1.В Проектирование полосовых и заграждающих фильтров

Проектирование полосовых фильтров

Частотная характеристика полосового фильтра при чебышевской аппроксимации АЧХ приведена на рис.1.3.

Проектирование полосовых фильтров также может быть проведено с использованием метода ФНЧ прототипа. Частотное преобразование

, (1.9^/) где, ω₀-центральная частота полосового фильтра, переводит ω₀в нуль нормированной частотыΩ=0, верхнюю частоту среза ω_СВв величинуΩ_В=+1 нормированной частоты, а нижнюю частоту срезаω_СНв нормированную частоту

Ω_Н=-1. Аналогичная трансформация происходит и с частотами задерживанияω_ЗВ иω_ЗН, превращая их в нормированные частотыΩ_ЗВиΩ_ЗН. После указанного частотного преобразования, с использованием требований к аппроксимации АЧХ полосового фильтра и её неравномерности в полосе пропускания и ослабления в полосе задерживания, определяются: порядокnфильтра его ФНЧ прототипа, число и характер звеньев и биномиальные коэффициенты каждого звена прототипа, как было описано выше, при проектировании фильтров нижних частот. Записав операторные выражения звеньев прототипа, которые имеют вид (1.5) и (1.6),переходят к определению операторных коэффициентов звеньев полосового фильтра с помощью подстановки:

, где(1.9^//)

--нормированная частотная расстройка. При указанном преобразовании (1.9^//) нормированных комплексных переменных звено первого порядка прототипа превращается в звено второго порядка полосового фильтра с операторным коэффициентом передачи

, (1.10)

а ФНЧ звено второго порядка прототипа превращается в звено четвертого порядка полосового фильтра:

. (1.11)

Таким образом, преобразование звеньев ФНЧ прототипа в звенья полосового фильтра, приводит к удвоению их порядка. При переходе в (1.10) к ненормированной комплексной переменнойpс помощью подстановкиполучаем

, (1.10^/)

где.

При переходе в (1.11) к ненормированной комплексной переменной с помощью той же подстановки:получаем:

(1.12)

Последнее выражение можно представить в виде произведения двух передаточных функций второго порядка, что конструктивно соответствует последовательному соединению двух полосно-пропускающих звеньев второго порядка, которые имеют небольшой сдвиг частотных характеристик. Центральные частоты каждого из этих звеньев определяются из соотношения:

,

что означает их сдвиг влево и вправо относительно центральной частоты ω₀полосового фильтра. Знаменатель выражения (1.12) записывается при этом в виде:

(1.12^/) где-добротность звеньев.

Параметр α может быть найден из уравнения:

.

Это уравнение решается либо численным методом, либо с помощью следующих выражений:

,

(1.13)

В (1.13) при расчетах учитываются только положительные и действительные значения γ, βиα, что соответствует физической реализуемости звеньев фильтра. Расчет АЧХ полосовых фильтров требует значительно большего числа вычислений с использованием достаточно громоздких выражений. Поэтому при проверке правильности вычислений параметровα, β, γ,и расчете частотных характеристик фильтра рекомендуется применять ЭВМ и прикладные программы, например, «Mathcad», «Mathlab», и др.

При проектировании заграждающих (режекторных) фильтров с использованием метода ФНЧ прототипа в выражения операторных передаточных функций звеньев прототипа вводится подстановка:

, (1.14) гдеω_З- центральная частота заграждения режекторного фильтра.

Переход к нормированным частотам звеньев осуществляется с помощью подстановки:

. (1.15) В результате подстановок звенья первого порядка ФНЧ прототипа превращаются в звенья второго порядка с образованием нулей второй кратности на частоте заграждения, а звенья второго порядка прототипа превращаются в звеньях четвертого порядка с образованием нулей второй кратности также на частоте заграждения. Процедура разложения звеньев четвертого порядка на два звена второго порядка аналогична той, которая была приведена при обсуждении проектирования полосовых фильтров. Заграждающие фильтры можно также синтезировать путем параллельного соединения фильтров верхних и нижних частот с последующим сложением выходных сигналов таких фильтров в сумматоре. Такой метод построения заграждающих фильтров используется тогда, когда требуется выполнить независимую настройку его составляющих. Дополнительные сведения по проектированию активных фильтров можно найти в многочисленной литературе, например, в монографии [1].

В табл.1 приведены значения биномиальных коэффициентов звеньев ФНЧ прототипа при .Значения этих коэффициентов при n=10 приведены, например, в [1].

В табл. 2 приведены формулы перехода от угловой частоты ω и комплексной переменной р к нормированной частоте Ω и нормированной комплексной переменной Р при проектировании активных фильтров с использованием описанного выше метода ФНЧ-прототипа.

Таблица. 2

Тип фильтра	Преобразование частоты	Преобразование комплексной переменной
ФНЧ	Ω=ω/ωCP	P=p/ωCP
ФВЧ	Ω=ωCP/ω	P=ωCP/p
ПФ	Ω=(ω-ω20/ω)/Δω, ω20=ωBωH, Δω=ωB-ωH	P=(p2+ω20)/pΔω
ЗФ	Ω=Δω/[(ω2З/ω)-ω], ω2З=ωB ωH, Δω=ωB-ωH	P=pΔω/(p2+ω2З)

В табл.2:ω₀ и ω_З- центральные угловые частоты полосового и заграждающего фильтров, Δω-их полоса пропускания или задерживания, ω_В и ω_Н- граничные частоты этих фильтров, Pи р -нормированные и ненормированные комплексные переменные.

Следует обратить внимание на особенность преобразования частот при переходе к нормированной частоте прототипа заграждающего фильтра. При ω=ω_В иω=ω_Н имеем Ω(ω_В)=-1 Ω(ω_Н)=+1, однако приω=ω_З центральная нормированная частота заграждающего фильтра будет Ω(ω_З)=∞ в то время, как для полосового фильтра Ω(ω₀)=0.