54

Вводные замечания.

Теория и методы синтеза активных фильтров (АФ) излагаются в курсе «Схемотехника аналоговых электронных устройств»- САЭУ, поэтому указанные разделы в учебном пособии приводятся в сокращенном виде. Однако материал пособия является достаточно полным для того, чтобы студенты могли использовать его при проектировании и расчете АФ в курсовой работе по дисциплине САЭУ.

Дополнительные сведения о чувствительности характеристик АФ к изменению номиналов элементов схемы устройства, температуры, напряжения питания и другие сведения читатель найдет в литературе, приводимой в библиографическом списке.

Активные RC-фильтры, называемые далее активными фильтрами, отличаются от других фильтров тем, что, во-первых, содержат только резисторы и конденсаторы а, во-вторых, в состав их входят активные элементы, в качестве которых используются операционные усилители (ОУ). Верхняя рабочая частота АФ не превышает обычно несколько десятков мегагерц. В полосе частот на порядок большей указанной верхней рабочей частоты активного фильтра ОУ должен иметь практически равномерную частотную характеристику. Использование ОУ, имеющих большой коэффициент усиления, высокое значение входного сопротивления и низкое выходное позволяет не учитывать эти параметры при расчёте пассивных элементов фильтра. Высокое значениеR_ВХ и низкое выходное сопротивлениеR_ВЫХявляется также решающим обстоятельством при выборе каскадного метода реализации передаточных функций АФ. Кроме того, этот метод проектирования позволяет провести разложение передаточной функции АФ на сомножители первого и второго порядка при последующем последовательном соединении этих звеньев. Реализация АФ при параллельном включении звеньев и с перекрестными и обратными связями между ними в пособии не рассматривается.

1. Порядок проектирования активных фильтров

Первым этапом в процессе проектирования фильтра является отыскание его передаточной функции, которая отвечает условиям практической реализации и одновременно обеспечивает получение необходимой формы амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) устройства. Этот этап называется этапом аппроксимации частотной характеристики. Из теории электрических цепей известно, что передаточная функция устройства, которое реализуется с помощью звеньев с сосредоточенными параметрами, может быть представлена в виде отношения двух полиномов:

, (1.1)

где - действительные, положительные коэффициенты,- нормированная комплексная переменная,_р- угловая частота среза фильтра (рис.1.1). Обычно в (1.1) степень числителяm меньше степени знаменателяn:m<n. Выражение (1.1) может быть записано в виде:

(1.1^/)

где p_i^*,p_iнормированные простые или комплексно-сопряженные нули и полюсы функцииK(p).Если числитель в (1.1)- постоянное число:B(p)=K_о, то передаточная функцияК(р):

(1.2)

относится к устройству, которое имеет свойства фильтра нижних частот (ФНЧ).

1А. Проектирование фильтров нижних частот

В зависимости от аппроксимации АЧХ синтезируемого фильтра различают фильтры Баттерворта, Чебышева, Лежандра и др. Фильтр Баттерворта имеет максимально плоскую АЧХ в пределах полосы пропускания 0-ω_СРи сравнительно невысокое ослабление за её пределами. Фильтр Бесселя имеет близкую к линейной фазочастотную характеристику в полосе пропускания и ещё меньшее ослабление за пределами полосы пропускания, чем фильтр Баттерворта. Фильтр Чебышева (с аппроксимацией АЧХ полиномами Чебышева первого рода) в зависимости от порядка фильтра имеет несколько максимумов и минимумов АЧХ в пределах полосы пропускания, однако за пределами полосы обеспечивает значительно большее затухание, чем фильтры Бесселя и Баттерворта. Это позволяет при заданном ослаблении сигнала за пределами полосы пропускания обходиться меньшим числом звеньев устройства. В фильтре Лежандра сделана попытка соединить лучшие черты характеристик фильтров Баттерворта и Чебышева. В этих фильтрах наклон АЧХ в полосе задерживания (заграждения) сделан по возможности крутым при соблюдении ограничения на то, что частотная характеристика в полосе пропускания остаётся достаточно монотонной. Далее в пособии будут рассмотрены наиболее часто встречающиеся аппроксимации АЧХ активных фильтров по Баттерворту и Чебышеву. Амплитудно-частотная характеристика, например, для фильтра Чебышева третьего порядка приведена на рис.1.1. На рис.1.1 ω_СРи ω_Зс частоты среза и задерживания размерностью рад/с,К_З-величина коэффициента передачи на частоте задерживания. Диапазон частот: ω_З-ω_СРназывают переходной областью фильтра, чем она уже, тем выше качество фильтра. В отличие от аппроксимации Баттерворта при аппроксимации Чебышева частотная характеристика в полосе пропускания оказывается неравномерной.

К₀

К_З

Полоса пропускания

Рис.1.1

Таким образом, по заданным техническим требованиям к амплитудно-частотной характеристике фильтра (Ко,М_макс,М_мин, коэффициенту передачи, максимальному и минимальному значению АЧХ в полосе пропускания и задерживания, частотам среза ω_СРи задерживания ω_З) необходимо выбрать тип аппроксимации АЧХ и задать его передаточную функциюK(p), которая достаточно близко удовлетворяет этим требованиям. Обычно вид аппроксимации АЧХ указывается в техническом задании фильтра.

