651_Zelentsov_B.P._Matrichnye_modeli_funktsionirovanija_

Табл. 5.1. Вычисление характеристик подмножеств состояний цепи Маркова в переходном и установившемся режимах

Табл. 5.2. Вычисление характеристик подмножеств состояний марковского процесса в переходном и установившемся режимах

5.7.ВЫВОДЫ

1.Представление функционирования систем длительного использования в

виде циклов является одним из возможных путей их исследования. При этом множество состояний системы разбивается на подмножества и рассматриваются переходы между состояниями как внутри подмножеств, так и между ними.

2.Начальные условия подмножеств меняются от цикла к циклу в переходном режиме с переходом в установившийся режим.

3.Определение начальных условий подмножеств состояний может иметь существенное значение при нахождении вероятностных характеристик систем.

61

Далее продолжим разбор этого примера в числовом виде для значений пере-

ходных вероятностей: p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = 0,3; q1 = 0,4; q3 = 0,5. Начальные вероятности циклов и матрица NU и NV:

rU (1)= (1 0); rU (2)= rU (3)= … = rU = (0,625 0,375); rV (1)= rU (2)= rV (3)= … = rV = ( 1 );

10 20

NU = ; NV = ( 1,25 ).

10 25

Итак, начиная со второго цикла, система переходит в стационарный режим. Среднее число шагов нахождения в подмножествах U и V на первом цикле и

среднее время первого цикла:

nU (1) = rU (1) NU e = 30; nV (1) = rV (1) NV e = 1,25; nUV (1) = 31,25.

Среднее число шагов нахождения в подмножествах U и V и среднее время цикла в установившемся режиме:

nU = rU NU e = 31,875; nV (1) = rV NV e = 1,25; nUV = 33,125.

Сравним полученный результат с ранее полученными результатами. Предельные вероятности нахождения в подмножествах U и V

πU = nU /nUV = 0,962; πV = nV /nUV = 0,038.

Этот результат полностью согласуется со значениями предельных вероятностей, полученных в разделе 1.11:

πU = π1 + π2 = 0,302 + 0,660 = 0,962; πV = π3 = 0,038.

Итак, в приведенном примере переходный режим охватывает только первый цикл, установившийся режим начинается со второго цикла. Различие в среднем числе шагов цикла между переходным и установившимся режимами составляет около 6%.

Аналогичное циклическое функционирование системы из трех состояний может быть рассмотрено на основе процесса Маркова.

63

Вероятности попадания в состояния подмножества Wi при переходе wi →Wi

пропорциональны интенсивностям непосредственного перехода wi → wk, wk Wi, то есть они представляют собой вероятности прохождений pik . Поэто-

му при переходе wi → Wi система попадает в состояния wk Wi с распределени-

ем pi , которое представляет собой i-ю строку матрицы вероятностей прохожде-

ний P без элемента pii:

pi = – λi /λii,

где λi – i-я строка матрицы Λ без элемента λii. Таким образом, среднее время

Величина, обратная этой сумме, является средней частотой состояния wi, или

Этой зависимости может быть дано следующее объяснение. Число вхожде-

ний в состояние wi за промежуток времени [0; t] составит в среднем ωi·t, а

среднее время пребывания в этом состоянии за промежуток [0; t] будет ωi·t·θii(t).

Очевидно, что это время также равно πit, поскольку предельная вероятность πi имеет смысл среднего относительного времени пребывания системы в состоя-

нии wi за время t. Из равенства этих времен следует, что πi = ωi·θii(t), или

ωi = – πi·λii.

Итак, получена зависимость между предельной вероятностью состояния, его средней частотой и суммарной интенсивностью выхода из этого состояния. Для вычисления средней частоты состояния можно пользоваться формулами (6.6) и (6.7).

65

6.3. ЧАСТОТЫ ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ СОСТОЯНИЯМИ

Частота ωij переходов wi → wj определяется частотой ωi и вероятностью то-

го, что система перейдет в wj, когда она покинет состояние wi. Эта вероятность является вероятностью прохождения, она пропорциональна интенсивности пе-

рехода wi → wj:

pij = – λ ij / λ ii, wi ≠ wj.

