- •Функции нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление.
- •Часть 5
- •Функции нескольких переменных
- •Контрольная работа № 8
- •Двойные и криволинейные интегралы и их приложения.
- •Свойства двойных интегралов
- •Вычисление двойных интегралов
- •Замена переменных в двойном интеграле.
- •Вычисление криволинейного интеграла
- •Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •Контрольная работа № 9
Вычисление криволинейного интеграла
Теорема. Пусть L - кривая, заданная уравнениями ,,, гдеинепрерывны навместе со своими производными, а функцииинепрерывны вдоль кривойL. Тогда существует криволинейный интеграл J и справедливо равенство
=.
Следствие. Если кривая L задана уравнением ,, причем функцияимеет кусочно-непрерывную производную, а функциии- кусочно- непрерывны вдоль кривойL, то существует криволинейный интеграл J и справедливо равенство
=.
Пример 24. Вычислим криволинейный интеграл I=, где криваяL задана уравнением и соединяет точкиA (1, 1) и B (-1, 1).
Учитывая, что ,, иx изменяется от 1 до -1, по формуле для вычисления криволинейного интеграла (см. следствие из
теоремы) имеем I =.
Пример 25. Вычислим интеграл I =, гдеL - окружность .
Выпишем параметрические уравнения данной окружности: ,,. Вычислим интеграл, используя теорему и учитывая, что,.
I =
=.
Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Теорема. Если функции ,и их частные производные,непрерывны в ограниченной областиD с кусочно-гладкой границей L, то справедливо равенство
=.
Это равенство называется формулой Грина.
Напомним, что область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области D.
Теорема. Пусть функции ,и их частные производные,непрерывны в односвязной областиD. Тогда следующие условия эквивалентны:
Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L, расположенного в области D, справедливо равенство =0.
Для любых двух точек A и B в области D криволинейный
интеграл не зависит от формы пути интегрирования, расположенного в областиD.
3. Выражение является полным дифференциалом, т.е. в областиD существует функция , такая, что.
При этом для любой кусочно-гладкой кривой AB, лежащей в области D, имеет место равенство =.
В области D выполняется равенство =.
Замечание. Функция из условия 3 может быть найдена по формуле=, где интеграл в правой части берется по произвольной кривойAB, лежащей в области D и соединяющей какую-нибудь фиксированную точку с точкой(c - произвольная постоянная). В качестве кривой AB удобно бывает брать ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат.
Пример 25. Найдем функцию , если
.
Сначала убедимся, что функция действительно существует, т.е. выполнено равенство=.
В нашем примере , , .
Функцию будем искать по формуле=; интеграл в правой части вычислим по кривойL, соединяющей точку с точкойи представляющей собой ломаную, состоящую из двух отрезков, параллельных осям координат:. На отрезке , следовательно,; на отрезке , поэтому.
=
=.
Контрольная работа № 9
Вариант 1 |
Вариант 2
|
| |
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| |
2. ,
|
2. ,
|
3. ,
|
3. ,
|
4. ,
|
4. ,
|
5. , |
5. , |
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| |
6. ,, , |
6. ,, , |
7. ,,, |
7. , |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| |
8. ,, |
8. ,,, |
9.,,,,
|
9. ,,
|
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| |
10. , - отрезок |
10. , - отрезок |
Вариант 3 |
Вариант 4
|
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
| |
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| |
2. ,
|
2. ,
|
3. ,
|
3. ,
|
4. ,
|
4. ,
|
5. ,
|
5. ,
|
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| |
6. ,, ,
|
6. ,,, |
7. ,,, |
7. , |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| |
8. ,, |
8.,,, |
9.,,,,
|
9. ,, ,, |
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| |
10. ,
|
10. ,
|
Вариант 5 |
Вариант 6
|
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
| |
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| |
2. ,
|
2. ,
|
3. ,
|
3. ,
|
4. , |
4. ,
|
5. , |
5. ,
|
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| |
6. ,, , |
6. ,,, |
7. , |
7. , , |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| |
8. ,,,
|
8. ,,,,, |
9.,,
|
9. ,, ,, |
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| |
10. ,
|
10. ,
|
Вариант 7 |
Вариант 8
|
| |
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| |
2. ,
|
2. ,
|
3.,
|
3. ,
|
4. ,
|
4. ,
|
5. ,
|
5. ,
|
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| |
6. , , ,
|
6. , , , |
7. , |
7. , |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| |
8. ,,
|
8. ,,,,
|
9.,,
|
9. ,, |
