Основы проектирования РН Куренков

2.5. Удельный импульс

Импульс тяги, развиваемый двигателем, есть интеграл от функции силы тяги R t в пределах времени его работы (от нуля до tk )

tk

J R t dt .

0

Если сила тяги постоянна в течение какого-то времени, то импульс, развиваемый двигателем за то же время, составляет

J R t .

Удельный импульс определяется отношением импульса к массе

Удельный импульс является одной из важнейших совместных характеристик топлива и двигателя. Размерность удельного импульса выражается в м/с:

Поскольку размерность удельного импульса такая же, как и размерность скорости (м/с), то эту характеристику еще называют услов-

но скоростью истечения газа из сопла двигателя w, то есть J уд w .

В специальной литературе, выпущенной ранее, чем была принята система СИ, использовали характеристику «удельная тяга», которая равна отношению тяги двигателя R к секундному расходу веса

топлива G :

Pуд GR .

Размерность удельной тяги выражается в секундах:

41

Связь между удельным импульсом и удельной тягой определяется следующим очевидным соотношением:

где g0 - ускорение земного тяготения на поверхности Земли.

Как было отмечено в работе [13], удельную тягу в некоторых источниках иногда называют удельным импульсом. Путаница в терминологии может привести к проектным ошибкам. Поэтому при работе со старой литературой прежде всего необходимо обращать внимание на размерность удельных импульсов.

Удельный импульс топлива и двигателя зависит от высоты полета летательного аппарата. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

2.6.Влияние атмосферного давления на тягу ракетного двигателя

Тяга двигателя с учетом сил, возникающих на срезе сопла двигателя от давления атмосферы, составляет

где Rп – тяга двигателя в пустоте;

p0 - давление на поверхности Земли; Fc - площадь среза сопла двигателя;

p y - давление на высоте y .

Здесь учтен тот факт, что давление атмосферы через сверхзвуковую струю газов на срез сопла двигателя не передается.

Учитывая, что произведение площади сопла двигателя на давление атмосферы на уровне поверхности Земли равно разности тяги двигателя в пустоте и тяги двигателя на уровне поверхности Земли,

то есть Fc p0 Rп R0 , где R0 – тяга двигателя у поверхности Земли, выражение (2.14) можно представить в следующем виде:

42

Можно условно считать, что от высоты полета зависит скорость истечения газов из сопла двигателя (или удельный импульс):

ности Земли), то тяга двигателя составит R R0 , если p y 0 (в пустоте), то R kв R0 .

2.7. Скорость ракеты с учетом реальных условий полета

Примем следующие допущения.

1. Ускорение земного тяготения для высот выведения КА на низкие орбиты (до 200 км) не зависит от высоты полета, то есть

gg0 , где g0 - ускорение на поверхности Земли.

2.Поле тяготения для первой ступени ракеты – плоскопараллельное, то есть влиянием кривизны поверхности Земли на участке полёта первой ступени ракеты пренебрегаем.

3.Угол атаки (в пределах 0…5°) слабо влияет на скорость по-

лета ракеты, то есть cos 1.

43

Составим уравнения движения ракеты как материальной точки с учетом принятых допущений. Схема сил, действующих на ракету на активном участке траектории, представлена на рис. 2.6.

На этой схеме введены следующие обозначения: Oxy – система координат; R - сила тяги двигателя; X a - сила лобового сопротивления; G - сила земного притяжения ракеты; - угол наклона траектории ракеты к линии горизонта; V - вектор скорости ракеты.

Рис. 2.6. Схема для составления дифференциальных уравнений движения ракеты на активном участке траектории

Дифференциальные уравнения движения с учетом принятых допущений будут следующими:

Для решения этой системы уравнений не хватает уравнения, определяющего угол наклона траектории в каждый момент времени полета ракеты. Поэтому будем предполагать, что при полете ракеты

44

реализуется типовая программа изменения угла наклона траектории, которая будет рассмотрена подробнее позже.

