651_Zelentsov_B.P._Matrichnye_modeli_funktsionirovanija_

4.8.ВЫВОДЫ

1.Приведен метод вычисления следующих характеристик подмножества не-

существенных состояний:

–среднее число шагов нахождения в подмножестве состояний;

–среднее время и дисперсия времени нахождения в подмножестве состояний;

–средние относительные частоты состояний подмножества.

2.Вероятностные характеристики подмножества состояний зависят от распределения начальных вероятностей состояний этого подмножества.

3.Вероятностные характеристики вычисляются матричным методом, который сводится к операциям обращения и умножения матриц.

4.Операции с матрицами могут быть выполнены в символьном или числовом виде.

5.Операции с матрицами целесообразно выполнять с помощью современных программных средств, таких как Mathcad и Mathlab.

4.9. ПРИМЕР СИСТЕМЫ С ТРЕМЯ СОСТОЯНИЯМИ

Вычислим матричные характеристики для цепи Маркова, процесса Маркова и полумарковского процесса на примере системы из трех состояний, приведенных в разделах 1.11, 2.12 и 3.6. Для этих случайных процессов приведены исходная матрица и три варианта подмножества U. Для каждого варианта вычислена соответствующая матричная характеристика в двух видах: символьном и числовом.

В табл. 4.4 рассмотрены варианты подмножества U для цепи Маркова. Для каждого варианта приведена матрица переходных вероятностей PUU и матрица среднего числа шагов нахождения в состояниях NU, вычисленная по формуле: NU = (E – PUU)–1 и представленная в двух видах: символьном и числовом для значений p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = 0,3; q1 = 0,4; q3 = 0,5. Исходная матрица переходных вероятностей:

51

Табл. 4.4. Матричные характеристики подмножеств цепи Маркова

2= p1·p3 + p3·q1+ q1·q3.

Втабл. 4.5 рассмотрены варианты подмножества U для процесса Маркова.

Для каждого варианта приведена матрица интенсивностей UU и матрица среднего времени нахождения в состояниях TU, вычисленная по формуле:

TU = – UU1 и представленная в двух видах: символьном и числовом для значе-

ний λ1 = 0,01; λ2 = 0,02; λ3 = 0,03; μ1 = 0,04; μ3 = 0,05. Исходная матрица ин-

тенсивностей:

52

Табл. 4.5. Матричные характеристики подмножеств процесса Маркова

2= λ1·λ3 + λ3·μ1+ μ1·μ3.

Втабл. 4.6 рассмотрены три варианты подмножества U для полумарковского процесса. Для каждого варианта приведена матрица вероятностей прохожде-

ний PUU , определенная на основе марковского процесса, и матрица относи-

тельных частот NU , вычисленная по формуле: NU = (E – PUU )–1 и

представленная в двух видах: символьном и числовом для значений λ1 = 0,01; λ2 = 0,02; λ3 = 0,03; μ1 = 0,04; μ3 = 0,05. Исходная матрица вероятностей прохождений в символьном и числовом виде:

53

Табл. 4.6. Матричные характеристики подмножеств полумарковского процесса

2= λ1·λ3 + λ3·μ1+ μ1·μ3.

Из рассмотренных примеров видно, что характеристики состояний и подмножеств состояний зависят от начального состояния подмножества. В некоторых случаях эта зависимость может быть существенной.

54

Глава 5. ЦИКЛИЧЕСКОЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТНОЙ СИСТЕМЫ

5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При эксплуатации систем длительного использования имеют место повторяющиеся циклы, обусловленные, например, перегрузками, отказами, снижением качества обслуживания и др. Это обстоятельство является предпосылкой для формирования модели циклического функционирования систем.

Вданной главе изложена модель циклического функционирования системы,

врамках которой описываются переходы между подмножествами состояний путем оперирования с матрицами. Такой подход позволяет вычислять обобщенные характеристики системы при циклическом функционировании в переходном и установившемся режиме.

Пусть множество состояний является эргодическим. Это эргодическое множество состояний W разбивается на два подмножества U и V: (W = U + V, U

V = ). Каждое из подмножеств U и V является подмножеством несущественных состояний в том смысле, что вероятность нахождения в состояниях каждого подмножества до перехода в другое подмножество стремится к нулю с течением времени.

Разбиение множества состояний системы на подмножества целесообразно производить по некоторому признаку таким образом, чтобы в состояниях этих подмножеств система имела некоторые заданные свойства. Эволюционирование системы во времени заключается как в переходах внутри подмножеств U и V, так и в переходах между ними. Назовём UV–циклом нахождение системы в подмножестве U и следующее за ним нахождение в подмножестве V. Тогда эволюционирование системы во времени можно представить последовательными переходами из одного подмножества в другое: U → V → U → V → … Это означает, что время эксплуатации системы разбивается на циклы, а эксплуатация состоит из последовательных переходов из одного подмножества в другое. Пусть для определенности процесс начинается в подмножестве U. Первый цикл будем считать начальным. Итак, циклическое функционирование вероятностной системы заключается в последовательных переходах внутри подмножеств и между подмножествами состояний.

