651_Zelentsov_B.P._Matrichnye_modeli_funktsionirovanija_

Следует признать справедливым, что произвольное и необоснованное объединение нескольких состояний в одно укрупненное, произвольное объединение нескольких элементов в один укрупненный элемент, а также сокращение числа состояний за счет отбрасывания маловероятных может привести к значительной погрешности. Такие подходы не имеют, как правило, математического обоснования. Поэтому предложения по упрощению моделей систем требуют доказательного обоснования.

Естественными являются различные упрощения и приближения, которые должны сопровождаться оценкой погрешности (без оценки погрешности упрощения и приближения теряют смысл). В частности, для упрощения вычислений отбрасывают маловероятные состояния, при этом зачастую обоснование и оценка погрешности не производится. Отбрасывание маловероятных состояний вызывает изменение характеристик состояний, имеющих существенное значение при описании функционирования систем, например, продолжительности нахождения в состояниях.

Позиция автора заключается в том, что уменьшение числа состояний не должно приводить к потере точности вычисляемых характеристик (вероятностей, математического ожидания, дисперсии и др.). С этих позиций предлагается подход к укрупнению состояний, основанный на приведении характеристик подмножеств состояний к входным состояниям этих подмножеств, что позволяет сохранить точные значения некоторых характеристик системы.

7.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается система, множество состояний которой W является эргодическим. Множество W разбивается на два непересекающихся подмножества U и V. Разбиение на U и V производится по некоторому инженернотехническому признаку, а не по математически сформулированным условиям. В теории надежности, например, таким признаком может быть безотказность системы: U – подмножество работоспособных состояний, V – подмножество неработоспособных состояний.

С течением времени имеют место переходы как внутри подмножеств U и V, так и между ними. Задача укрупнения заключается в том, что каждое из подмножеств U и V заменяется на другое подмножество с меньшим числом состояний. При этом сохраняются некоторые важные показатели, например, среднее время нахождения в подмножестве состояний. В теории надежности этот показатель приобретает смысл среднего времени безотказной работы или среднего времени восстановления.

7.3. ИСХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ

Исходными характеристиками системы могут быть:

1)матрица переходных вероятностей P марковской цепи;

2)матрица интенсивностей Λ марковского прцесса;

3)матрица вероятностей прохождений P полумарковского процесса.

71

Если система описывается матрицей P, то ее следует дополнить матрицей

среднего числа шагов (n) или матрицей (t) среднего времени нахождения в состояниях при однократном попадании в них. Эти матрицы вычисляются соответственно по матрице переходных вероятностей и по матрице интенсивностей.

В соответствии с UV – разбиением эти исходные матрицы разбиваются на четыре подматрицы:

Исходные матричные характеристики P и Λ получают по исходным распределениям, описывающим различные свойства системы и ее элементов: по распределениям отказов, времени восстановления, недостоверности контроля и др.

Матричные характеристики P, (n) и (t) можно получить непосредственно или с помощью матриц P и Λ.

7.4.МАТРИЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДМНОЖЕСТВ СОСТОЯНИЙ

Спомощью подматриц, описывающих переходы в подмножествах состоя-

ний, можно получить матричные характеристики подмножеств, приведенные в табл. 7.1. В таблице обозначено: mU – число состояний подмножества U, mV – число состояний подмножества V.

Табл. 7.1. Матричные характеристики подмножествах состояний для марковской цепи, марковского процесса и полумарковского процесса

Замечание. Размеры единичной матрицы согласованы с размерами соответствующих матриц.

7.5.МАТРИЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ ПОДМНОЖЕСТВАМИ СОСТОЯНИЙ

Переходы между подмножествами состояний описываются матрицами вероятностей попаданий: матрица BUV описывает переход U → V, а матрица BVU описывает переход V → U. Эти матрицы могут быть вычислены по исходным матричным характеристикам. В табл. 7.2 матрицы BUV и BVU приведены для марковской цепи, марковского процесса и полумарковского процесса.

