1.10.Кручення тонкостінних стержнів
Характерною геометричною рисою тонкостінних стержнів є те, що їхня товщина істотно менше інших лінійних розмірів. Тонкостінним стержнем нази-
вається такий, для якого виконується умова bmin ≥10, де bmin – мінімальний по-
δmax
перечний розмір перерізу в плані, а δmax – найбільша товщина контуру профілю
(рис. 13а). Серединна лінія профілю – це геометричне місце точок, розташованих на серединах товщин контуру профілю. Якщо серединна лінія являє собою замкнутий контур (рис. 13б), то стержень називається стержнем замкнутого (закритого) профілю (перерізу). Якщо серединна лінія являє собою незамкнутий контур, то стержень називається стержнем відкритого профілю (рис. 13в).
Рисунок 13
1.10.1.Кручення стержнів закритого профілю
Наближений розрахунок кручення таких тонкостінних стержнів заснова-
ний на гіпотезі Бредта про те, що дотичні напруження в поперечному перерізі
розподіляються по товщині стінки рівномірно і спрямовані паралельно дотич-
ній до серединної лінії контуру (рис. 13б). Дотичні напруження в будь-якій точці замкнутого профілю довільної форми з перемінною товщиною стінок визначаються за формулою Бредта:
τ = |
|
M к |
|
, |
(1.30) |
|
А |
δ |
|||
2 |
|
|
|||
28
де A* – площа, обмежена серединною лінією профілю (рис. 13б).
Найбільше напруження виникає в тому місці контуру, де товщина стінки профілю перерізу є найменшою δ(s)=δmin . Умова міцності в цьому випадку запишеться у вигляді
τmax = |
|
M к |
≤[τ]. |
(1.31) |
|
|
|
δmin |
|||
2 |
А |
|
|
||
Абсолютний кут закручування стержня довжиною l визначається за формулою
|
ϕ = |
Mк l |
∫ |
dS |
, |
|
|
|
|
(1.32) |
||
|
4 А |
2 |
|
δ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
G S |
|
|
|
|
|
|
|||
де ∫ds |
– контурний інтеграл, береться по довжині S серединної лінії контуру |
|||||||||||
S s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
профілю. Якщо товщина профілю постійна δ = const , то ∫ dS |
= |
1 |
∫dS = |
S , де |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
δ |
|
δ |
S |
δ |
S – довжина контуру серединної лінії. Тоді формула для повного кута закручування прийме вигляд:
ϕ = |
Mк l S |
. |
(1.33) |
|||
4 А |
2 |
δ G |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
1.10.1.Кручення стержнів відкритого профілю
При розрахунку стержнів відкритого профілю варто розрізняти прості і складені перерізи. Приклади простих профілів (перерізів) наведені на рис. 14.
Рисунок 14
29
Ці профілі характеризуються тим, що можуть бути розгорнуті у витягнутий прямокутник висотою S і шириною δ. Для вузького прямокутного перерізу
(рис. 15), коли bh >10, коефіцієнти α = β = 13 і моменти опору Wк та інерції Iк
запишуться як Wк =α h b2 = h 3b2 , Iк = β h b3 = h 3b3
для визначення максимальних дотичних напружень τmax , відносного θ і абсолютного ϕ кутів закручування запишуться у вигляді
τmax = |
3 M к |
; |
θ = |
3 M к |
; |
ϕ = |
3 M к l |
. |
|
|
|
||||||
|
h b2 |
|
h b3 |
|
h b3 |
|||
Епюра розподілу дотичних напружень зображена на рис. 15. По всій довжині h профілю τ =τmax , по ширині поперечного перерізу дотичні напруження змінюються за лінійним законом.
Рисунок 15
Приведеними формулами можна користуватися і для тонкостінних незамкнутих профілів з криволінійним контуром постійної товщини δ , якщо замість h підставити довжину S серединної лінії перерізу, а замість b – товщину профілю δ (рис. 14).
Для складених стержнів відкритого профілю, що складаються з декількох вузьких прямокутників різної товщини (типу швелер, кутник, двотавр) величину моменту інерції Iк при крученні можна визначити за формулою
Iк =η ∑ |
h δ 3 |
|
|
i i |
, |
(1.34) |
|
|
|||
3 |
|
|
|
де коефіцієнт η залежить від форми перерізу (для куткового – η =1; двотаврового – η =1,2 ; таврового – η =1,15 ; швелерного – η =1,12).
30
Момент опору при крученні запишеться як:
W = |
Iк |
= |
η ∑hi bi3 , |
|
|||
к |
δmax |
3 δmax |
|
а максимальні дотичні напруження визначаться як
τmax = |
M к |
= |
3 M к δmax |
. |
(1.35) |
|
|
||||
|
Wк |
η ∑hi bi3 |
|
||
Найбільші напруження в кожному елементі визначаються за формулою
τ |
i max |
= |
3 M к δi |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
η ∑hi bi3 |
|
|
|
|||||
Абсолютний кут закручування ϕ визначається як |
|
||||||||
ϕ = |
M к l |
= |
3 M к l |
. |
(1.36) |
||||
|
G η ∑hi bi3 |
||||||||
|
|
|
GIк |
|
|
||||
Приклад 5
Зіставити величини найбільших дотичних напружень і кутів закручування для сталевих стержнів довжиною l, діаметром D = 40 мм, товщиною стінки
δ =1мм для випадків відкритого (рис. 16а) і закритого (рис. 16б) профілів, на-
вантажених однаковими крутними моментами Mк.
Рисунок 16
31
Стержень відкритого профілю (рис. 16а).
Розгорнемо профіль у витягнутий прямокутник зі сторонами:
b =δ ,
h = S =π D .
Максимальні дотичні напруження обчислимо за формулою
τ1 max = M к .
Wк
Момент опору на кручення: |
|
|
|
|
|
|
W = |
h b2 |
= |
S δ 2 |
= |
π D δ 2 |
. |
|
|
|
||||
к |
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
Тоді максимальні дотичні напруження виявляються рівними
τ1 max = π3 Mδк 2 .
D
Абсолютний кут закручування обчислимо за формулою
ϕ1 = M к l .
GIк
Момент інерції на кручення: |
|
|
|
|
|
|
|
Iк = |
h b3 |
= |
S δ3 |
= |
π D δ3 |
. |
|
3 |
3 |
3 |
|||||
|
|
|
|
У цьому випадку кут закручування дорівнює
ϕ1 = |
3 M к l |
. |
|
G π D δ3 |
|||
|
|
Стержень закритого профілю (рис. 16б).
Максимальні дотичні напруження обчислимо за формулою Бредта:
32