Обобщенные характеристики системы – это вероятностные характеристики этих подмножеств при циклическом функционировании системы: распределение времени нахождения в подмножествах состояний, предельные вероятности подмножеств состояний, средние времена нахождения в подмножествах и др. В каждом конкретном случае в зависимости от признака разбиения множества состояний на U и V обобщенные характеристики системы будут иметь тот или иной инженерно-технический смысл. Например, в теории надежности часто такое разбиение производят по признаку безотказности, при этом U и V являются соответственно подмножествами работоспособных и неработоспособных состояний. Тогда переход U → V происходит при отказе системы, а обратный переход – при устранении отказа.

55

Переходы между подмножествами состояний и переходы между циклами могут быть описаны на основе цепи Маркова или процесса Маркова.

5.2. ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ ПОДМНОЖЕСТВАМИ ЦЕПИ МАРКОВА

Итак, эргодическое множество состояний системы разбито на два подмножества U и V. Матрица переходных вероятностей P разбивается на четыре подматрицы (на четыре блочных матрицы) в соответствии с этим UV разбиением множества W:

Переходы между подмножествами U → V описываются вероятностями bUV(i, j); bUV(i, j) вероятность того, что что при переходе U V система попадет в состояние vj V при условии, что состояние ui U является начальным. Эта вероятность характеризует систему в момент перехода U V. Найдем эту вероятность.

Переход в vj при начальном ui может произойти двумя несовместными путями:

1)за один шаг с вероятностью pUV(i, j);

2)за большее число шагов; на первом шаге система переходит в состояние

uk с вероятностью pUU(i,k), а затем из uk с вероятностью bUV(k, j) переходит в состояние vj.

Следовательно, вероятность попадания в состояние vj равна сумме этих двух возможностей:

bUV(i, j) = pUV(i, j) + pUU (i,k) bUV (k, j). uk U

В матричной форме это уравнение имеет вид:

Итак, переходы между подмножествами U и V описываются матрицами вероятностей попадания BUV и BVU, которые описывают пребывание системы внутри одного подмножества, а затем переход в другое подмножество.

Матрицы вероятностей попаданий BUV и BVU могут быть получены также с помощью вероятностей прохождений. Матрица вероятностей прохождений P также разбивается на четыре подматрицы:

Формулы для матриц BUV и BVU имеют аналогичный вид. 56

5.3. ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ ПОДМНОЖЕСТВАМИ ПРОЦЕССА МАРКОВА

Циклическое функционирование вероятностной системы может быть представлено на основе однородного марковского процесса, то есть процесса, переходы между состояниями которого происходят в непрерывном времени с постоянными интенсивностями.

Матрица интенсивностей эргодического марковского процесса разбивается на четыре подматрицы (на четыре блочных матрицы) в соответствии с UV разбиением множества W:

= UU UV .VU VV

Рассмотрим процесс на подмножестве U до первого перехода в одно из со-

где P′UV(t) – матрица, элементы которой являются производными соответствующих элементов матрицы PUV(t). Решение матричного дифференциального уравнения существует при известной матрице PU(t). Матрица PU(t) получена в виде матричной экспоненты в разеле 4.4: PU(t) = exp(ΛUU·t). Таким образом, матричное дифференциальное уравнение приобретает вид:

Будем считать, что переход U → V происходит на интервале времени [0,∞), где время t отсчитывается от начала нахождения в подмножестве U. Тогда ве-

роятность попадания в состояние vj при переходе U → V определяется вероят-

ностью pUV(i, j,t) на интервале времени [0,∞):

bUV(i, j) = lim pUV (i, j,t),

t

или в матричном виде

BUV = bUV(i, j) = lim PUV (t). t

Поэтому матрица BUV получается из матричного дифференциального уравнения

(5.4):

Итак, переходы между подмножествами U → V и V → U описываются матрицами вероятностей попадания BUV и BVU соответственно, которые описывают попадания из одного подмножества в другое.

57

5.4. ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ ЦИКЛАМИ

Переходы между двумя соседними циклами описываются вероятностями возвращения aU(i, j). Поскольку переход из подмножества U в подмножество U между соседними циклами происходит через состояния подмножества V, то, в соответствии с формулой полной вероятности

aU(i, j) = bUV (i,k) bVU (k, j),

vk

где aU(i, j) – вероятность того, система попадет в состояние uj U при возвра-

щении из V в U при условии, что состояние ui U является начальным на предыдущем цикле.

В матричной форме переходы между двумя соседними циклами можно за-

Таким образом, матрицы BUV и BVU описывают попадания при переходах между разными подмножествами, в матрицы AU и AV – возвращения в одноименные подмножества на соседних циклах. Формально матрицы AU и AV являются матрицами переходных вероятностей некоторой новой марковской цепи. Это позволяет рассматривать переходный и установившийся режимы при циклическом функционировании системы.