Табл. 7.2. Матрицы вероятностей попаданий при переходах между подмножествами состояний

7.6.МАТРИЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЗВРАЩЕНИЯ В ПОДМНОЖЕСТВА СОСТОЯНИЙ

Возвращения в подмножества состояний между соседними циклами описываются матрицами AU и AV. Формулы для вычислений этих матриц приведены в табл. 7.3. Эти матрицы являются стохастическими, то есть сумма элементов любой строки равна 1. Однако эти матрицы имеют особенность, связанную с переходами между подмножествами состояний.

Состояние ui U будем называть входным, если возможно попадание в это состояние при переходе V → U. Аналогичный смысл имеет состояние vi V.

Входные состояния подмножества U образуют подмножество U+. Аналогичный смысл имеет подмножество входных состояний V+. Числа входных состояний подмножеств U и V будем обозначать соответственно через mU и mV . Очевидно, что mU ≤ mU, mV ≤ mV.

73

Особенность возвращения в подмножество состояний заключается в том, что только входные состояния могут быть начальными при возвращении в подмножество состояний. Состояние, не являющееся входным, не может быть начальным при переходах между подмножествами. Это обстоятельство определяет следующую особенность матриц AU и AV: они содержат нулевые столбцы. Эти столбцы соответствуют состояниям, которые не являются входными.

Произведем усечение матриц AU и AV, которое заключается в удалении нулевых столбцов и соответствующих строк этих матриц. Усеченные матрицы, обо-

значенные как AU и AV , являются квадратными, их порядок равен соответст-

венно mU и mV .

Матрицы AU и AV являются стохастическими. Формально они представляют собой матрицы переходных вероятностей марковской цепи. По этим матри-

цам можно вычислить предельные распределения вероятностей rU и rV . При вычислении этих распределений могут быть следующие ситуации:

1.Матрицы AU и AV состоят из равных строк. Тогда строка этой усеченной матрицы и является предельным распределением.

2.Матрицы AU и AV содержат разные строки (точнее: хотя бы одна строка

отличается от остальных). В этом случае следует вычислить предельные вероятности по формулам раздела 1.9.

Табл. 7.3. Матричные характеристики возращения в подмножества состояний

74

7.7. УСЕЧЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОДМНОЖЕСТВ

Матричные характеристики подмножеств, определенные в разделе 7.4, описываются квадратными матрицами, порядок которых равен числу состояний подмножеств U и V. Строки, соответствующие состояниям, которые не являются входными, являются избыточными. Они не вносят никакого вклада в характеристики подмножеств. Поэтому они могут быть удалены.

Матричные характеристики подмножеств усекаются: остаются строки, соответствующие входным состояниям, остальные строки удаляются. Усеченные матричные характеристики приведены в табл. 7.4.

Табл. 7.4. Усеченные матричные характеристики подмножеств

7.8. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ

Распределения предельных вероятностей возвращения в подмножества U и V, соответственно rU и rV , характеризуют установившийся (стационарный) режим системы. С помощью этих распределений характеристики подмножеств можно привести к эквивалентным состояниям. Теоретической основой приведения характеристик системы к эквивалентным состояниям является свойство линейности характеристик состояний относительно коэффициентов, равных начальным вероятностям входных состояний. Из свойства линейности вытекают формулы для вычисления строк среднего числа шагов и среднего времени нахождения в состояниях, строки относительных частот состояний. В табл. 7.5 приведены формулы для вычисления этих строк.

Приведенные характеристики эквивалентных состояний позволяют вычислять временные, вероятностные, частотные характеристики системы. Например, среднее число шагов и среднее время нахождения в подмножествах U и V определяется по формулам:

nU = nU ·e; nV = nV ·e; tU = tU ·e; tV = tV ·e,

если эти показатели находятся путем суммирования по всем состояниям подмножеств.

75

Табл. 7.5. Характеристики эквивалентных состояний

7.9. АЛГОРИТМ УКРУПНЕНИЯ

Отметим основные этапы алгоритма укрупнения состояний эргодического множества с целью приведения характеристик системы к эквивалентным состояниям.

1.Формирование исходных матричных характеристик системы: P, Λ, P,

(n), (t).

2.UV – разбиение множества состояний системы и разбиение исходных матричных характеристик на четыре подматрицы.

3.Вычисление матричных характеристик подмножеств.

4.Вычисление матричных характеристик переходов между подмножествами состояний (BUV и BVU) и матричных характеристик возвращения в подмножества

(AU и AV).

