Добавил:

MrKOT1212 ikot.chulakov@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

Основы устройства ракет и космических аппаратов

Файл:

Основы проектирования РН Куренков

.pdf

Скачиваний:

735

Добавлен:

12.07.2020

Размер:

10.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4517 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Анализируя выражения (8.18) и (8.19), приходим к выводу, что для выполнения условия оптимальности при одинаковых значениях конструктивных характеристик ракетных блоков первой и второй

ступеней ракеты, то есть при условии s1 s2

s (а также при

условии, что значения удельных импульсов топлива и двигателей первой и второй ступеней ракеты-носителя одинаковы), числа Циолковского первой и второй ступеней ракеты должны быть равны.

8.3. Постановка и решение задач оптимального распределения массы ракеты-носителя по блокам численными методами

Рассмотренный выше метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет получить в аналитическом виде решения задач оптимального распределения масс по блокам ракеты только для схемы с последовательным соединением ракетных блоков и при равных удельных импульсах топлива на всех ступенях ракеты.

Численные методы оптимизации позволяют находить оптимальное распределение масс по блокам ракеты при различных схемах соединения и различных удельных импульсах ракетного топлива.

Рассмотрим постановки задач математического программирования для численного их решения применительно к следующим схемам соединения ступеней ракеты:

-с последовательным соединением (так называемая схема "тандем");

-с параллельным соединением без перелива топлива из одних ракетных блоков в другие (схема «пакет без перелива»);

-с параллельным соединением и переливом топлива из одних ракетных блоков в другие (схема "пакет с переливом");

-с параллельным соединением ракетных блоков первой и второй ступеней и последовательным соединением ракетных блоков второй

итретьей ступеней (так называемый "трехступенчатый пакет") без перелива и с переливом топлива;

-с параллельным соединением ракетных блоков первой, второй

итретьей ступеней и последовательным соединением ракетных блоков третьей и четвертой ступеней без перелива топлива;

161

- схема "трехступенчатый пакет» с дополнительными
стартовыми ускорителями.
8.3.1. Схема с последовательным соединением ракетных блоков
Постановка задачи
Расчетная схема представлена на рис. 8.1.
Необходимо отыскать такое распределение масс по ступеням ра-
кеты-носителя, при которых стартовая масса ракеты является мини-
мальной при заданной массе полезной нагрузки. Такая постановка
задачи будет равносильна следующей постановке: необходимо оты-
		скать такое распределение масс по ра-
		кетным блокам, при которых обеспечи-
m	mK 3	вается		минимальное	значение относи-
ПН
		тельной массы полезной нагрузки (при
mБ 3	m	заданной массе полезной нагрузки).
	Т 3
		Математическая			формулировка за-
	mK 2	дачи	математического			программирова-
	mK 2	ния в этом случае записывается следую-
mБ 2		ния в этом случае записывается следую-
mБ 2	mТ 2	щим образом:
		щим образом:
			p	min ,		(8.20)
			0	x H

mK 1

где p0 -

относительная масса полезной

нагрузки;

mБ1

H –

множество допустимых значе-

mТ 1

ний варьируемых переменных x.

Напомним, что множество допусти-

мых значений x обычно задается в виде

а) xj min x j x j max ;

j 1, m

(8.21)

и (или) в виде функций ограничений:

б) qk xi 0

k 1, p .

(8.22)

Рис. 8.1. Схема "тандем"

Для того чтобы получить целевую функцию и функции ограничений в полной формулировке, проведем некоторые математические выкладки.

162

В качестве исходной зависимости используем отношение стартовой массы ракеты к массе полезной нагрузки:

p	m0	.	(8.23)

0	mПН

Стартовую массу ракеты-носителя можно представить в виде следующей суммы:

			N
m0	mПН mБ i			,		(8.24)
			i 1
где mПН	- масса полезной нагрузки;
mБ i - масса i-го блока РН;
N – количество ракетных блоков или ступеней РН.
Подставляя выражение (8.24) в (8.23), получим
		m	N	mБ i
p0		0	1		.	(8.25)
p0		mПН	1	mПН	.	(8.25)
		mПН	i 1	mПН

Массу блока попытаемся выразить из следующего известного соотношения для конструктивной характеристики ракетных блоков:

si	mБ i		,
	mБ i	mT i

где mT i - масса топлива i-го ракетного блока.

