1Б. Проектирование фильтров верхних частот

Фильтры верхних частот (ФВЧ) имеют значительное ослабление сигнала в области низких частот. На верхней границе этой частотной области задается величина затухания сигнала, M_З

выражаемая в децибелах на частоте задерживания ω_З. В переходной области ослабление резко уменьшается. Граничной является частота среза ω_СР, после которой начинается полоса пропускания с малым ослаблением частот входного сигнала. Теоретически верхняя частотная граница фильтра равна бесконечности. Типичная кривая АЧХ с аппроксимацией полиномом Чебышева первого рода для фильтра верхних частот приведена на рис. 1.2.

Проектирование фильтров верхних частот производится на основе использования метода ФНЧ-прототипа. С этой целью вводится понятия инверсной нормированной комплексной переменной =1/p.При этом нормированный частотный интервал 0<Ω<1 превращается в интервал 1<<∞, а интервал 1<Ω<∞ в частотный интервал 0<<1. Вследствие указанного преобразования частотная характеристика фильтра верхних частот превращается в частотную характеристику ФНЧ. Нормированные частоты среза ФНЧ и ФВЧ совпадают и равны единице. ОслаблениеМ_Зна нормированной частоте заграждения_Зв фильтре прототипа для ФВЧ оказывается равнымM_Зна нормированной частоте 1/Ω_З. Следовательно, превращая частотную характеристику ФВЧ с нормированными частотами в частотную характеристику ФНЧ можно использовать прежний прием аппроксимации АЧХ и определить порядок n фильтра ФНЧ-прототипа фильтра верхних частот. При этом используют те же формулы (1.3) и (1.4) при аппроксимации частотных характеристик синтезируемого ФВЧ по Баттерворту или Чебышеву. После определения порядка фильтраnи типа звеньев прототипа (первого или второго порядка) записывают нормированные операторные коэффициенты передачи звеньев ФВЧ, используя инверсную частоту. При этом для звена первого порядка получают:

, а для звена второго порядка:

(1.8)

Полюс звена ФВЧ первого порядка: =-1/ a₀оказывается обратным полюсу ФНЧ- прототипа:p=-a₀. Полюсы звена ФВЧ второго порядка:

отличаются от полюсов звена второго порядкаФНЧ-прототипа в величину масштабного множителя1/a₀. Из (1.8) следует, что звенья ФВЧ первого и второго порядка имеют соответственно корни(нули) первой и второй кратности прив то время, как аналогичные звенья ФНЧ не имеют таких корней.

Так же, как и при проектировании фильтров нижних частот, целесообразно определить нормированное усиление на частоте среза и частоте задержания фильтра высоких частот. Используя выражения (1.8) запишем нормированные частотные характеристики звеньев ФВЧ первого и второго порядка:

(1.9)

Таким образом, если известен порядок фильтра высоких частот- n, число и характер его звеньев (первого и второго порядка, следовательно, и их биномиальные коэффициентыa₀ иa₁), то подставляя в выражения (1.9) значение частоты=1 получим нормированное усиление фильтра на нормированной частоте среза. При правильном определении порядка фильтра и записи биномиальных коэффициентов звеньевa₀, a₁оно должно быть равно заданному нормированному усилению на нормированной частоте среза. Если же в выражения (1.9) подставить значение частоты задерживания, то произведение сомножителей вида (1.8) должно быть равно значению ослабления сигнала на нормированной частоте задерживания. Таким образом, на втором этапе проектирования проверяется правильность определения порядка фильтра верхних частот, число и характер его звеньев, а также и запись биномиальных коэффициентов этих звеньев. Если требования технического задания на ФВЧ удовлетворяются при нормированных частотах среза и задержания, то далее можно построить частотную характеристику фильтра, переходя от нормированных к реальным частотам. Используя (1.8), записываем выражение|K(jω)|=К(ω)-модуля комплексного коэффициента передачи звена ФВЧ первого порядка в виде:

,

а для звена второго порядка:

,

где - его добротность,K₀-коэффициент усиления звена в полосе пропускания.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра высоких частот равна произведению АЧХ звеньев, входящих в него:

.

АЧХ фильтра строят в функции угловой ω=2πf или циклической частотыf. Электрический расчет звеньев ФВЧ рассмотрен в 2.2.