5.Усечение матричных характеристик возвращения в подмножества (получение AU и AV ).

6.Нахождение предельных распределений вероятностей возвращения (rU и

rV ).

7.Усечение матричных характеристик подмножеств (см. табл. 7.4).

8.Вычисление характеристик эквивалентных состояний (nU , nV , tU , nU ,

nV ).

9. Вычисление обобщенных характеристик системы: временных, вероятностных, частотных характеристик системы.

При реализации этого алгоритма следует принимать во внимание следующее обстоятельство. При нахождении распределений rU и rV в установившемся режиме целесообразно сначала вычислять распределение с меньшей размерно-

стью, а другое стационарное распределение найти по одной из формул: rU =

строки и столбцы которых соответствуют входным состояниям подмножеств.

76

7.10.ВЫВОДЫ

1.Предложенный метод позволяет привести систему, состояния которой

разбиты на два подмножества по выбранному признаку, к двум эквивалентным состояниям, характеризуемым одномерными массивами (средних относительных частот состояний, средних чисел шагов и средних времен состояний). На основе этих одномерных массивов находятся обобщенные характеристики системы.

2.Переходы между подмножествами состояний заменены на переходы между двумя эквивалентными состояниями.

3.Операции усечения получаются программным путем или по графу состояний.

4.Все операции с матрицами могут быть выполнены с помощью современных программных средств.

77

Глава 8. ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ

8.1. МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ

Система состоит из трех идентичных элементов, из которых два являются основными и один резервный. Резервный элемент находится в ненагруженном режиме и отказать не может. Если основной элемент является работоспособным, то он нагружен и может отказать с номинальной интенсивностью. В системе имеется один восстанавливающий орган, то есть одновременно может восстанавливаться только один элемент. Граф состояний приведен на рис. 8.1. Интенсивность отказа одного элемента будем обозначать через λ, а интенсивность восстановления – через μ.

2λ 2λ λ

μ μ μ

Рис. 8.1. Граф состояний резервированной системы

В состоянии wi (i = 0, 1, 2, 3) имеется i отказавших элементов и соответственно (3 – i) работоспособных элементов. В таблице 8.1 показаны переходы между состояниями, интенсивности этих переходов и приведено соответствующее пояснение.

Табл. 8.1. Переходы и интенсивности переходов между состояниями

Очевидно, что подмножество работоспособных состояний U = {w0, w1 } и

подмножество неработоспособных состояний V = { w2, w3}.

78

Матрица интенсивностей:

Подтверждением правильного составления матрицы интенсивностей является выполнение необходимого условия |Λ| = 0.

Вычислим предельные вероятности состояний и на их основе найдем коэффициенты готовности и простоя.

Подматрицы Λi, в которых удалены i–я и i–й столбец, а также их определители:

Перейдем к численным вычислениям. Пусть λ = 0,01 1/час, μ = 1 1/час. Тогда

Будем вычислять только коэффициент простоя с точностью до 4-го знака после запятой: Кп = 0,0004.

79

Рассмотрим циклическое функционирование системы. Разобьем матрицу интенсивностей на четыре подматрицы по признаку работоспособности:

Матрицы средних времен нахождения в состояниях подмножеств:

Видно, что предельные распределения вероятностей возвращения имеют вид:

rU = 0 1 ; rV = 1 0 .

Найдем средние времена нахождения в подмножествах U и V, которые имеют смысл среднего времени безотказной работы и среднего времени восстановления:

Числовые значения этих времен, а также среднее время цикла: tU =2550 час; tV = 1,01 час; tUV = tU + tV = 2551 час.

Коэффициент простоя: Кп = tV /tUV = 0,0004. Видно, что значение коэффициента простоя согласуется с ранее вычисленным.

Найдем частоты состояний и частоты переходов между состояниями в числовом виде при λ = 0,01 1/час, μ = 1 1/час. Подматрицы частот переходов между подмножествами состояний:

Частоты переходов между подмножествами состояний:

ωUV = e · UV ·e = 0,0004; ωVU = e · VU ·e = 0,0004.

Видно, что ωUV = ωVU . Эта частота имеет смысл частоты отказов в единицах

1/час. Итак, частота отказов ωотк = 0,0004 1/час. 80