Решая это уравнение относительно mБ i , получим

mБ i si mT i . si 1

Подставляя (8.27) в (8.25), получим

	m	N	s	mT i
p0	0	1			.
p0	mПН	1	s 1	mПН	.
	mПН	i 1	s 1	mПН

Введем обозначение

xi mT i mПН

и приведем выражение (8.28) к виду

(8.26)

(8.27)

(8.28)

(8.29)

163

	m0	N	s
p0		1		xi .	(8.30)
	mПН		s 1
		i 1

Таким образом, мы получили целевую функцию (см. выражение

(8.20)).

Математическая формулировка задачи будет следующей:

p xi min;

i 1, n;

(8.31)

x j H

или в развернутом виде

min;

i 1, n .

(8.32)

(s 1)

i 1

Получим выражения для ограничений на переменные xi H на

основе следующих рассуждений.

Функция ограничений в общем виде выражается формулой (8.9):

V потр w ln z		w ln z	2	... 0 .	(8.33)
X	1 1	2	2

Однако числа Циолковского в этой функции необходимо выразить через параметры xi . Проделаем это.

Поскольку число Циолковского есть отношение начальной массы ступени к массе ступени после выработки топлива, то можно с учетом (8.30) и (8.29) записать:

m01

mПН

(8.34)

mТ 1

p x

Т 1

0 1

mПН

Окончательно с учетом (8.30) получаем

i 1

(8.35)

xi x1

i 1 si

Также можно выразить через параметры xi число Циолковского для второй ступени:

164

			N			si
	1					si		xi
	1			si		1		xi
z2		i 2		si		1			.	(8.36)
z2	N				si				.	(8.36)
	1				si		xi x2
	1		si			1	xi x2
	i 2		si			1

Аналогично можно выразить через параметры xi числа Циол-

ковского для третьей и последующих ступеней ракеты, если они имеются.

Подставляя выражения (8.35) и (8.36) в (8.33), получаем функцию ограничений в виде

V потр w ln

i 1

xi x1

i 1 si 1

w ln

i 2

... 0 . (8.37)

i 2

Кроме того, следует составить функции ограничений, исходя из реализуемых в настоящее время значений чисел Циолковского (по статистике) или из физических соображений. Это могут быть, напри-

мер, следующие ограничения:
z1 1,0 ;	z1 10 ; z2 1 ;	z2 10 ;	Z z1 z2 z3 30 .	(8.38)

Подставляя (8.35) и (8.36) в каждое из выражений (8.38), можно получить несколько функций ограничений (которые здесь приводятся в общем виде):

q2 (xi ) 0; q3 (xi ) 0; q4 (xi ) 0; q5 (xi ) 0; q6 (xi ) 0 . (8.39)

Решение задачи

Задача математического программирования (8.32), с учётом ограничений (8.37) и (8.39), решается каким-либо численным методом.

165

В результате определяются оптимальные значения параметров x*i i 1, N .

Затем рассчитываются следующие массы составных частей раке- ты-носителя (в последовательности и по формулам, приведенным ниже):

- масса топлива i-го ракетного блока (из формулы (8.29)):

mТ i mПН xi ;

- масса i-го ракетного блока (см. формулу (8.27)):

mБ i	si
		mТ i	;
	si 1

-масса конструкции i-го ракетного блока: mK i mБ i mT i ;

-стартовая масса ракеты-носителя (см. формулу (8.24)):

m0 mПН mБ i .

i 1

(8.40)

(8.41)

(8.42)

(8.43)

Полученные массы будут оптимальными.

8.3.2. Схема с параллельным соединением ракетных блоков типа "пакет без перелива"

Расчётная схема представлена на рис. 8.2.

Для этой схемы целевая функция (8.30) не изменится, однако другой будет функция ограничений:

V потр w	p	ln z w ln z	2	0 ,	(8.44)
X	p	1 2	2

где wp - удельный импульс, представляющий собой осреднённый импульс от двигателей первой и второй ступеней;

w2 - удельный импульс второй ступени.

Поскольку при пакетной схеме на первой ступени работают двигатели и первого и второго блоков одновременно, то удельный импульс ступеней можно выразить следующим образом:

166

mПН

mK 2

		mБ 2
	mТ 1	mБ 2
	mТ 1
mБ1		mТ 2
		mТ 2

mK 1

mТ 2

R1		R2

Рис. 8.2. Пакет без перелива

Без перелив wp R1 R2 , m1 m2

(8.45)

где R1 и R 2 - силы тяги первой и второй ступеней;

m1 и m2 - расходы топлива в единицу времени на первой и второй ступенях ракеты.