Поэтому средняя частота непосредственного перехода wi → wj, или среднее число таких переходов в единицу времени определяется формулой:

Из (6.7) и (6.8) имеем: ωij = πi· pij / θii, i ≠ j. Принимая во внимание формулу

(6.1), получим:

Представим выведенные соотношения в матричном виде. Для этого используем следующие матрицы:

1)матрицу интенсивностей Λ = ||λ ij||;

2)матрицу предельных вероятностей Πdg, диагональные элементы которой равны соответствующим предельным вероятностям состояний, а остальные элементы равны нулю, то есть

Итак, матрица Ω содержит как частоты непосредственных переходов wi → wj, так и частоты состояний системы.

6.4. ЧАСТОТЫ ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ ПОДМНОЖЕСТВАМИ СОСТОЯНИЙ

Представим матрицы Ω, Πdg и Λ в виде четырех подматриц в соответствии с разбиением множества W на подмножества U и V. Произведем умножение по формуле ( 6.11 ) с использованием блочных матриц:

66

где ΩUU, ΩVV, ΩUV, ΩVU – подматрицы частот переходов внутри подмножеств

U и V и между ними; ΠdgUU и ΠdgVV – диагональные матрицы, полученные из матрицы Πdg путем удаления из нее строк и столбцов, соответствующих подмножествам V и U соответственно.

Частота ωUV переходов U → V между двумя подмножествами определяется суммой частот всех переходов между состояниями этих подмножеств, то есть

размера, все элементы которого равны 1. Здесь e ·ΠdgUU = πU – часть распределения предельных вероятностей, соответствующая подмножеству U.

Аналогичные выражения можно записать для частоты переходов V → U:

гдеπV – часть распределения предельных вероятностей, соответствующая подмножеству V.

Покажем, что ωUV = ωVU. Изсвойстваматрицыинтенсивностей (2.5)следует, что

ΛUV ·e = – ΛUU ·e.

Подставив последнее выражение в формулу (6.17), получим:

ωUV = – e ·ΠdgUU ·ΛUU ·e.

Замечание. Размеры строк и столбцов согласованы с перемножаемой матрицей.

Из (2.11) можно получить соотношение:

πV ·ΛVU = – πU ·ΛUU .

Подставив его в формулу (6.17) для ωUV, получим:

ωUV = πV ·ΛVU ·e = e · ΠdgVV ·ΛVU ·e.

Очевидно, что ωUV = ωVU.

Легко показать, что частота переходов из одного подмножества в другое может быть выражена также через другие подматрицы:

ωUV = ωVU =πU ·ΛUV ·e = πV ·ΛVU ·e = – πU ·ΛUU ·e = – πV ·ΛVV ·e.

Последнее выражение легко интерпретируется: частота перехода U → V равна частоте обратного перехода, так как после каждого вхождения в U следует вхождение в V, и наоборот.

67

Варианты формул для вычисления средней частоты переходов между двумя подмножествами с использованием предельных вероятностей подмножеств приведены в табл. 6.1.

Табл. 6.1. Формулы для вычисления средней частоты переходов между двумя подмножествами ωUV = ωVU

6.5. ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ

Среднюю частоту ωUV можно рассматривать как среднюю частоту цикла, представляющего собой пребывание системы в подмножестве U и следующее за ним пребывание в подмножестве V. Тогда среднее время цикла в установившемся режиме равно tUV = tU + tV, где tU – среднее время пребывания в подмножестве U, а tV – среднее время пребывания в подмножестве V. Очевидно, что ωUV и tUV являются взаимно обратными величинами: tUV = 1/ωUV. Отсюда следует, что

tU = tU /(tUV ·ωUV), tV = tV /(tUV ·ωUV),

Отношения tU /tUV и tV /tUV представляют собой соответственно предельные вероятности нахождения в подмножествах πU и πV:

πU = tU /tUV = πU ·e; πV = tV /tUV = πV ·e .

Таким образом, можно записать выражения для определения tU и tV: tU = πU / ωUV; tV = πV / ωUV.

а также для определения предельных вероятностей подмножеств: πU = tU·ωUV; πV = tV ·ωUV.

