8. Длительность и полоса частот сигнала. Автокорреляционная функция модуляции и функция неопределенности

Автокорреляционная функция АКФ - зависимость взаимосвязи между функцией (сигналом) и её сдвинутой копией от величины временного сдвига.

При АКФ достигает максимума. При этом: т.е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала

Функция неопределенности ФН (частотно-временная): также называется двумерной нормированной автокорреляционной функцией или совместной корреляционной функции модуляции: .

Объем тела неопределенности всегда равен 1. Принцип неопределенности: (В – база сигнала)

Длительность сигнала и полоса частот сигналы связаны обратно пропорционально.

9. Основные характеристики совокупности случайных величин. Ковариация и корреляционные связи высших порядков. Биспректр и триспектр

Многомерная случайная величина представляет собой случайный вектор , имеющий проекции

n - мерная функция распределения вероятностей случайного вектора или совокупности случайных величин

n-мерная плотность вероятностей совокупности СВ

В общем случае вводятся смешанные начальный и центральный моменты совместного распределения совокупности случайных величин:

Смешанный центральный момент: ковариация случайных величин

K_ij = 0 - величины независимые |R_ij| = 1 – величины имеют линейную зависимость

Ковариация — это показатель степени изменения двух случайных величин относительно друг друга. Корреляция отражает степень зависимости между двумя случайными явлениями.

Характеристическая функция случайного вектора (собой математическое ожидание (статистическое усреднение) случайной величины e^jθξ или, что то же самое, преобразование Фурье от плотности вероятности)

Многомерные кумулянты (кумулянты - это коэффициенты в разложении логарифма характеристической функции случайной величины в ряд Маклорена, корреляционные функции)

Где

Спектр мощности – преобразование Фурье от автокорреляционной последовательности (от кумулянтной последовательности):

Биспектр – двумерное преобразование Фурье от кумулянтной последовательности. Триспектр – тройное преобразование Фурье

10. Пространства сигналов. Метрика и норма. Линейные пространства. Скалярное произведение векторов. Вероятностное пространство

Пространством сигналов называется множество сигналов, обладающих общим свойством и отличающихся друг от друга, каким-либо параметром (расстоянием).

Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов, и обозначается индексом ||s(t)|| – норма

Линейное пространство сигналов. Множество сигналов L образует линейное пространство сигналов, если для него справедливы следующие аксиомы:

1. Для любых сигналов u(t)   L и v(t)  L существует их сумма s(t) = u(t)+v(t), которая также содержится в L. Операция суммирования коммутативна: u(t)+v(t) = v(t)+u(t), и ассоциативна: u(t)+(v(t)+x(t)) = (u(t)+v(t))+x(t).

2. Для любого сигнала s(t)   L и числа a определен сигнал y(t) = a s(t), у(t)   L.

3. Множество L содержит такой нулевой элемент   , что для всех сигналов u(t)   L выполняется равенство u(t)+  = u(t).

Скалярное произведение векторов

Вероятностное пространство

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта)

Вероятностное пространство — это тройка  , где:

Ω - пространство элементарных исходов, а его элементы — элементарные исходы.

Подмножества Ω будем называть событиями, а их множество будем обозначать F.

Вероятностной мерой (или просто вероятностью) на конечном пространстве Ω с алгеброй событий F называется отображение P : F → [0, 1], удовлетворяющее свойству

1. P(Ω) = 1.

2. P(𝐴 + 𝐵) = P(𝐴) + P(𝐵).

11. Классификация случайных процессов. Стационарность и эргодическое свойство.

Классификация СП.

Случайный процесс описывает случайное изменение некоторой физической величины во времени. Описывается вероятностными законами. случайный процесс (СП) как функция изменения во времени. Аргументом СП является время.

Первый способ классификации.

В зависимости от того, скалярный или векторный сам процесс, его аргумент, можно ввести следующую классификацию:

1) скалярный случайный процесс случайный процесс, область значений которого есть множество в пространстве действительных чисел;

2) векторный случайный процесс случайный процесс, область значений которого есть множество в соответствующем координатном пространстве;

3) скалярное случайное поле случайный процесс, область значений которого есть множество из действительных чисел в соответствующем координатном пространстве;

4) векторное случайное поле случайный процесс, представимый в виде компонент, являющихся скалярными полями

Второй способ классификации.

В зависимости от того, непрерывное или дискретное множество, можно различать следующие основные виды случайных процессов:

1) дискретная случайная последовательность (дискретное время) – СП, у которого область определения – дискретные множества. В данном случае время t пробегает дискретный ряд значений, а случайная величина может принимать только дискретное множество значений. Множества значений могут быть как конечными, так и бесконечными

2) случайная последовательность – СП, у которого область значений - непрерывное множество, а область определения (время) - дискретное. Т.е. случайная величина может принимать бесконечное число значений.

3) дискретный случайный процесс (с непрерывным временем) – СП, у которого область значений – дискретное множество, а область определения - непрерывное множество. Т.е. может принимать только дискретные значения, а время t – континуум значений.

4) непрерывнозначный случайный процесс – СП, область значений и область определения которого – непрерывные множества. – континуум значений и аргумент t изменяется также непрерывно. При чём процесс может иметь разрывы первого рода (скачки).

Если скачки отсутствуют, то процесс называется непрерывным.

5) случайный точечный процесс (поток) представляет собой последовательность точек, случайным образом расположенных, на оси времени

Стационарность и эргодическое свойство.

Стационарный процесс в узком смысле – это процесс, в котором все конечномерные функции распределения вероятностей любого порядка инварианты относительно сдвига по времени, то есть при любых n и t₀ справедливо равенство

Стационарный в широком смысле процесс – это случайный процесс с конечной дисперсией, его мат. ожидание и ковариационная функция инвариантны относительно сдвига по времени.

Если стационарный процесс протекает однородно (т.е. если поделить реализацию случайного процесса на части с равными промежутками и каждая часть будет представлять из себя отрезок реализации статистического ансамбля на выходе), то такой стационарный процесс обладает эргодическими свойствами.

Эргодическим в строгом смысле называется стационарный процесс, у которого с вероятностью единицы все его вероятностные характеристики могут быть получены из одной реализации процесса.

То есть если результаты осреднения по времени совпадают с соответствующими результатами осреднения по ансамблю, т. е. с м. о.