жимо, що в даному випадку абсолютний кут закручування ϕ стержня можна обчислити за формулою
ϕ =θ l = |
M кl |
. |
(1.11) |
|
|||
|
GIp |
|
|
1.3. Розподіл дотичних напружень при крученні стержня круглого (кільцевого) перерізу. Розрахунок на міцність
З рівняння (1.10) випливає, що дотичні напруження по радіусу перерізу розподіляються лінійно (рис. 5).
Як видно з наведених на рис. 5 епюр дотичних напружень, максимальні дотичні напруження виникають у крайніх точках перерізу, де ρ = ρmax :
τmax = |
M к |
ρmax . |
(1.12) |
|
|||
|
Ip |
|
|
Рисунок 5
З огляду на те, що величина |
Ip |
=W є полярним моментом опору пе- |
|
||
|
ρmax |
p |
|
|
рерізу, умова міцності при крученні запишеться у вигляді
τmax = |
M к |
≤[τ], |
(1.13) |
|
|||
|
Wp |
|
|
10
де [τ] – допустиме дотичне напруження, обумовлене відношенням межі теку-
чості матеріалу до коефіцієнта запасу міцності nт, тобто: [τ]= τт . nт
З умови міцності полярний момент опору повинен бути обраний за фор-
мулою Wp ≥ M[ к] .
τ
Значення полярного моменту опору для вала круглого перерізу:
Wp = π16d 3 ≈ 0,2 d 3 .
Значення полярного моменту опору для вала кільцевого перерізу:
|
d |
|
|
π D3 |
(1−c4 )≈ 0,2 D3 (1−c4 ). |
|
c = |
|
|
: W |
= |
|
|
|
|
|||||
|
D |
p |
|
16 |
|
|
|
|
|
||||
Діаметр перерізу для круглого вала обчислюється за формулою
|
16 M |
|
M |
d ≥ 3 |
π [τ]к |
≈ 3 |
0,2 к[τ]; |
для кільцевого вала:
D ≥ 3 |
16 Mк |
Mк |
π [τ] (1−c4 )≈ 3 |
0,2 [τ] (1−c4 ). |
1.4. Розрахунок на жорсткість
Крім розрахунку на міцність вали розраховуються на жорсткість:
θmax = |
M к |
≤[θ]. |
(1.14) |
|
|||
|
GIp |
|
|
У деяких випадках умова жорсткості при крученні складається в абсолютних кутах закручування ϕ ([ϕ] в радіанах – допустимий абсолютний кут закручування):
11
ϕ = |
M кl |
≤[ϕ]. |
(1.15) |
|
|||
|
GIp |
|
|
З формули (1.14) полярний момент інерції Ip , що забезпечує жорсткість, ви-
значається як
Ip ≥ GM[кθ].
Полярний момент інерції:
для круглого перерізу
Ip = π32d 4 ≈ 0,1 d 4 ,
для кільцевого
Ip = π 32D4 (1−c4 )≈ 0,1 D4 (1−c4 ).
З умови жорсткості діаметр круглого перерізу:
32 M к |
] ≈ 4 |
|
M к |
|
d ≥ 4 π G [θ |
0,1 |
G [θ]; |
|
|
зовнішній діаметр кільцевого перерізу: |
|
|
|
|
32 M к |
|
|
M к |
(1−α4 ) . |
D ≥ 4 π G [θ] (1−α4 )≈ 4 0,1 |
G [θ] |
|||
Приклад 1
З умов міцності та жорсткості визначити діаметр круглого суцільного вала (рис. 6) при таких значеннях моментів, які передаються шківами:
M1 = 0,6 кHм; |
M 2 = 0,8 |
кHм; |
M3 = 2,0 кHм; |
M 4 = 0,6 |
кHм. |
Рисунок 6
12
Допустиме напруження [τ]= 20 МПа, допустимий відносний кут закручування [Θ]= 0,25 градм, або [θ]= 0,0044 м-1.
Модуль пружності сталі при зсуві G = 0,8 105 МПа.
Будуючи епюру крутних моментів, визначаємо, що найбільший момент діє на відрізку 2-3: Мкmax = M1 + M 2 = (0,6 +0,8)=1,4 кHм.
Доберемо діаметр вала з умови міцності:
dміцн. ≥ 3 |
16 |
M |
к |
≈ 3 |
M |
к |
≈ 3 |
1,4 103 |
≈ 0,0705 м. |
π [τ |
|
0,2 20 106 |
|||||||
|
] |
|
0,2 [τ] |
|
|
||||
Тепер доберемо діаметр вала з умови жорсткості:
dжорст. |
≥ 4 |
|
32M к |
≈ 4 |
M к |
≈ |
|
|
π G [θ] |
0,1 |
G [θ] |
|
|
≈ 4 |
|
|
1,4 103 |
|
≈ 0,0794 м. |
|
|
|
105 106 |
|
|||
0,1 0,8 |
0,0044 |
|
||||
Із двох діаметрів слід вибрати більший, знайдений з умови жорсткості та округлити його в більшу сторону до найближчого цілого стандартного. Стандартний діаметр повинен мати останню цифру 0, 2, 5, 8, якщо діаметр обирається в міліметрах. Тому значення діаметра для вала обираємо:
d = max{dміцн.;dжорст.}=80 мм.
При цьому максимальні дотичні напруження будуть на другій ділянці ва-
лу:
τ |
max |
=τ |
2 |
= |
M кр2 |
= |
1,4 103 |
=13,67 МПа ≤[τ]. |
|
W |
0,2 803 10−9 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
1.5. Потенційна енергія деформації при крученні
Потенційна енергія деформації U , накопичена в пружному тілі, чисельно дорівнює роботі W зовнішніх сил, виконаній у процесі деформування пружно-
13
го тіла. Розглянемо стержень довжиною l, навантажений крутним моментом
М (рис. 7).
Рисунок 7
Виріжемо елементарний відрізок dz і розглянемо його деформацію. Умовно закріпимо лівий переріз нескінченно малого елемента вала dz . При статичному навантаженні моментом Mк правий переріз елемента повернеться на кут dϕ (рис. 7б). Елементарна робота dW моменту Mк на куті закручування dϕ
при |
навантаженні визначається площею трикутника (рис. 7в), тобто |
|||
dW = |
|
1 |
M к dϕ . Кут закручування dϕ визначається за формулою (1.11) і скла- |
|
2 |
||||
|
|
|||
де dϕ = M кdz . Підставивши значення dϕ у вираз для роботи dW , одержимо
GIp
dW = M к2dz , де Ip – полярний момент інерції при крученні. Але робота dW
2GIp
чисельно дорівнює потенційній енергії деформації dU , тобто
14