24. Байесовские оценки при различных функциях потерь

При Байесовском критерии качестве оценки следует принять такое значение измеряемого параметра, при котором величина среднего риска получается минимальной.

Для непрерывного случайного параметра λ введем функцию потерь R( ), характеризующую штрафы за несовпадение оценки с истинным значением параметра, т.е. штрафы за ошибку ( ) непрерывной оценки. Средний риск:

Оптимальной байесовской оценкой считается такая оценка, которая обеспечивает минимум выражения . Преобразуем к виду:

Величина есть условное математическое ожидание функции потерь , вычисленное для данной реализации усреднением по всем возможным значениям случайного параметра λ. Её называют условным средним риском.

Для конкретизации правил байесовской оценки следует выбрать функцию потерь. Известно, что для симметричных апостериорных распределений и симметричных неубывающих функций потерь все байесовские оценки совпадают. При высокоточных измерениях байесовская оценка слабо зависит от вида функции потерь и в качестве её можно рассматривать оценку по максимуму апостериорного распределения.

где -априорная плотность вероятности параметра ; = L( ) – функция правдоподобия, рассматриваемая для наблюдаемой реализации y(t) как функция от ; k=1/W(y(t)) – коэффициент, не зависящий от

Два наиболее характерных вида функций потерь:

Квадратичная функция потерь:

Критерий минимума среднего риска (Байеса) обеспечивает минимум среднего квадрата ошибки.

Оптимальная оценка: – апостериорное среднее параметра . Оценка является абсциссой центра тяжести апостериорного закона распределения , поэтому ее также называют оценкой по центру тяжести

Прямоугольная (равномерная) функция потерь:

Такая функция потерь означает, что потери от ошибок, не выходящих за пределы ± , равны нулю, а от прочих ошибок – одинаковые

Условный средний риск:

Минимум этого выражения соответствует максимуму вычитаемого интеграла. При малой величине допустимой ошибки максимум интеграла будет при оценке , соответствующей максимуму апостериорной плотности вероятности

– абсцисса максимума (мода)

25. Свойства функции неопределенности и ее сечений. Примеры для импульсов и пачек импульсов

Функция неопределенности (ФН):

Она представляет собой коэффициент корреляции двух копий сигнала , имеющих различные значения и измеряемого параметра

Для повышения точности оценки по максимуму правдоподобия необходимо:

-увеличивать энергию сигнала, т.е. отношение сигнал/шум

-применять такие сигналы, у которых ФН имеет по возможности более острый пик, т.е. большую по абсолютному значению отрицательную вторую производную в точке

При неизвестной (случайной) начальной фазе сигнала числовой характеристикой близости двух копий этого сигнала является модуль коэффициента корреляции двух копий и комплексной огибающей сигнала, отличающихся на :

Принимая, что сигналы и различаются как по времени на величину τ, так и по частоте на величину F, так что комплексные огибающие можно представить:

Качество разрешения определяется видом частотно-временной ФН сигнала:

ФН по времени при F = 0: - нормированный модуль обычной (временной) АКФ сигнала, т.е. совпадает по форме с огибающей отклика согласованного фильтра на полезный (оптимальный данному фильтру) сигнал. Если осуществить сдвиг частоты несущей входного сигнала на величину F, то огибающая отклика СФ по форме будет совпадать с частотно-временной ФН

Тело неопределенности и диаграмма неопределенности (горизонтальное сечение) Ширина диаграммы неопределенности по оси времени и оси частот – количественная мера разрешающей способности соответственно по времени и частоте. Размер ДН по оси – протяженность АКФ сигнала на уровне 0,5; размер ДН по оси F равен ширине спектра квадрата огибающей сигнала по уровню 0,5. Объем тела неопределенности всегда равен 1. Принцип неопределенности: (В – база сигнала)

ФН радиоимпульса:

Точность оценки частоты тем выше, чем больше длительность сигнала. 1-короткий импульс, 2-длинный импульс

ФН пачки радиоимпульсов: