2.Схемные реализации и расчетные соотношения некоторых типовых звеньев активных фильтров первого и второго порядка

При выборе типа звена фильтра следует ориентироваться на его добротность , которая была определена выше для звеньев ФНЧ, ФВЧ и полосовых фильтров. Низкодобротным функциональным звеном считается такое, у которого≤2, среднедобротным-, когданаходится в интервалеи высокодобротным, когда

Низкодобротные звенья первого порядка

1. ФНЧ 1-го порядка:

Рис.2.1

ω_CP=1/R₁C₁

K₀= -R₂/R₁

2. ФВЧ 1-го порядка

Низкодобротные звенья второго порядка

3. ФНЧ

Рис.2.3

4.ФВЧ

.

5.Полосно-пропускающий фильтр( ППФ)

Рис.2.5

6. ППФ

Рис.2.6

.

Среднедобротные звенья 2-го порядка

7. ФНЧ

Рис.2.7

8. ФВЧ

Рис.2.8

9. ППФ

Рис.2.9

10. ППФ

Рис2.10

Высокодобротные звенья

При создании высокодобротных звеньев необходимо по крайней мере два операционных усилителя для реализации в каждом из них функции фильтра второго порядка. Принимая во внимание тот факт, что активная цепь второго порядка может быть реализована на двух ОУ, иногда желательно получить несколько функций (например, нижних частот и полосно-пропускающую) от того же самого функционального узла. Сами фильтры, принадлежащие к высокодобротным, обладают, как правило, более низкой чувствительностью к изменению пассивных и активных элементов, чем их аналоги с одним операционным усилителем. Кроме того, методика их функциональной настройки обычно проще, поскольку частоту полюса и его добротность часто можно настраивать независимо друг от друга. Реализация высокодобротных схем может осуществляться как при параллельном, так и последовательном соединении звеньев с операционными усилителями. Ниже приводятся функциональные схемы высокодобротных звеньев при последовательном соединении ОУ, поскольку такое соединение гарантирует малое выходное сопротивление операционного усилителя и его высокое входное сопротивление, что оказывается более удобным при их практической реализации и настройке.

11. Фнч

12. ФВЧ

Рис.2.12

13. ППФ

Рис2.13

14. Полосно-заграждающий фильтр (ПЗФ)

Комплексный коэффициент передачи звена ПЗФ приведенного на рис.2.14:

Большое число звеньев первого и второго порядков активных фильтров приведено в [1]и [2]. В [1],например, представлен весь комплекс вопросов практического проектирования активных фильтров, начиная от аппроксимации заданной характеристики и оптимального расчета величин элементов до особенностей настройки его звеньев.

3.Примеры проектирования и расчета

активных фильтров

С использованием материалов раздела 1 и 2 приведем два примера проектирования и расчета фильтров, в которых представлены основные этапы синтеза таких устройств.

3.1. Проектирование фильтра нижних частот

Техническое задание: спроектировать ФНЧ со следующими данными:

частота среза f_C=10кГц, частота задерживания f_З=25 кГц, ослабление сигнала М_З на частоте f_З должно быть не менее 30 дБ, неравномерность АЧХ в полосе пропускания не более 1 дБ,

коэффициент усиления сигналов в полосе пропускания К₀=20, аппроксимация АЧХ фильтра -по Чебышеву.

В содержание задачи проектирования и расчета фильтра входят:

-определение порядка фильтра и структуры его звеньев,

-проверка выполнения условий технического задания на частотах среза и задержания,

-выбор типа звеньев, исходя из величины их добротности,

-выбор типа операционного усилителя, входящего в звено фильтра и расчет пассивных элементов каждого звена, пстроение частотной характеристики фильтра.

Этапы проектирования.

1. Определение порядка фильтра и его структуры.

Используя выражение (1.4) найдем порядок фильтра. Согласно условиям Т З: М_З=М_МАКС=30 дБ, М_МИН=1дБ, величина нормированной частоты задержания

Ω_З=f_З/f_C=25кГц/10 кГц=2,5.

Тогда согласно (1.4) необходимый порядок фильтра при аппроксимации его АЧХ по Чебышеву будет:[n]=3. Поскольку порядок фильтра является нечетным числом n=3, то при каскадном соединении звеньев синтезируемый фильтр содержит одно звено первого порядка и одно звено второго порядка. Выражения нормированных частотных характеристик этих звеньев записываются согласно (1.7)

Из табл.1 выписываем значения биномиальных коэффициентов: коэффициент a₀ для звена первого порядка при чебышевской аппроксимации АЧХ , значении n=3, М_МАКС=30дБ и М_МИН=1дБ равен a₀ (1)=0,494, а для звена второго порядка, согласно той же таблице:

a₀ (2)=0,997 и a₁ (2)=0,496.

Следовательно,

(3.1)

Частотная характеристика синтезируемого фильтра согласно (3.1) запишется в виде произведения частотных характеристик звеньев:

(3.2)

Подставляя в(3.1) значение нормированной частоты Ω=1, получаем из (3.2):

или

20lg0,89=-0,98~1 дБ.

Подставляя в (3.2) значение Ω=2,5,получим:

или 20lg0,0359=28,89 дБ.