Следующим шагом проектирования является определение порядка фильтра nи его внутреннего строения, т.е. звеньев, из которых состоит синтезируемый фильтр при каскадном включении его звеньев. Порядок фильтраnпри каскадной реализации устройства, заданныхМ_макс,М_мин и нормированной частоте=ω/_СРопределяется c помощью выражений: для фильтров Баттерворта

, (1.3)

а для фильтров Чебышева:

. (1.4)

В двух последних выражениях:- допустимая неравномерность АЧХ в полосе пропускания устройства,- минимальное затухание в полосе задерживания,_З=_з/ω_СР- нормированная частота.

В руководствах по проектированию активных фильтров нормированная частота иногда обозначается также буквойS, см., например, [1].Поскольку порядок фильтраnдолжен быть целым числом, то расчетноеn, получаемое из (1.3), (1.4) округляют до ближайшегобольшего целого числа, что гарантирует выполнение технических требований к АФ с некоторым запасом.

Если коэффициенты многочлена знаменателя a_n…a₀(1.2) являются действительными, положительными и удовлетворяют условиям Рауса-Гурвица [1], то этот многочлен может быть представлен в виде:, где-являются действительными, отрицательными или комплексно-сопряженными числами с отрицательной действительной частью. Поскольку устойчивое электрическое звено первого порядка имеет отрицательный полюс, а устойчивое звено второго порядка имеет два комплексно-сопряженных полюса с отрицательной действительной частью, то передаточная функция (1.2) фильтра нижних частот соответствует устройству, состоящему из последовательного соединения звеньев первого или второго порядка. Кроме того, если порядокnфильтра окажется нечетным числом, то синтезируемый фильтр будет содержать только одно звено первого порядка и (n-1)/2 звеньев второго порядка. Если же порядок фильтраnбудет четным, то синтезируемый фильтр содержит только звенья второго порядка, число которых равноn/2. Таким образом, активный фильтр нижних частот может быть представлен в виде каскадного (последовательного) соединения звеньев ОУ, передаточные функции которых описываются выражениями

(1.5)

- для звена первого порядка и:

- (1.6)

для звеньев второго порядка .

В (1.5) и (1.6) - a₀ , a₁- биномиальные коэффициенты звеньев. Связь между полюсами звеньев и их биномиальными коэффициентами может быть установлена из следующих очевидных соотношений. Так для звена первого порядка:, отсюда полюсp₁=-a₀, для звена второго порядка:

,

отсюда его полюсы , где:.

Биномиальные коэффициенты a₀, a₁звеньев первого и второго порядка при различной аппроксимации АЧХ активных фильтров приведены в конце раздела 1.1 в табл.1.

На втором этапе проектирования целесообразно ввести в рассмотрение нормированные частотные характеристики звеньев, которые получаются делением (1.5) и (1.6) на коэффициент К₀,в функции нормированной частотыΩ=ω/ω_СР. С использованием (1.5) и (1.6), нормированные частотные характеристики звеньев первого и второго порядка будут записываться в виде:

(1.7)

для указанных звеньев соответственно.

Если известен порядок фильтра n, число и характер его звеньев (первого и второго порядка, следовательно, и их биномиальные коэффициенты), то подставляя в произведение выражений (1.7) значение частотыΩ_СР=1 получим нормированное усиление фильтра на нормированной частоте среза. При правильном определении порядка фильтра и записи биномиальных коэффициентов звеньевa₀, a₁ оно должно быть равно заданной нормированной передаче на частоте срезаΩ_СР=1. Если же в выражения (1.7) подставить значение нормированной частоты задерживанияΩ_З=ω_З/ω_СР, то произведение сомножителей (1.7) должно быть равно заданному в ТЗ значению нормированного ослабления сигнала на нормированной частоте задерживания. Таким образом, на втором этапе проектирования проверяется правильность определения порядка фильтра, число и вид его звеньев и записи биномиальных коэффициентов звеньев. Если требования технического задания на частотах срезаΩ_СР=1 иΩ_Звыполняются, то можно построить АЧХ фильтра, переходя от нормированнойΩк ненормированной угловой ω=2πfили циклической частотеf. Используя (1.5) и (1.6) и заменяя в них аргументpнаjω, получим выражение|K(jω)|=К(ω)- модуля комплексного коэффициента передачи звена первого порядка в виде:

, а для звена второго порядка:

, где: (1.7^/)

К₀-коэффициент передачи в полосе пропускания, который определяется на этапе электрического расчета фильтра,ω_Р=а₀ω_СР,-добротность звена.

Амплитудно-частотная характеристика синтезируемого ФНЧ равна произведению АЧХ звеньев, входящих в него:

. (1.7^//) Расчет пассивных элементов звеньев фильтра – резисторовRи конденсаторовСпроводится после выбора типа звена с учетом его добротности и изложен в разделе 1.2.