651_Zelentsov_B.P._Matrichnye_modeli_funktsionirovanija_

Табл. 8.4. Эксплуатационные характеристики устройства

Из приведенных формул видно, что эксплуатационные характеристики устройства существенно зависят от параметров недостоверного контроля. В случае достоверного контроля, то есть при α = 0, β = 0 формулы для эксплуатационных характеристик устройства упрощаются. Эксплуатационные характеристики устройства при достоверном контроле приведены в табл. 8.5.

91

Табл. 8.5. Эксплуатационные характеристики устройства при достоверном кон-

троле (α = 0, β = 0)

92

8.4.ВЫВОДЫ

1.Проведено исследование относительно простых систем разного типа. Все

результаты могут быть проверены вручную или с помощью программных средств.

2.Приведенные модели могут быть использованы для исследования зависимости эксплуатационных характеристик оборудования от исходных характеристик. На основании этих моделей могут быть сформулированы требования к исходным характеристикам.

3.К исследованию систем можно применить разные подходы (методы) для контроля правильности проведенных операций.

93

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, приведено несколько подходов к исследованию вероятностной системы: на основе предельных вероятностей, рассмотрение циклического функционирования системы, частотный метод. При исследовании модели целесообразно применять проверочную процедуру, роль которой выполняет другой подход или метод. Следует обратить внимание на то, что возможны ошибки на этапе формирования исходной матрицы переходных вероятностей или исходной матрицы интенсивностей. Правильность составления таких матриц можно проверять с помощью необходимого условия (равенство нулю соответствующего определителя).

Операции с матрицами в символьном или числовом виде можно выполнять с помощью современных программных средств типа Mathcad и Mathlab. В символьном виде могут быть получены расчетные формулы для вычисления различных эксплуатационных характеристик систем, а в числовом виде могут быть получены зависимости выходных (обобщенных) характеристик от влияющих факторов, например, зависимость коэффициентов готовности и простоя от параметров недостоверного контроля.

При большом числе состояний целесообразно выполнять укрупнение состояний путем приведения к входным состояниям подмножеств, при этом система с данным числом состояний приводится к системе с меньшим числом состояний, а информация об исходном множестве состояний определенным образом «упаковывается» в систему с меньшим числом состояний с сохранением (без потери точности) значений некоторых характеристик исходной системы: средней относительной частоты состояний (среднего числа попаданий в состояние до выхода из подмножества), среднего числа шагов или среднего времени нахождения в состояниях до выхода из подмножества, среднего числа шагов и среднего времени нахождения в подмножествах состояний и др. На основе этих характеристик может быть определен достаточно широкий класс обобщенных характеристик системы, например, коэффициенты готовности и простоя, средняя наработка на отказ и др.

Принцип укрупнения продемонстрирован на простых примерах, повторить которые можно «вручную» или с помощью программных средств. Такое укрупнение можно применить для исследования вероятностных систем различного назначения, в частности, для расчета надежности восстанавливаемых, невосстанавливаемых или частично восстанавливаемых систем.

94

ЛИТЕРАТУРА

1.Боровиков С.М. Расчет показателей надежности радиоэлектронных средств: Учеб.-метод. пособие / С.М.Боровиков, И.Н. Цырельчук, Ф.Д.Троян. – Минск: БГУИР, 2010. – 68 с.

2.ГОСТ 27.301–95. Надежность в технике. Расчет надежности. Основные положения. – М.: Изд. стандартов. – 27 с.

3.Замятина О.М. Моделирование систем: Учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 204 с.

4.Зеленцов Б.П. Аналитическое моделирование сложных вероятностных Систем // Моделирование информационных сетей. Труды Вычислительного центра СО РАН. Серия: Информатика, вып. 1. – Новосибирск, 1994. С. 144-152.

5.Зеленцов Б.П. Матричные модели надежности систем: инженерные методы расчета. – Новосибирск: Наука, 1991. – 112 с.

6.Зеленцов Б.П., Мелентьев О.Г., Шерстнева О.Г. Моделирование функционирования телекоммуникационных систем марковскими процессами: учебное пособие / СибГУТИ. – Новосибирск, 2008. – 131 с.

7.Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслужива-

ния. – М.: Высш. шк., 1982. – 256 с.

8.Ищук А.А., Оболонин И.А. Проектирование радиотехнических устройств в среде Mathcad: Учебное пособие/СибГУТИ – Новосибирск, 2008. – 214 с.

9.Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т.II: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов. –

М.: МЦНМО, 2010. – 560 с.

10.Королюк В.С. и др. Полумарковские процессы и их приложения. – Киев, 1970.

11.Математическое моделирование: методы, описания и исследования сложных систем / Под ред. А.А.Самарского. – М.: Наука, 1989.