Считаем, что масса ракеты изменяется по следующему закону:

где m - расход топлива в единицу времени (секундный расход топ-

где cx - коэффициент лобового сопротивления ракеты; q - скоростной напор;

Fм - площадь миделя ракеты.

Проинтегрируем первое из уравнений системы (2.16) с учетом выражений (2.14), (2.17) и (2.18) [19]:

где tk - время окончания работы двигателей ракеты.

Спомощью этого выражения можно рассчитать скорость ракеты

кмоменту времени tk в условиях полета, близкиx к реальным.

2.8. Типовая приближенно-оптимальная программа изменения угла наклона траектории ракеты

Программу изменения угла наклона траектории первой ступени ракеты выбирают, исходя из следующих принятых ограничений [10, 11, 15, 19, 22].

45

1. Старт ракеты-носителя - вертикальный (по соображениям минимизации затрат массы конструкции корпуса ракеты на реализацию свойств прочности этого корпуса).

Продолжительность этого участка (0…tр) определяется достижением такой скорости ракеты, при которой возможен разворот ракеты с помощью аэродинамических сил (tр – время начала разворота). Из статистики такая скорость составляет V1 = 25…50 м/с. Угол атаки на этом участке до разворота ракеты должен быть равным нулю

t 0 .

2.Закон изменения угла наклона траектории t - непрерыв-

ный. Кроме того, непрерывными также должны быть угловые скорости t изменения этого угла. Причем угловые ускорения t ог-

раничены моментом сил, который могут создать рулевые органы ра- кеты-носителя.

3. При прохождении околозвукового диапазона скоростей (M = 0,8…1,2) угол атаки также равен нулю t 0 . Это ограниче-

ние связано с резким изменением производных от коэффициентов подъемной силы по углу атаки при прохождении через скорость звука и, следовательно, с резким изменением подъемной силы.

4. Сверхзвуковой диапазон скоростей в диапазоне чисел Маха M = 1,2…2,0, который соответствует прохождению ракетой максимального скоростного напора примерно на высотах 10..12 км, ракета

также должна проходить при углах атаки, близких к нулю t 0 .

Это ограничение также связано с ограничениями по несущей способности корпуса ракеты по прочности (иначе корпус ракеты необходимо делать более прочным и, следовательно, более тяжелым).

5. Отделение ракетных блоков (разделение ступеней ракеты) и сброс головного обтекателя, с целью обеспечения надежного (безударного) отделения, должны производиться при малых скоростных напорах. Практически это ограничение приводит к тому, что разделение первой и второй ступеней должно происходить на высоте не менее 50 км.

46

Описание типовой приближенно-оптимальной программы изменения угла наклона траектории первой ступени РН приведено ниже.

1. Вертикальный участок. На этом участке угол атаки равен нулю, а угол наклона траектории равен t 90 . Этот участок конча-

ется при достижении ракетой скорости V1 = 50 м/с (соответствующее время полета tр).

2. Участок начального и гравитационного разворота РН по плавной параболической кривой с учетом того, что в конце работы первой ступени угол наклона траектории должен быть равен некоторому значению, которое является оптимальным для начала работы второй ступени ракеты. Функция изменения программного угла наклона траектории на участке начального и гравитационного разворота ракеты

где 1k - значение угла наклона траектории в конце работы первой ступени;

t1k - время окончания работы первой ступени ракеты; t p - время начала разворота первой ступени ракеты;

t - текущее время полета первой ступени ракеты.

Замечаем, что при t t p угол наклона траектории равен 90 гра-

дусам, tp 2 , а при t t1k этот угол становится равным углу наклона траектории в конце полета первой ступени, t1k 1k .

График этой зависимости представлен на рис. 2.7 в пределах времени полета ракеты от t p до t1k .

Угол наклона траектории на участке полета второй ступени на интервале времени полета ракеты t1k t t2k , где t2k - время окончания полета второй ступени, изменяется по линейному закону от

47

где 2k - значение угла наклона траектории в конце работы второй ступени;

t2k - время окончания полета второй ступени.

