Двойные и криволинейные интегралы и их приложения.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть на квадрируемом множестве определена функция.

Под квадрируемым множеством подразумевается такое точечное множество D, которому можно по определенным правилам сопоставить некоторое неотрицательное число, являющееся его площадью.

Разобьем D произвольными кривыми на n частей . Пусть- площади этих частей, а- их диаметры.

Напомним, что диаметром множества называется супремум расстояний между любыми двумя точками, принадлежащими данному множеству.

В каждой из () выберем произвольную точкуи составиминтегральную сумму для функциина множествеD.

Число называетсярангом разбиения D.

Если существует конечный предел , который не зависит ни от способа разбиенияD на части, ни от выбора точек , тоJ называется двойным интегралом функции по множеству D и обозначается ; функцияв этом случае называетсяинтегрируемой на множестве D.

Заметим, что функция , непрерывная на замкнутом квадрируемом множествеD, интегрируема на D.

Свойства двойных интегралов

Пусть функции иинтегрируемы на множествеD.

1. Линейность интеграла. Для любых постоянных чисел ифункция

+интегрируема наD и верно равенство

=+.

2. Аддитивность по множеству. Если D некоторой непрерывной кривой L разбита на два множества D₁ и D₂ (,), то функцияинтегрируема наD₁ и D₂ и

=+.

2. Монотонность. Если для всех, то

.

2. Теорема о среднем значении. Пусть определена и непрерывна на связном, замкнутом и ограниченном множествеD.

Напомним, что множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.

Тогда существует такая точка , что

,

где P - площадь множества D.

Вычисление двойных интегралов

Множество вида, где- функции, непрерывные наa,b , наa,b, называется элементарным относительно оси y.

Аналогично, множество , где- функции, непрерывные наc,d, наc,d, называется элементарным относительно оси x.

Теорема (о вычислении двойного интеграла повторным интегрированием).

1). Пусть функция интегрируема на множествеD, элементарном относительно оси y, и при каждом постоянном значении x из a,b существует интеграл , тогда существует также интеграл, который называетсяповторным

интегралом, и выполняется равенство .

2). Аналогично, если функция интегрируема на множествеD, элементарном относительно оси x, и при каждом постоянном значении y из c,d существует интеграл , то существует интеграл, и выполняется равенство.

Пример 16. Вычислим , гдеD - область, ограниченная кривыми и(рис. 6).

Решая систему ,

найдем абсциссы точек пересечения

полуокружности и параболы:

. Заметим, что множество D

элементарно относительно оси y:

оно задается с помощью неравенств Рис. 6.

, .

Поэтому двойной интеграл может быть вычислен повторным интегрированием:

==

= .

Пример 17. Изменим порядок интегрирования в повторном интеграле .

Эта задача несколько сложнее предыдущей. Здесь не дана непосредственно область интегрирования, мы должны выяснить ее вид по пределам данного повторного интеграла.

Неравенства,

задают множество D, которое изображено

на рис. 7. Проекцией D на ось y является

отрезок . Каждая прямаяy=c

(c = const  ) пересекаетD по отрезку

, где иявляются

решениями уравнения.

Решая последнее уравнение, находим

, . Рис. 7

Таким образом, множество D является элементарным относительно оси x и задается неравенствами ,. Поэтому

=.

Пример 18. Изменим порядок интегрирования в повторном интеграле

. y

Пределы интегрирования в

исходном интеграле показывают,

что область интегрирования D

задается неравенствами ,

. Область D

изображена на рис. 8 (кривая

является верхней x

полуокружностью окружности

). Легко увидеть, Рис. 8

что множество D не является

элементарным относительно оси x, но его можно разбить на три множества и, каждое из которых элементарно относительно осиx (см. рис.8). Разрешая уравнения иотносительноx, получим соответственно и. Таким образом, множествоможет быть задано неравенствами,; множествоможет быть задано неравенствами,; а множество- неравенствами,. Следовательно,

++=

.