12.Надежность технических систем: Справочник / Ю.К.Беляев, В.А.Богатырев, В.В.Болотин и др. ; Под ред. И.А.Ушакова. – Радио и связь, 1985. – 608 с.

13.Надежность электрорадиоизделий: Справочник / С.Ф.Прытков и др. – М.:

ФГУП «22 ЦНИИ МО РФ», 2008. – 641 с.

14.Обоскалов В.П. Структурная надежность электроэнергетических систем: Учеб. пособие. – Екатеринбург: УрФУ, 2012. – 194 с.

15.Очков В.Ф. Mathcad для студентов и инженеров: русская версия. – СПб: БХВ-Петербург, 2009. – 512 с.

16.Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 1999. 656 с.

17.Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. – БХВ–СПб, 2008. –

560с.

95

18.Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: учебник для бакалавров.

– М.: Юрайт, 2013. – 343 с.

19.Ушаков И.А. Курс теории надежности систем: Уч. пособие. – М.: Дрофа, 2008. – 239 с.

20.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – СПб: Лань, 2003. – 272 с.

21.Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Изд–во МЦНМО, 2004.

22.User’s Guide. Mathcad. 2007 Parametric Technology Corporation, 170 p.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

В пособии использованы следующие обозначения:

AU = aU(i, j) – матрица вероятностей возвращения в подмножество U;

aU(i, j) – вероятность того, система попадет в состояние uj при переходе V → U

при условии, что состояние ui является начальным на предыдущем цикле; AV = aV(i, j) имеет аналогичный смысл;

AU и AV – усеченные матрицы вероятностей возвращения во входные состояния подмножеств U и V соответственно;

BUV = bUV(i, j) – матрица вероятностей попаданий при переходе U → V;

bUV(i, j) – вероятность того, что при переходе U → V система попадет в состоя-

ние vj при условии, что состояние ui является начальным; BVU = bVU(i, j) имеет аналогичный смысл;

с – номер цикла системы;

det – обозначение определителя (детерминанта); E – единичная матрица;

e – столбец, все элементы которого равны 1; mU (mV) – число состояний подмножества U (V);

n – номер шага (дискретного момента времени) цепи Маркова;

nU – среднее число шагов нахождения в множестве U при заданном начальном распределении вероятностей состояний марковской цепи;

nV имеет аналогичный смысл;

nU = nU(j) – строка среднего числа шагов нахождения в состояниях марков-

ской цепи при заданном начальном распределении;

nU(j) среднее число шагов нахождения в состоянии uj до выхода из U при заданном начальном распределении;

nV = nV(j) имеет аналогичный смысл;

NU = nU(i, j) – матрица среднего числа шагов нахождения в состояниях подмножества U марковской цепи;

96

nU(i,j) – среднее число шагов нахождения в состоянии uj до выхода из U при ус-

ловии, что состояние ui является начальным; NV = nV(i, j) имеет аналогичный смысл;

NU = nU (i, j) – матрица средних относительных частот состояний полумарковского процесса на подмножестве U;

nU (i, j) – средняя относительная частота состояния uj на подмножестве U при начальном состоянии ui, или среднее число вхождений (попаданий) в состоя-

ние uj до выхода из U при условии, что состояние ui U является начальным;

nU = nU (j) – строка средних относительных частот состояний полумарков-

ского процесса на подмножестве U при заданном начальном распределении; nU (j) – средняя относительная частота состояния uj на подмножестве U при заданном начальном распределении;

NU и NV – усеченные матрицы среднего числа шагов нахождения в состояниях подмножеств U и V марковской цепи;

NU и NV – усеченные матрицы средних относительных частот состояний на подмножествах U и V полумарковского процесса;

o – нулевая строка, все элементы которой равны 0;

P = pij – матрица переходных вероятностей марковской цепи; pij – вероятность перехода wi → wi марковской цепи за один шаг;

P(n) = pij(n) – матрица вероятностей состояний цепи Маркова на n–м шаге; pij(n) – вероятность того, что цепь Маркова находится в состоянии wj на n–м

шаге при условии, что состояние wi является начальным;

P(t) = pij(t) – матрица вероятностей состояний марковского процесса в момент времени t;

pij(t) – вероятность того, что в момент времени t марковский процесс будет в состоянии wj при условии, что в начальный момент он находился в состоянии

wi;

P(s) – матрица–изображение матрицы–оригинала P(t);

PU(t) = pU(i, j,t) – матрица вероятностей состояний подмножества U;

pU(i,j,t) – вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии uj до выхода из U при условии, что состояние ui является начальным; PV(t) = pV(i, j,t) имеет аналогичный смысл;

pU(t) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состояниях подмножества U;

97

pV(t) имеет аналогичный смысл;

PUV(t) = pUV(i, j,t) – матрица вероятностей перехода U → V в течение времени t; pUV(i, j,t) – вероятность того, что в течение времени t произойдет переход из