6.6.ВЫВОДЫ

1.Частотный метод позволяет определять среднюю частоту переходов меж-

ду подмножествами состояний.

2.Частотный метод позволил связать между собой такие характеристики подмножеств, как среднюю частоту переходов между состояниями, среднее время нахождения в состояниях и предельные вероятности нахождения в состояниях.

3.Если множество W разбито по признаку безотказности (U – подмножество работоспособных состояний, V – подмножество неработоспособных состояний), то метод позволяет связать между собой такие показатели, как частоту отказов, коэффициенты готовности и простоя, среднее время между отказами.

68

6.7. ПРИМЕР СИСТЕМЫ С ТРЕМЯ СОСТОЯНИЯМИ

Рассмотрим систему с тремя состояниями, приведенную в разделе 2.12. Матрица интенсивностей:

Предельные вероятности состояний, вычисленные ранее:

1 = | 1|/Δ = (λ2·λ3 + λ2·μ3)/Δ; 2 = | 2|/Δ = (λ1·λ3 + λ3·μ1+ μ1·μ3)/Δ;3 = | 3|/Δ = λ1·λ2/Δ.

= | 1| + | 2| = | 3| = λ1·λ2 + λ1·λ3 + λ2·λ3 + λ3·μ1 + λ2·μ3 + μ1·μ3.

Придадим исходным интенсивностям значения: λ1 = 0,01; λ2 = 0,02; λ3 = 0,03; μ1 = 0,04; μ3 = 0,05. Тогда матрица интенсивностей

Предельные вероятности при этих значениях, вычисленные в разделе 2.12:

Замечания. 1. В данном примере не указана размерность времени. Если размерность интенсивностей переходов в единицах час–1, то время нахождения в подмножествах U и V измеряется в часах.

2. Поскольку подмножество V состоит из одного состояния, то

tV = – 1/( λ3 + μ3) = 1/0,08 = 12,5. Различие между результатами (12,7 и 12,5) обу-

словлено ограниченной точностью вычислений. 69

Глава 7. УКРУПНЕНИЕ СОСТОЯНИЙ ВЕРОЯТНОСТНЫХ СИСТЕМ

7.1. ВВЕДЕНИЕ

Одной из проблем моделирования сложных вероятностных систем является увеличение их размерности, в основе которого лежит увеличение числа элементов системы и усложнение связей между ними. Увеличение размерности системы выражается в увеличении числа её состояний. При большом числе состояний системы возникают трудности как в формировании исходных матричных характеристик, так и в оперировании с ними. Зачастую большое число состояний является существенным препятствием при моделировании функционирования систем. Увеличение числа состояний вызывает естественные трудности на всех этапах реализации модели: при формировании множества состояний системы, исходных характеристик системы, необходимости оперирования с характеристиками большой размерности. В аналитических моделях систем большой размерности возрастает трудоемкость получения формул, а сами формулы настолько сложны, что их применение в инженерных расчетах практически не оправдано. В этом случае переходят к алгоритмическому и имитационному моделированию. Эти обстоятельства определяют актуальность проблемы уменьшения размерности моделей систем.

Одним из основных путей преодоления трудностей, связанных с большой размерностью сложных систем, является укрупнение состояний. Проблема укрупнения случайного процесса – это проблема преобразования первоначального процесса в случайный процесс с меньшим числом состояний, изучение которого с точки зрения получения обобщенных характеристик системы не приводит к существенной потере информации и искажению результатов моделирования. В связи с этим важное значение имеет разработка новых подходов к укрупнению и развитие известных методов укрупнения состояний, а также доведение математически строго обоснованных методов до инженерной практики.

Можно отметить следующие признаки классификации подходов и методов укрупнения состояний:

–по механизму уменьшения числа состояний: «склеивание» состояний, при котором несколько состояний заменяются на одно, и иные подходы, при которых m состояний заменяются на n состояний (m > n);

–по совокупности сохраняемых характеристик системы: сохраняются все характеристики системы или сохраняется определенная совокупность характеристик;

–по точности сохраняемых характеристик: характеристики укрупненной системы сохраняют точные значения или эти характеристики сохраняются приближенно; в этом случае укрупнение может быть с оценкой погрешности или без нее.

70