19. Байесовский критерий обнаружения. Критерий идеального наблюдателя Зигерта и максимального правдоподобия

Байесовский критерий обнаружения

Согласно критерию Байеса оптимальным является такой обнаружитель, который минимизирует средний риск. Средним риском (R) называется математическое ожидание потерь, связанных с принимаемыми решениями.

Рассматривая потери как дискретную случайную величину, принимающую значения С_ij с вероятностями Р_ij (i,j=0;1), для среднего риска получим:

R_cp = М [C] = q(p₀₀C₀₀ + p₀₁C₀₁) + p (p₁₀C₁₀ + p₁₁C₁₁)

где p и q априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала на входе;

С_ij, - потери, которые возникают когда в i- той ситуации принимается j –ое решение, i,j = 0,1

R_cp = q[(1-p_лт)С₀₀ + p_лтC₀₁] + p [(1-р_по)С₁₀ + p_поC₁₁) ]

Окончательно байесовский критерий может быть сформулирован следующим образом:

R_cp = q[(1-p_лт)С₀₀ + p_лтC₀₁] + p [(1-р_по)С₁₀ + p_поC₁₁) ] -> min

Критерий идеального наблюдателя Зигерта и максимального правдоподобия

Этот критерий используется тогда, когда в качестве основного требования, предъявляемого к обнаружителю, выступает требование минимизации полной вероятности ошибочных решений.

Полная вероятность ошибки равна:

Р_ош = qР_лт + р(1-Р_по)

Критерий идеального наблюдателя записывается в виде:

Р_ош = qР_лт + р(1-Р_по) -> min

Заметим, что критерий идеального наблюдателя вытекает из байесовского критерия при С_оо = С₁₁ = 0 и С_о1 = С_1о = 1, т.е. когда плата за правильные решения равна нулю, а платы за ошибочные решения одинаковы и равны 1.

20. Критерий Неймана-Пирсона

21. Последовательный критерий Вальда

22. Постановка задачи измерения параметров сигнала

Переносимая сигналом информация заключена в значениях одного или нескольких его параметрах: амплитуде, частоте, фазе, времени запаздывания и т.д. Для извлечения информации на приемной стороне необходимо определить (измерить) значения этих параметров.

Оценка параметров сигнала: пусть принимаемый в смеси с помехой полезный сигнал s(t,λ) имеет информационный параметр λ, являющийся случайной величиной или детерминированной, но неизвестной (т.е. λ за время наблюдения не изменяется). Необходимо в результате анализа принятого колебания y(t) оценить значение параметра λ. Если сигнал содержит несколько информационных параметров, то может быть поставлена задача о совместной оценке двух и более параметров.

23. Виды оценок параметров сигнала. Минимальная граничная дисперсия для эффективной оценки

Несмещенная оценка : её математическое ожидание совпадает с истинным значением параметра λ, причем для любых значений λ и любых отношений сигнал/шум. Несмещенность оценки означает, что среднее (по всем колебаниям y(t)) значение оценки не должно отличаться от истинного значения параметра λ, т.е. среднее значение ошибки

Помимо несмещенности оценка должна обладать минимальной величиной условной дисперсии, т.е. разброс оценки относительно её среднего значения должен быть наименьшим для любого фиксированного значения параметра λ

Оптимальная (наилучшая) оценка: та, у которой выполняются два условия:

Усреднение проводится по всем реализациям наблюдаемого колебания y(t) при λ=const

Неравенство (граница) Крамера-Рао: устанавливает нижний предел условной дисперсии несмещенной оценки

где – функция правдоподобия, а усреднение проводится по всем реализациям. Знаменатель называется информацией Фишера

Эффективная оценка: такая несмещенная оценка, для которой условная дисперсия имеет предельно минимальную величину, т.е. неравенство Крамера-Рао становится равенством. Необходимым и достаточным условием того, чтобы оценка была эффективной, является выполнение равенства

где константа k не зависит от y(t), но может зависеть от λ

Оценка называется достаточной, если в результате обработки, т.е. при выполнении преобразования , из наблюдения полностью извлечена информация об оцениваемом параметре, т.е. никакая другая обработка не может дать дополнительной информации, касающейся оцениваемого параметра λ