подмножества U в состояние vj при условии, что состояние ui является начальным;

PVU(t) = pVU(i, j,t) имеет аналогичный смысл;

PUU = pUU (i, j) – матрица переходных вероятностей на подмножестве U; pUU (i, j) – вероятность перехода ui → uj марковской цепи за один шаг; PVV = pVV (i, j) имеет аналогичный смысл;

p(n) = pj (n) – строка (распределение) вероятностей состояний цепи Маркова на n–м шаге при заданном начальном распределении;

pj (n) – вероятность того, что на n–м шаге цепь Маркова находится в состоянии wj при заданном начальном распределении;

p(t) = pj (t) – строка (распределение) вероятностей состояний марковского процесса в момент времени t при заданном начальном распределении;

Pj (t) – вероятность того, что в момент времени t марковский процесс находится в состоянии wi при заданном начальном распределении;

p(0) = pi (0) – строка (распределение) начальных цепи или процесса Маркова

pi (0) – вероятность того, что система находится в состоянии wi на начальном шаге или в начальный момент времени;

pj – j–я строка матрицы P без элемента pjj;

Pj – матрица, полученная из матрицы P удалением j–й строки и j–го столбца; P= pij – матрица вероятностей прохождений полумарковского процесса;

pij – вероятность прохождения wi → wi, или вероятность перехода wi → wi при

условии, что процесс выходит из состояния wi;

pi = pi( j,k) – i–я строка матрицы вероятностей прохождений без элемента pii;

pi( j,k) – вероятность прохождения wj → wk, j ≠ i, k ≠ i;

qii(n) – вероятность того, что в течение n шагов цепь Маркова находится в со-

стоянии wi;

qii(t) – вероятность того, что в течение времени t система находится в состоянии

wi;

rU (c)– распределение (строка) начальных вероятностей состояний подмножества U на c–м цикле;

rV (c) имеет аналогичный смысл;

98

rU – известное или стационарное распределение начальных вероятностей состояний подмножества U;

rV имеет аналогичный смысл;

rU и rV – распределение предельных вероятностей возвращения во входные состояния подмножеств U и V соответственно;

s – комплексная переменная преобразования Лапласа;

tU – среднее время нахождения в множестве U при заданном начальном распределении вероятностей состояний марковского процесса;

tV имеет аналогичный смысл;

TU = tU(i, j) – матрица среднего времени нахождения в состояниях марковского процесса;

tU(i,j) – среднее время нахождения в состоянии uj до выхода из U при условии,

что состояние ui U является начальным; TV = tV(i, j) имеет аналогичный смысл;

TU и TV – усеченные матрицы среднего времени нахождения в состояниях подмножеств U и V марковского процесса;

tU = tU(j) – строка среднего времени нахождения в состояниях марковского процесса при заданном начальном распределении;

tU(j) – среднее время нахождения в состоянии uj до выхода из U при заданном начальном распределении;

tV = tV(j) имеет аналогичный смысл;

ti – среднее время пребывания системы в состояниях подмножества Wi после перехода в него из состояния wi;

U – подмножество состояний системы;

ui, uj – состояния подмножества U, то есть ui U, uj U;

U → V (V → U) – переход системы из состояний подмножества U (V) в состояния подмножества V (U);

V – подмножество состояний системы;

vi, vj – состояния подмножества V, то есть vi V, vj V; W множество возможных состояний системы;

wi, wj – состояния множества W, то есть wi W, wj W;

– обозначение определителя (детерминанта);

Θ(n) = θii(n) – матрица среднего числа шагов нахождения в состояниях цепи Маркова при однократном попадании в состояния;

θii(n)– среднее число шагов непрерывного нахождения в состоянии wi при одно-

кратном попадании в него;

99

Θ(t) = θii(t) – матрица среднего времени нахождения в состояниях марковского процесса при однократном попадании в состояния;

θii(t)– среднее время непрерывного нахождения в состоянии wi при однократном попадании в него; ·

θ(n)= Θ(n)·e – столбец среднего числа шагов непрерывного нахождения в состояниях при однократном попадании в них;

θ(t)= Θ(t)·e – столбец среднего времени непрерывного нахождения в состояниях при однократном попадании в них;

= ij – матрица интенсивностей марковского процесса;

ij – интенсивность перехода wi → wj;

λ j – j–я строка матрицы без элемента jj;

Λj – матрица, полученная из матрицы удалением j–й строки и j–го столбца; ΛUU (ΛVV) – подматрица интенсивностей переходов между состояниями подмножества U (V);

ΛUV (ΛVU) – подматрица интенсивностей переходов из состояний подмножества U (V) в состояния подмножества V (U);

π = πj – распределение (строка) предельных вероятностей состояний цепи Маркова или процесса Маркова;

πj – предельная вероятность состояния wj цепи Маркова или процесса Маркова.

100