3.2 Проектирование полосового фильтра

Техническое задание:

Синтезировать полосовой фильтр со следующими данными:

-центральная частота фильтра f₀ равна 200 кГц,

-полоса пропускания Δf=f_В-f_Н =f_CВ-f_CН=210кГц-190кГц=20кГц,

неравномерность фильтра в полосе пропускания не более 1дБ, верхняя и нижняя частоты задерживания: f_ЗВ=225кГц,

f_ЗН =175кГц,ослабление на частотах задерживания должно быть не менее 30 дБ, коэффициент передачи устройства К₀ на центральной частоте: K₀=1,аппроксимация АЧХ фильтра-по Чебышеву.

Этапы проектирования.

1. Определим порядок ФНЧ-прототипа синтезируемого полосового фильтра, предварительно воспользовавшись формулой частотного преобразования для полосового фильтра (1.9^/):

. (3.3)

Преобразование (3.3) переводит центральную частоту полосового фильтра f₀ в нуль на оси нормированных частот Ω:

Ω(f₀)=0, частоту f_СВ в единицу:

,

аналогично

.

Определим значения нормированных частот Ω соответствующих частотам задерживания f_ЗВ и f_ЗН в предположении симметрии этих частот и частот f_СВ, f_CН относительно центральной частоты f₀, т.е. полагая, что центральная частота является среднегеометрической величиной относительно частот среза и задерживания, что обычно выполняется при симметрии АЧХ фильтра относительно частоты f₀: .Тогда:

Аналогично для получим:

.

Таким образом, частотное преобразование (3.3) позволяет провести проектирование и последующий расчет ПФ с помощью методики проектированию его ФНЧ- прототипа с нормированными частотами среза и задерживания равными соответственно: и . Согласно техническому заданию неравномерность в полосе пропускания не должна превышать 1 дБ, а на частоте задерживания ослабление должно быть не менее 30 дБ. Следовательно, для определения порядка ФНЧ прототипа можем воспользоваться выражением (1.4) справедливым при аппроксимации частотной характеристики фильтра по Чебышеву. Поскольку требования ТЗ к неравномерности АЧХ в полосе пропускания в 1 дБ и ослаблению на частотах задерживания –30дБ совпадают с аналогичными требованиями первого примера - см.4.3.1-, то приходим к заключению, что порядок ФНЧ-прототипа полосового фильтра оказывается равным n=3. Следовательно, ФНЧ прототип полосового фильтра содержит одно звено первого порядка и одно звено второго порядка.

Биномиальные коэффициенты звеньев будут такими же, как и в первом примере, т.е. для звена первого порядка:

,

а для звена второго порядка:

.

Для записи операторных коэффициентов передачи звеньев полосового фильтра необходимо в звеньях прототипа:

произвести подстановку(1.9^//):

В результате такой подстановки из звена первого порядка прототипа получаем звено второго порядка полосового фильтра:

, (3.4)

где, .

Поскольку a₀(1)=0,494 и ω₀=2π 200 10⁺³ рад/с, разность угловых частот: Δω (1)=2π(f_CВ-f_CH) рад/с, то параметры такого звена будут:

q_P(1)=20,24, *10³ рад/с

рад/с.

ω_P²=1,57 *10⁺¹² (рад/с)².

Для записи выражения частотной характеристики этого звена необходимо в (3.4) заменить аргумент p на p=jω и определить его модуль К₁(jω).

Аналогичная подстановка (1.9^//) в выражении переводит звено второго порядка прототипа в звено четвертого порядка полосового фильтра:

, (3.5)

где a₀=a₀(2)=0,997, a₁=a₁(2)=0,494.

Знаменатель последнего выражения записывается с учетом (1.12^/).Поэтому звено четвертого порядка, как было сказано ранее, может быть выполнено в виде двух последовательно соединенных звеньев второго порядка. Для решения такой задачи необходимо в (1.12^/) определить значения центральных частот ω₀₁=ω₀/α и ω₀₂=ω₀α звеньев второго порядка, сдвинутых относительно центральной частоты ω₀ проектируемого полосового фильтра, а также параметр:

, который определяет добротность этих звеньев. Согласно (1.13) для этого необходимо вычислить вспомогательные параметры γ₁₂ и β₁₂

., где a₀=a₀(2), a₁=a₁(2)

Используя значения коэффициентов :

α₀=α₀(2)=0,997,α₁=α₁(2)=0,494 и учитывая, что

получим: .Отрицательная величина γ₂ приводит к комплексным значениям коэффициента β и поэтому с учетом условий физической реализации звеньев параметр γ₂ должен быть далее исключен. Далее, учитывая только величину параметра γ₁, получаем два положительные значения коэффициента β:

и соответственно два значения коэффициента a:

.