Следовательно, требования ТЗ на величину неравномерности АЧХ в полосе пропускания ,на частотах среза и задерживания также выполняются. Убедившись в удовлетворении требованиям ТЗ относительно частот Ω_С=1 и Ω_З=2,5, можно построить частотную характеристику фильтра в диапазоне заданных циклических частот f,для чего достаточно изменить масштаб по оси абсцисс, записав:

.

Тогда, в частности, частоте Ω=1 будет соответствовать частота f=f_С=10 кГц, частоте Ω=2,5 частота f=f_З=25кГц, частоте Ω=0 частота f=0 и Ω=∞ f=∞. Для иллюстрации в табл.3 приведены значения АЧХ фильтра в полосе пропускания для нормированных и циклических частот.

Таблица. 3

Ω	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
f кГц	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
K(Ω),K(f}	1,00	1,00	0,96	0,94	0,9	0,89	0,9	0,9	0,98	1,00	0,89

Из табл.3 следует, что в полосе пропускания неравномерность АЧХ не превышает 1дБ. Аналогичную таблицу можно составить для нормированных или циклических частот в полосе задерживания.

На рис.3.1 приведены амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики проектируемого фильтра, расчитанные с помощью программы Mathlab 6.5. Из рисунка следует, что в полосе пропускания 0-10 кГц (0-0,628 10⁺⁵ рад/с) неравномерность АЧХ не превышает 1 дБ, а затухание сигнала на частоте задерживания f_З=25 кГц (1,57* 10⁺⁵ рад/с) составляет ~30 дБ.

Рис.3.1

2. Реализация звеньев фильтра.

Для реализации звена первого порядка выберем схему № 1 -(рис.2.1),которая приведена в разделе 2. Для этой схемы имеются два расчетных соотношения:

Поскольку в ТЗ отсутствуют требования на коэффициент усиления фильтра K₀ в полосе пропускания, то выберем его, например, равным единице: K₀=1. При определении номиналов сопротивлений R₁и R₂ имеется свобода выбора. Задавая величину R₁=10 кОм, получаем номиналы сопротивления R₂ и конденсатора C₁ : R₂=10 кОм,

С₁=1/a₀ 2πf_C R₁=1/6,28 10 кГц*10 кОм= 3,2нФ.

При выборе операционного усилителя звена необходимо ориентироваться на полосу пропускания ОУ, его коэффициент усиления, входное и выходное сопротивления. Важным показателем ОУ является также коэффициент ослабления синфазного сигнала. Обычно достаточно положить, чтобы коэффициент усиления ОУ составлял не менее 10⁴, входное сопротивление более 50 кОм, а выходное сопротивление не более 100 Ом. Амплитудно-частотная характеристика ОУ в пределах частотной полосы фильтра (пропускания и задерживания) должна быть равномерной, а его усиление существенно больше величины К₀. Выбранные номиналы резисторов схем звеньев первого и второе порядков должны быть на порядок меньше входного и на порядок больше выходного сопротивления ОУ. Исходя из известных параметров входного и выходного сопротивлений большинства ОУ, приведенных, например, в справочнике [3], можно рекомендовать относительно узкий диапазон номиналов резисторов от 1 кОм до 100 кОм. Если принять эту рекомендацию, то, используя указанный справочник, можно, например, считать допустимым к применению в синтезируемом фильтре операционного усилителя типа К140УД701, который имеет следующие электрические параметры:

-входное сопротивление R_ВХ=400 кОм,

-выходное сопротивление R_ВЫХ=150 Ом

-полосу пропускания ΔF=0-800кГц,

-коэффициент усиления при разомкнутой петле ОС

К₀=2,5 10⁺⁴,

-коэффициент подавления синфазного сигнала

К_СИНФ=-72дБ.

Допустимый диапазон величин напряжения питания:

.

Для реализации звена второго порядка, входящего в синтезируемый фильтр, необходимо ориентироваться на его добротность q_Р=1/a₁. Ранее было определено, что коэффициент a₁ этого звена равен a₁=0,496. Следовательно, его добротность будет: q_Р=1/0,496=2,016 и звено относится к среднедобротным. Поэтому можно, например, ориентироваться на схему №7 приведенную в разделе 2. Расчетные соотношения этой схемы для определения номиналов резисторов и конденсаторов навесных элементов операционных усилителей звеньев фильтра:

Здесь также имеется определенная свобода выбора номиналов резисторов и конденсаторов. Так, например, если выбрать следующие величины сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов:

R₁=10кОм,R₂=2R₁=20кОм,С₁=2С₂, С₂=0,79 нФ,

R₁^|=R₁^||=20 кОм, R₃=R₄=10 кОм, то нетрудно проверить, что все вышеприведенные соотношения выполняются при частоте среза фильтра f_С=10 кГц. В более сложных случаях при выборе номиналов резисторов и конденсаторов звеньев применяютcя структурные диаграммы для их расчета, приведенные, например, в [1]. Выбор операционного усилителя для звена второго порядка производится из тех же соображений, которые были приведены и при определении ОУ для звена первого порядка. Таким образом, в этом звене может быть использован, например, тот же тип операционного усилителя К140 УД 701, что и в первом звене.

На этом проектирование и расчет фильтра можно считать завершенным. Вопросы настройки звеньев, чувствительности их характеристик к изменению номиналов пассивных элементов и др. излагаются в приведенной библиографии пособия. При наличии компьютера и программы схемотехнического моделирования, например, MICRO-CAP-V [4], можно провести проверку синтезированного ФНЧ, построив с помощью этой программы его частотную характеристику.