|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
16M к |
|
|
16 |
17 |
M |
|
|
d ≥ 3 |
= |
3 |
|
|
|
. |
||
π[τ] |
|
π[τ] |
|
|||||
1.11.2. Розкриття статичної невизначуваності при паралельному з’єднанні ділянок стержня
Сталевий стержень 1 квадратного перерізу (b = 2,5 см) і алюмінієва трубка 2 ( D = 4,6 см, d = 4,0 см) з'єднані жорстким диском, до якого прикладений момент M = 0,4 kH м (рис. 18). Модуль зсуву сталі G1 = 0,8 105 МПа, алюмі-
нію G2 = 0,27 105 МПа.
Визначити максимальні дотичні напруження в перерізах сталевого й алюмінієвого стержнів та кут повороту перерізу А.
Рисунок 18
Статична сторона задачі
Зовнішній момент M розподіляється на два стержні, і рівняння статики прийме вид:
∑M z = M1 + M 2 − M = 0 , або M1 + M 2 = M . |
(1.41) |
Геометрична сторона задачі. Оскільки диск, що скріплює алюмінієву трубку і сталевий стержень, є абсолютно жорстким тілом, то кут повороту пе-
рерізу Адля обох стержнів однаковий. Рівняння спільності переміщень:
ϕ1 =ϕ2 . |
(1.42) |
37
Фізична сторона задачі. За законом Гука при крученні: ϕ = M кl , одер-
GIp,к
жимо:
M1l = M 2l ,
G1Iк G2 Ip
звідки
M1 = M 2 |
G1Iк |
. |
(1.43) |
|
|||
|
G2 IP |
|
|
Обчислюємо полярний момент інерції для кільцевого перерізу алюмінієвої трубки:
Ip = |
π D4 |
(1−α4 )= |
π D4 |
|
d 4 |
|
|
π 4,6 |
4 |
|
4 4 |
|
=19 см4. |
|||
|
|
1 |
− |
|
|
|
= |
|
1 |
− |
|
|
|
|||
32 |
32 |
|
32 |
4,6 |
||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент інерції при крученні для сталевого стержня квадратного перерізу дорівнює
Iк = β b4 = 0,141 2,54 =5,5 см4,
де β = 0,141 при відношенні |
h |
=1. |
|
b |
|
||
|
|
|
|
Підставивши в рівняння (1.43) значення G1, G2 , Ip , Iк , одержимо: |
|
||
|
|
M1 = 0,86 M 2 . |
(1.44) |
Розв’язуючи спільно рівняння (1.44) та (1.41), одержимо значення моментів, діючих в перерізах трубки і стержня:
M 2 = 0,215 кHм,
M1 = 0,185 кHм.
Обчислюємо полярний момент опору для стержня кільцевого перерізу:
38
|
πD3 |
(1−с |
4 |
)= |
π 4,63 |
|
4 |
4 |
|
|
3 |
|
W = |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
= 8,26 см |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
p |
16 |
|
|
|
16 |
|
|
4,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
і полярний момент опору для стержня квадратного перерізу:
Wк =αb3 = 0,208 2,53 =3,27 см3
(α = 0,208 при відношенні |
|
h |
=1). |
|
|
|||||
|
b |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Визначаємо максимальні дотичні напруження: |
||||||||||
− у сталевому стержні: |
|
|
||||||||
τ |
1max |
= |
M |
1 |
= |
0,185 103 |
=56,5 МПа; |
|||
W |
|
3,27 |
10−6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
к |
|
|
|
|
|||
− в алюмінієвому стержні:
τ |
2 max |
= |
M |
2 |
= |
0,215 103 |
= 26 МПа. |
W |
|
8,26 10−6 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p |
|
|
|
|
Перевіряємо правильність розв’язання задачі. Кут повороту диска (пе-
реріз А) дорівнює куту повороту крайнього правого перерізу квадратного сталевого стержня і кільцевого алюмінієвого стержня:
ϕ |
|
=ϕ |
=ϕ |
|
= |
|
0,185 103 0,4 = |
|
||||
|
A |
|
1 |
|
2 |
|
8 1010 5,5 10−8 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0,215 |
103 0,4 |
|
|||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||
|
2,7 |
10 |
19 |
10 |
−8 |
|
||||||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
||||
|
=1,68 10 |
−2 рад = |
1,68 10-2 180о |
= 0,96о. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
39