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| |
10. , - отрезок |
10. ,
|
Вариант 9 |
Вариант 10
| |
| ||
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| ||
2. ,
|
2. ,
| |
3. ,
|
3. ,
| |
4. ,
|
4. ,
| |
5. , |
5. ,
| |
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| ||
6. ,, , |
6. ,, , | |
7. , ,
|
7. , , | |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| ||
8. ,,, |
8. ,,,, | |
9.,,
|
9. ,,
| |
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| ||
10. ,
|
10. ,
| |
Вариант 11 |
Вариант 12
| |
| ||
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| ||
2. ,
|
2. ,
| |
3. ,
|
3. ,
| |
4. ,
|
4. ,
| |
5. , |
5. , | |
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| ||
6. , , , |
6. , , , | |
7. , ,
|
7. , ,
| |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| ||
8. ,,,
|
8. ,,,,
| |
9.,, |
9. ,, , | |
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| ||
10. ,
|
10. ,
|
Вариант 13 |
Вариант 14
|
| |
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| |
2 ,
|
2. ,
|
3. ,
|
3. ,
|
4. ,
|
4. ,
|
5. , |
5. , |
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| |
6. . , , , |
6. , , , |
7. , |
7. , |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| |
8. ,,,
|
8. ,,,
|
9,, |
9. ,, , |
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| |
10. ,
|
10. ,
|
Вариант 15 |
Вариант 16
|
| |
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| |
2. ,
|
2. ,
|
3. ,
|
3. ,
|
4. ,
|
4. ,
|
5. , |
5. ,
|
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| |
6. , , ,
|
6. , , , |
7. , |
7. , |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| |
8. , , ,
|
8. ,,,
|
9.,,
|
9. ,, , |
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| |
10. ,
|
10. ,
|
Вариант 17 |
Вариант 18
|
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
| |
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| |
2. ,
|
2. ,
|
3. ,
|
3,
|
4. , |
4. , |
5. ,
|
5. , |
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| |
6. , , ,
|
6. , , , |
7. , ,, |
7. , , |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| |
8. , , , |
8. ,,,
|
9.,, |
9. ,,
|
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| |
10. , - отрезок |
10. , - отрезок |
Вариант 19 |
Вариант 20
|
| ||
|
| |||
| ||||
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
|
| |||
2. ,
|
2. ,
|
| ||
3. ,
|
3. ,
|
| ||
4. ,
|
4. , |
| ||
5. ,
|
5. , |
| ||
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
|
| |||
6. , , , |
6. , , , |
| ||
7. , ,
|
7. , |
| ||
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
|
| |||
8. ,,,
|
8. ,,, |
| ||
9.,,,
|
9. ,,
|
| ||
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
|
| |||
10. ,
|
10. ,
|
| ||
Вариант 21 |
Вариант 22
| |||
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
| ||||
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| ||||
2. ,
|
2. ,
| |||
3. ,
|
3. ,
| |||
4. , |
4. , | |||
5. , |
5. , | |||
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| ||||
6. , , , |
6. , , , | |||
7. ., , |
7. , ,, | |||
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| ||||
8. ,, , |
8. ,,,
| |||
9. ,,, , |
9. , , | |||
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| ||||
10. ,
|
10. ,
| |||
Вариант 23 |
Вариант 24
|
| ||
|
| |||
| ||||
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
|
| |||
2. ,
|
2. ,
|
| ||
3. ,
|
3. ,
|
| ||
4. ,
|
4. ,
|
| ||
5. ,
|
5. , |
| ||
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
|
| |||
6. , , , |
6. , , , |
| ||
7. , |
7. ,, |
| ||
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
|
| |||
8. ,, , |
8. ,,,
|
| ||
9.,,
|
9. ,, ,, |
| ||
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
|
| |||
10. , - отрезок |
10. ,
|
|
Вариант 25 |
Вариант 26
| |
1. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
| ||
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| ||
2. ,
|
2. ,
| |
3. ,
|
3,
| |
4. , |
4. , | |
5. ,
|
5. , | |
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| ||
6. , , , |
6. , , , | |
7. , |
7. .,, | |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| ||
8. ,, , |
8. ,,, | |
9.,,
|
9. ,, ,, | |
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| ||
10. ,
|
10. ,
| |
Вариант 27 |
Вариант 28
| |
| ||
В заданиях 2- 5 вычислите интегралы
| ||
2. ,
|
2. ,
| |
3. ,
|
3. ,
| |
4. ,
|
4. ,
| |
5. ,
|
5. ,
| |
В заданиях 6, 7 вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
| ||
6. , , , |
6. , , , | |
7. ,, |
7. .,,, | |
В заданиях 8, 9 вычислите объем тела, ограниченного данными поверхностями
| ||
8. ,,,
|
8. ,,, | |
9.,, |
9.,, | |
В задании 10 вычислите криволинейный интеграл.
| ||
10. ,
|
10. ,
|