Рис. 2.7. График изменения программного угла наклона траектории для типовой приближенно-оптимальной траектории РН

Замечаем, что при t t1k угол наклона траектории равен конеч-

ному углу в конце работы первой ступени t1k 1k , а при t t2k этот угол становится равным углу наклона траектории в конце

полета второй ступени t2k 2k .

Для двухступенчатой ракеты конечный угол наклона траектории второй ступени, если вывод полезной нагрузки осуществляется на

круговую орбиту, должен быть равным нулю 2k 0 . Тогда из выражения (2.21), в частности, можно получить

48

Программа изменения угла наклона траектории на участке полета третьей ступени на интервале времени полета ракеты

t2к t t3к , где t3k - время окончания полета третьей ступени, также должна соответствовать линейному закону от угла наклона траек-

В частности, для трехступенчатой ракеты, если вывод полезной нагрузки осуществляется на круговую орбиту, конечный угол накло-

на траектории должен быть равным нулю 3k 0 и формулу (2.22),

по аналогии со случаем с двухступенчатой ракетой, можно привести к следующему виду:

t3k t2k

Следует также отметить, что в приведенной приближеннооптимальной программе изменения угла наклона траектории отсутствуют участки "выдерживания" перед разделением ступеней, так как они слабо влияют на результирующую скорость ракеты.

Параметры 1k и 2k считаются варьируемыми при решении оп-

тимизационной задачи по выбору программы угла наклона траектории. В первом приближении для двухступенчатой ракеты можно

На последующих этапах проектирования ракеты-носителя оптимизируется уже не программа наклона траектории, а программа изменения угла тангажа с учетом изменения углов атаки при управлении ракетой.

Следует отметить, что в приведенных выше рассуждениях нигде не использовались стартовая масса ракеты или масса полезной нагрузки, так как оптимальная программа изменения угла наклона траектории нечувствительна к этим параметрам. В этой связи уместно

49

говорить о семействе подобных ракет-носителей, запускаемых по типовой приближенно-оптимальной траектории.

2.9. Уравнения движения РН для поверочных расчётов

Рассмотренная выше система уравнений движения РН (2.16) предназначена для выделения и анализа основных проектных характеристик. В уравнения этой системы входят углы наклона траектории, которые изменяются во времени. Наименьшие потери скорости РН будут тогда, когда ракета движется по оптимальной траектории.

Однако проблема состоит в том, что оптимальная траектория не всегда может быть реализована с конкретными характеристиками тяги двигателей и управляющих органов. При недостаточной силе тяги двигателей ракета вообще может не выйти на орбиту. Поэтому необходимы поверочные расчёты характеристик движения РН.

Для реализации оптимальной программы изменения угла наклона траектории в процессе вывода РН на заданную орбиту необходимо управлять ракетой. Управление РН, как правило, реализуется с помощью программы изменения угла тангажа (или изменения угла атаки) и циклограммы изменения силы тяги двигателей. Поэтому для поверочных расчётов в уравнения движения должны входить именно эти параметры.

Уравнения движения РН, которые учитывают достаточно полный набор основных факторов, влияющих на параметры движения РН, известны и представлены, например, в работах [11, 57]. Однако на начальных этапах проектирования многие конструктивные характеристики ракеты и двигателей либо вовсе неизвестны, либо известны весьма приближенно. Из-за отсутствия точных сведений о силах и моментах, действующих на ракету, о характеристиках автомата стабилизации, циклограммах работы двигателей и т.п. можно ограничиться точностью по скорости и высоте полета, характеризуемой ошибкой в 3—5% [11].

Чтобы обеспечить такую точность, используют упрощенные уравнения движения ракеты на активном участке, в которых отброшены или усреднены члены уравнений, мало влияющие на высоту и скорость полёта. На начальном этапе проектирования ракеты допус-

50