Оба коэффициента α₁ и α₂ оказываются равноправными при последующих расчетах, т.к. приводят практически к одинаковым значениям добротности звеньев второго порядка:

.

Аналогичная ситуация получается и в сдвиге частот ω₀₁ и ω₀₂ относительно центральной частоты ω₀:

Поэтому, если выбрать значение α₁=1,049, то первое звено второго порядка будет иметь центральную частоту ω₀₁= 0,953ω₀ ниже частоты ω₀, а второе звено второго порядка выше –ω₀₂=1,049ω₀ центральной частоты ω₀ полосового фильтра. Если же выбрать значение α₂=0,953, то центральные частоты указанных звеньев меняются местами- первое звено будет иметь центральную частоту ω₀₁=1,049ω₀ выше частоты ω₀, второе звено ω₀₂=0,963ω₀-ниже частоты ω₀ полосового фильтра.

Вследствие этого достаточно ограничиться только одним значением коэффициента α,выбрав, например, α=α₁=1,049.

Учитывая (3.4), (3.5), а также представляя знаменатель (3.5) в виде (1.12^/), запишем выражение операторного коэффициента передачи проектируемого полосового фильтра:

(3.6)

Таким образом, все параметры выражения (1.12^/) определены. Подставляя в (3.6) p=jω и записывая его модуль, получим запись частотной характеристики проектируемого полосового фильтра К_Ф(ω) в виде:

где:q_P(1)=20,24, ,

a₀(2)=0,997, Δω=6,28 *20 10⁺³ рад/с, ω₀₁=0,953ω₀, ω₀₂=1,049ω₀, ω₀=12,56 10⁺⁵ рад/с, ,ω=2πf.

Ввиду достаточно громоздкой структуры последнего выражения при расчете частотной характеристики фильтра целесообразно использовать ЭВМ и указанные выше прикладные программы. На рис.3.2 приведены графики АЧХ и ФЧХ первого звена полосового фильтра, которые были определены с помощью программы Mathlab 6.5 при использовании первого сомножителя операторного коэффициента передачи (3.6)- звена второго порядка. На рис.3.3 –приведены аналогичные характеристики второго сомножителя (3.6)-звена четвертого порядка. На рис.3.4 изображены графики результирующей частотной и фазо-частотной характеристики полосового фильтра при последовательном включении этих звеньев, т.е. при использовании полного выражения операторного коэффициента передачи фильтра (3.6).

f₀=200 кГц

Рис.3.2

По оси абсцисс на рис.3.2, 3.3, 3.4 в логарифмическом масштабе отложена угловая частота ω размерностью рад/с, по оси ординат АЧХ значения в децибелах модуля комплексных коэффициентов передачи звеньев и фильтров. Из рис.3.4 с использованием навигатора программы Mathlab 6.5 получено, что в полосе пропускания 190-210 кГц неравномерность АЧХ фильтра на превышает 1 дБ, а затухание сигнала на частотах задерживания 175 и 225 кГц составляет около 30 дБ. Следовательно, спроектированный полосовой фильтр удовлетворяет требованиям технического задания.

Поскольку звенья фильтра имеют значения q_P(1)=20,65, q_P(2)=40,65- более двадцати-, то при их схемной реализации необходимо ориентироваться на использование высокодобротных звенев полосовых фильтров приведенных во втором разделе.

Рис.3.3

Рис.3.4

Поскольку звенья полосно-пропускающего фильтра имеют значения q_P(1)=20,65, q_P(2)=40,65- более двадцати, то при их схемной реализации необходимо ориентироваться на использование высокодобротных звенев полосовых фильтров, приведенных, например, во втором разделе пособия.