Матрицы BUV, BVU, AU, AV являются стохастическими. Сумма элементов каждой строки этих матриц равна 1:

BUV ·e = e; BVU ·e = e; АU ·e = e; АV ·e = e.

5.5. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ЦИКЛОВ

При циклическом функционировании нахождение системы в каждом подмножестве начинается при определенных начальных условиях. Эти начальные условия могут меняться от цикла к циклу или стабилизироваться в установившемся (стационарном) режиме. От начальных условий циклов могут зависеть вероятностные характеристики подмножеств в и, следовательно, обобщенные характеристики системы.

Как было отмечено, первый цикл является начальным. Возможны два вари-

анта учета начальных условий циклов системы: 1) каждое состояние ui может быть начальным на первом цикле; 2) на первом цикле задано распределение начальных вероятностей. В первом варианте начальные условия задаются единичной матрицей Е, а во втором – распределением (строкой) начальных вероятностей состояний на первом цикле rU (1)= rU(1, i) , где rU(1, i) – вероятность того,

что состояние ui является начальным на первом цикле.

58

Первый вариант учета начальных условий описывается матрицей вероятностей возвращения в состояния подмножества U: RU(c) = rU(c,i, j) , где rU(c,i, j) –

вероятность того, что состояние uj является начальным на c–м цикле при усло-

вии, что состояние ui является начальным на первом цикле; c = 1, 2, 3, … – но-

Возвращения в состояния подмножества V описываются матрицей RV(c) =

rV(c,i, j) , где rV(c,i, j) – вероятность того, что состояние vj является начальным на c-м цикле при условии, что состояние ui является начальным на первом цик-

ле. Матрицу RV(c) получают по формуле: RV(c) = AUc 1· BUV.

Для второго варианта учета начальных условий вводится распределение начальных вероятностей подмножества U на с-м цикле: rU (c) = rU(c, j) , где

rU(c, j) – вероятность того, что состояние uj на с-м цикле является начальным.

Распределение вероятностей состояний подмножества V на c–м цикле будет

чальным при переходе в подмножество V на c-м цикле.

В начальный период функционирования системы (то есть при малых с) наблюдается переходный режим, в котором распределения начальных вероятностей циклов зависят от номера цикла с, то есть меняются от цикла к циклу. После достаточно большого числа циклов (теоретически при с → ∞) система переходит в установившийся режим, то есть режим, в котором начальные распределения подмножеств перестают зависеть от с.

Итак, время эксплуатации системы разделяется на два режима: переходный и установившийся. В переходном режиме матрица RU(c) и распределение rU (c) меняются от цикла к циклу, а в установившемся не зависят от номера цикла, при этом

при любом rU (1). Существование предельных вероятностей в установившемся периоде означает, что матрица RU(с) и распределение rU перестают зависеть от номера цикла.

59

В установившемся режиме начальные распределения подмножеств U и V связаны ранее выведенными соотношениями:

rV = rU ·BUV ; rU =rV ·BVU.

где rV = rV(j) – распределение вероятностей состояний подмножества V в ус-

тановившемя режиме, rV(j) – вероятность того, что состояние vj является начальным при вхождении в подмножество V в установившемся режиме.

Следовательно, по одному известному начальному распределению (rU или rV ) может быть найдено другое предельное распределение. Поэтому при вероятностных расчетах целесообразно находить предельную матрицу RU или RV для подмножества с меньшим числом состояний.

Следует отметить, что соотношения (5.12) являются теоретическими. В реальных моделях система может находиться в установившемся режиме, начиная даже с первого или второго цикла. Зачастую начальное распределение вероятностей состояний в установившемся режиме находится из физических соображений, то есть нет необходимости искать предельные матрицы RU или RV математическими методами. Например, для процессов, моделируемых схемой размножении и гибели, второй цикл уже является установившимся. В частном случае, если матрица AU имеет одинаковые строки, то, очевидно, RU = AU. Это означает, что, начиная со второго цикла, имеет место предельное распределение начальных вероятностей при любом rU (1).

Необходимо отметить, что рассмотренные матрицы и векторы являются стохастическими, то есть

RU(c)·e = e; RV(c)·e = e; rU ·e = 1; rV ·e = 1,

а в установившемся режиме каждая строка матрицы RU равна вектору rU , то

есть RU = e·rU .

Итак, в переходном режиме начальное распределение циклов зависит от номера цикла, а в установившемся они «стабилизируются» и уже не зависят от него. Ввиду этого в переходном режиме обобщенные характеристики системы изменяются от цикла к циклу, а в установившемся не зависят от него.

5.6.ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ В ПЕРЕХОДНОМ И УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМАХ

Очевидно, что вероятностные характеристики подмножеств состояний зависят от начальных вероятностей состояний. Поэтому обобщенные характеристики системы также зависят от начальных вероятностей циклов. В табл. 5.1 приведены формулы для вычисления характеристик подмножеств марковского процесса. Мы ограничились вычислением времени нахождения в подмножествах и предельных вероятностей подмножеств.

60