают в зависимости от положения органа (ручки) управления двигателем _руд , скорости V, высоты H и других параметров полета.

- Предположение о совпадении начала координат используемых подвижных СК с центром масс ЛА и совпадении осей связанной СК с главными центральными осями инерции. Это предположение позволяет рассматривать момент инерции ЛА в виде диагональной матрицы . Правда, достаточно часто это предположение приходится ослаблять, т.е. считать, что начало координат связанной СК совпадает с номинальным положением ЦМ ЛА, при этом в полете возможно квазистационарное изменение положения ЦМ по отношению к началу координат по продольной и нормальной осям. В этом случае

.

- Гипотеза стационарности по отношению к изменениям параметров движения при расчете аэродинамических сил и моментов.

- Допущение о стандартном характере атмосферы, при необходимости дополняемое моделью ветра в качестве внешнего воздействия (возмущения). При этом обычно предполагается, что система управления создается достаточно «грубой», т.е. сохраняющей работоспособность при возможных отклонениях параметров атмосферы от стандартных, либо - настраиваемой на те изменения атмосферы от стандартной, которые могут быть учтены явно (например, «зима - лето», «тропики - полярные широты»).

Уравнения, составленные при этих допущениях, по необходимости дополняют соотношениями, которые в той или иной мере учитывают отличия реальных ситуаций от гипотетической, т.е. описываемой используемыми допущениями.

Например, уравнения движения твердого тела дополняют уравнением, описывающим изменение массы ЛА в полете из-за расхода топлива где Q_m - массовый расход топлива, зависящий от тяги и других параметров движения и среды. При этом изменение массы считают достаточно медленным по сравнению с изменением других параметров движения, чтобы для уравнений движения сохранялась гипотеза стационарности, т.е. - чтобы не требовалось изменять вид уравнений динамики, вводя в них члены, содержащие производные по времени от массы и момента инерции. Подобным образом, т.е. оставаясь в рамках гипотезы стационарности, учитывают и изменение центровки , вводя соотношения для пересчета моментов в зависимости от текущего положения центра масс, но не учитывая производных от по времени.

При необходимости учитывают форму и вращение Земли, т.е. вводят зависимость g не только от высоты, но и других координат для различных моделей формы Земли (сфера, эллипсоид, геоид), а также силы, возникающие при движении ЛА относительно вращающейся Земли. Следует отметить, что такой подход не пригоден для баллистических ракет большой дальности, а также при решении навигационных задач. Для них лучше подходит другой прием, а именно - рассмотрение движения ЦМ отдельно от вращательного с явным учетом в уравнениях движения ЦМ формы и вращения Земли. Возможность такого изолированного рассмотрения поступательного движения будет рассмотрена ниже.

Для учета изгибных колебаний из-за нежесткости конструкции ЛА уравнения движения твердого тела могут дополняться уравнениями упругих колебаний для тех точек ЛА, в которых эти колебания могут повлиять на работу системы управления, например - в местах установки датчиков угловых скоростей или линейных ускорений.

В используемых СК - поступательное движение - движение ЦМ, вращательное - вокруг ЦМ.

С учетом принятых допущений поступательное движение будет рассматриваться в нормальной земной СК, угловое - относительно нормальной СК. Нормальную земную СК при этих допущениях можно считать инерциальной (для плоской не вращающейся неподвижной Земли), а нормальную - не вращающейся. Поступательное движение рассматривается как движение ЦМ ЛА, угловое - вокруг ЦМ. Уравнения, выражающие закон изменения количества движения для подвижных СК в этом случае можно записать в виде:

- для движения ЦМ ; (1)

- для движения вокруг ЦМ . (2)

В этих уравнениях - земная скорость ЛА, - угловая скорость вращения используемых подвижных СК относительно нормальной СК.

Составление уравнений динамики сводится к записи уравнений (1) и (2) в проекциях на оси используемых систем координат, а уравнений кинематики - к выражению изменений переменных, описывающих относительное движение подвижных и неподвижных СК через проекции скоростей этого относительного движения. Для сокращения записи будут использоваться обозначения векторов вида , означающее, что соответствующий вектор задан своими проекциями на оси k-ой СК. Например, соответствует заданию вектора угловой скорости проекциями на оси траекторной СК, т.е. , а - заданию вектора проекциями на оси земной СК, т.е. . Обозначение осей в индексах соответствует обозначению осей СК по ГОСТ 20058-80, для связанной системы, оси которой не имеют индексных обозначений, будет использоваться индекс «св».