Непрерывные дроби и перевод рационального числа в конечную дробь

Определение

Непрерывной дробью называют дробь вида

Если эта дробь где-либо заканчивается, её называют конечной непрерывной дробью.

Конечные непрерывные дроби соответствуют рациональным числам.

Пример.

Возможно и обратное действие: получение непрерывной дроби из рационального числа.

Обычно такую непрерывную дробь записывают в виде (2; 1, 1, 1, 2). Целая часть отделяется точкой с запятой.

Теперь покажем другой способ нахождения коэффициентов непрерывной дроби. Применим алгоритм Евклида к числам 21 и 8.

21 = 8 ∙ 2 + 5

8 = 5 ∙ 1 + 3

5 = 3 ∙ 1 + 2

3 = 2 ∙ 1 + 1

2 = 1 ∙ 2

Обратите внимание на связь коэффициентов непрерывной дроби с неполными частными в алгоритме Евклида!

Если у этой дроби начиная с некоторого места образуется период, её называют периодической непрерывной дробью.

Периодическую непрерывную дробь можно выразить в виде корня некоторого квадратного уравнения.

Пример.

Тогда

Поскольку число положительное, из двух значений берём положительное.

Можно получить разложение иррационального числа в периодическую дробь следующим способом.

a₀ равно целой части некоторого числа α.

Поэтому

Далее заметим, что a₁ равно целой части числа α₁.

Далее, a₂ равно целой части числа α₂, и так далее, пока не получим цикл, то есть равенство вида α_k = α_n. Это означает, что получен период.

Для чисел, являющихся корнями квадратных уравнений (в том числе для квадратных корней из натуральных чисел) период получится обязательно.

Пример.

Пусть .

Целая часть α равна 1. Поэтому

Целая часть α₁ равна 1.

Примечание.

В задачах такого вида целую часть нужно искать именно домножением на сопряжённые, а не на калькуляторе, потому что для больших целых чисел, например, для трёхзначных, может накопиться ошибка округления, и значения целой части найдёте неверно.

Целая часть α₂ равна 2.

Образовался цикл.

Ответ для периодической непрерывной дроби записывают в виде:

При этом целая часть отделена точкой с запятой, а период заключён во внутренние скобки.

Подходящей непрерывной дробью для данного числа α называют непрерывную дробь, которую мы оборвали на одном из коэффициентов. Для вычислений на практике, разумеется, так обычно и поступают.

Наилучшие приближения

На первый взгляд, непрерывные дроби могут показаться всего-навсего искусственно придуманным математическим объектом с неудобной формой записи.

Но приведём формулировку одной теоремы, чтобы стало понятно, где такие дроби можно применить.

Определение.

Наилучшим приближением числа α для дробей со знаменателем, не превышающим данное число n, называют рациональное число со знаменателем, не превышающим n, модуль разности которого с числом α наименьший.

Теорема (без доказательства).

Наилучшим приближением данного вещественного числа является одна из подходящих непрерывных дробей.

Разбор типовых примеров к первому индивидуальному домашнему заданию по теме «Делимость целых чисел и многочленов»

1. Диофантовы уравнения.

Решите диофантово уравнение 903x + 994 y = 14

Сначала найдём наибольший общий делитель коэффициентов в левой части, то есть НОД (903, 994).

Применим алгоритм Евклида.

994 = 903 ∙ 1 + 91

903 = 91 ∙ 9 + 84

91 = 84 ∙ 1 + 7

84 = 7 ∙ 12

Таким образом, НОД (903, 994) = 7.

Разделим обе части уравнения 903x + 994 y = 14 на 7.

Получим 129 x + 142 y = 2.

Найдём пару целых чисел x и y, таких, что 129 x + 142 y = 1.

Для этого воспользуемся обобщённым алгоритмом Евклида.

Сначала найдём НОД (129, 142) (мы уже знаем, что он равен 1, но результаты вычислений понадобятся нам для промежуточных выкладок).

142 = 129 ∙ 1 + 13

129 = 13 ∙ 9 + 12

13 = 12 ∙ 1 + 1

12 = 1 ∙ 12

Теперь эти выкладки рассматриваем от конца к началу, то есть выразим 1 как линейную комбинацию 13 и 12, затем – как линейную комбинацию 129 и 13, и, наконец, как линейную комбинацию 142 и 129.

1 = 13 – 12 = 13 – (129 – 13 ∙ 9) = 13 – 129 + 13 ∙ 9 = 13 ∙ 10 – 129 = (142 - 129) ∙ 10 – 129 = 142 ∙ 10 – 129 ∙11

Итак, мы нашли и такие, что .

Но, поскольку уравнение имеет вид 129 x + 142 y = 2, то два найденных числа умножим на 2, то есть в качестве частного решения возьмём и .

Теперь найдём общее решение. Если в уравнении 129 x + 142 y = 2 величину x уменьшить на 142, а величину y увеличить на 129, то сумма не изменится, поскольку величина 129 ∙ 142 к одному слагаемому прибавляется, а из другого слагаемого вычитается.

Поэтому можем общее решение записать так.

x = -22 – 142 t, y = 20 + 129 t, t – произвольное целое число.

Это и будет ответом.

Ответ. x = -22 – 142 t, y = 20 + 129 t, t – произвольное целое число.

Примечание 1.

Если в условии стоит не сумма, а разность, например, 129 x – 142 y = 2, то величины 142 t и 129 t нужно будет брать с одним знаком, поскольку в этом случае увеличение чисел 129 x и 142 y будет происходить на одно и то же число. Поэтому их разность не изменится.

Примечание 2.

В этой задаче, как и во многих других задачах данной серии, можно проверить свой ответ, подставив числа в исходное уравнение или в уравнение 129 x + 142 y = 2 (если вы уверены, что правильно сократили).

Подставим их.

129(-22 – 142 t) + 142 (20 + 129 t) = 129 ∙ (-22) – 129 ∙ 142 t + 142 ∙ 20 + 142 ∙ 129 t = 129 ∙ (-22) + 142 ∙ 20 = 2.

При этом, если вы не учли примечание 1 и ошиблись со знаками, то при проверке это сразу увидите.