- •Методы вычисления пределов
- •Предел функции
- •Окрестность точки
- •Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке
- •Предел функции на бесконечности
- •Бесконечно большая и бесконечно малая функции
- •Односторонние пределы
- •Элементарные функции
- •Вычисление пределов
- •Правила предельного перехода
- •Предел дробно-рациональной функции
- •Предел функций, содержащих иррациональные выражения
- •Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Пределы, содержащие тригонометрические функции
- •Пределы выражений, содержащих показательную, логарифмическую и степенную функции
- •Предел показательно-степенной функции
- •197376, С.-Петербург, Проф. Попова, 5
Вычисление пределов
Правила предельного перехода
Множество , дополненное двумя бесконечно удаленными точками, называется расширенной числовой осью и обозначается.. Арифметические операции над бесконечно удаленными точками будем осуществлять по следующим правилам:
1. ,. 4.,.
2. . 5.,.
3. . 6.,.
Операции не определены.
Правила 1 и 4 – 6 определены вне зависимости от знака бесконечности.
Пусть . Если прифункциииимеют конечные или бесконечные пределы, а– некоторая постоянная, то
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Формула (2.4) вытекает из формулы (2.2), если в качестве одного из сомножителей взять постоянную функцию . Приведенные формулы известны как теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
Замечание.Операцию деления на ноль в правиле 6 нужно воспринимать в смысле предельного перехода, т. е. еслии, но, то.
По формуле (2.3) и в силу правил 5, 6 имеем: если и, то; обратно, если, то. Таким образом, функция, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой и наоборот, функция, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой. Например, так как(1.2), то
. (2.5)
Рассмотрим композицию функций [1, 104]. Пусть функцияимеет конечный или бесконечный предел при, т. е., а функциянепрерывна в точке. Тогда верна формула для предела композиции функций
(2.6)
Пример 2.1. Вычислить.
Решение.Воспользуемся формулам (2.1), (2.4) и непрерывностью постоянной и степенной функций (1.1):
=
= 3∙16 + 2∙4 – 2 + 1 = 55.
Обобщим полученный результат: предел многочлена при равен значению многочлена в точке.
Пример 2.2. Вычислить.
Решение. По формуле о пределе частного и правилу 5, получаем:
.
Пример 2.3. Вычислить,,.
Решение. Для всех слагаемых, за исключением последнего, имеем:
. Соотношения,можно использовать для вычисления предела многочлена только, если все слагаемые многочлена стремятся к бесконечности одного и того же знака. В общем случае это не так, потому что знак пределапри нечетномопределяется не только знаком, а зависит еще и от знака(1.2).
[вынесем из каждого слагаемого, в качестве общего множителя, переменную в наивысшей степени] =
[2.5]=
[по правилу 4]=.
Итак, любой многочлен, степень которого не меньше 1, является бесконечно большой функцией при .
Пример 2.4. Вычислить.
Решение. Внутренняя показательная функцияявляется бесконечно малой при, так как ее основание. Внешняя функциянепрерывна в точке 0. По формуле (2.6) имеем:
.
Пример 2.5. Вычислить.
Решение. Сначала применим к многочлену, стоящему под корнем, прием, рассмотренный в примере 2.3.
[воспользуемся формулой о пределе произведения и учтем, что] =
[применим формулу о пределе композиции функций] =.
Рассмотрим предел. Согласно результату, полученному в примере 2.5, имеем:. Однако данная операция над бесконечно удаленными точками не определена. При столкновении с какой-либо из неопределенных ситуаций: , принято говорить, что имеет место неопределенность соответствующего типа. Процесс вычисления предела в случае наличия неопределенности принято называть «раскрытием неопределенности». Раскрытию неопределенностей различных типов будет посвящен следующий раздел, в котором вернемся к подобному пределу.