Учитывая, что w Rm (или m Rw ), получаем

wp	R1	R2		.	(8.46)
wp				.	(8.46)
	R1		R2
	w		w
	w		w
	1		2

Введем для пакетной схемы дополнительный проектный параметр

R2 R1 , который представляет со-

бой отношение силы тяги ракетного двигателя второй ступени к силе тяги ракетного двигателя первой ступени.

С учётом этого параметра приводим (8.46) к выражению

		R1			R2
			1			R		1		w w	1
			1		R	R		1		w w	1
wp				1			1			1 2		.	(8.47)
wp	R1		1		R2	R1		1		w2 w1		.	(8.47)
			1		R2			1		w2 w1


		w1		R1 w2			w1		w2

Для проверки данной зависимости, в частности, можно положить, что удельные импульсы первой и второй ступеней

одинаковы ( w1 w2 ), и получить тождество w w1 w2 .

Число Циолковского первой ступени будет находиться с учетом израсходованной массы топлива из второго ракетного блока:

167

m01

m ПН

, (8.48)

m01 mТ 1 mT 2

m01

mТ 1

mT 2

ПН

m ПН

где mT 2 - масса топлива, израсходованная из баков второй ступени

за время работы первой ступени.

С учетом (8.30) и (8.29) получаем

		2		si
		1				xi
		1	si		1	xi
z1		i 1	si		1			.	(8.49)
z1		si						.	(8.49)
	2	si					mT 2
	1			xi	x1
	1	si 1		xi	x1		m ПН
	i 1	si 1					m ПН
Выразим массу топлива mТ 2 через параметр									x2 . Для этого

проведем выкладки, приведенные ниже:

mT 2 m2 t1 ,

(8.50)

где t1 – время работы двигателей первой ступени.

Это время, в свою очередь, можно определить, поделив массу топлива на расход топлива в единицу времени, то есть

t	mT 1	.	(8.51)

1	m1

Тогда формула (8.50) запишется следующим образом:

m t m

. (8.52)

T 2

2 1

2 m w

Подставляя (8.52) в (8.49) с учетом (8.29), получаем

si 1

i 1

(8.53)

xi x1

1 x1

i 1

168

Число Циолковского второй ступени будет находиться также с учетом израсходованной массы топлива из второго ракетного блока, то есть

m02

mT 2

m ПН

T 2

m02

mT 2

p x

m ПН

w1 x

s2 1

(8.54)

x2 x2

s2 1

Формулы (8.53) и (8.54) подставляем в функцию ограничений (8.44) и получаем функцию ограничений в следующем виде:

w1w2

si 1

потр

i 1

w w

xi x1

si 1

i 1

s 2

1 x1

s 2 1

w ln

0 .

(8.55)

s 2

s 2 1

Следует отметить, что для пакетной схемы необходимо составить еще одну функцию ограничений. Эта функция отражает то, что начальное значение перегрузки боковых ракетных блоков (если их рассматривать как самостоятельные ракеты) должно быть больше значения перегрузки центрального блока (если ее также рассматривать как самостоятельную ракету без боковых блоков), так как боковые блоки предназначены дополнительно ускорять центральный блок ракеты-носителя. Выражаясь образным языком, можно сказать, что в противном случае не имеет смысла центральному блоку "тащить" боковые блоки за собой.

169

Это ограничение можно выразить следующим образом:

q	2	n*		n*	0 ,	(8.56)
	2		x02	x01
где n*			- начальная перегрузка второй			ступени, если бы не было
x02

первой ступени;

n*x01 - начальная перегрузка блока первой ступени (как самостоятельной ракеты) без учета влияния второй ступени.

Выразим значения перегрузок в этой формуле через параметры xi с

учетом выражения (8.27):

n*x01

m ПН

;

(8.57)

mБ1

Б1

m ПН

Т 1

s1 1 m ПН

s1 1

m ПН

nx02

. (8.58)

m ПН mБ 2 g0

ПН

m Б 2

ПН

Подставляем эти выражения в (8.56):

m ПН

0 .

s1 1

2 1

После сокращения получаем

0 .

(8.59)

решается

задача

математического

программирования

(8.32) с учетом (8.55) и (8.59), то есть определяются оптимальные значения x*i i 1, N .

Затем находятся массы топлива и блоков по тем же зависимостям и в той же последовательности, что и при последовательном соединении ступеней (см. зависимости (8.40) …(8.43)).

170

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4517 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Основы устройства ракет и космических аппаратов

#
12.07.202015.96 Mб215Основа КА Лекции Пузин.pdf
#
12.07.202010.93 Mб735Основы проектирования РН Куренков.pdf