Шпоры по дискре (2 семестр)

50. (1 из 1) Свойства подколец и идеалов колец относительно гомоморфизмов.

51. (1 из 1) Прямая сумма колец. Примеры.

Пусть - кольца. - их ед. эл-т относительно «+». Рассмотрим

На R определены операции:

а)

б)

R(+,*) – внешняя прямая сумма колец.

Рассмотрим

Св-во1:

Св-во2: «0»- ед. эл-т кольца R относительно «+»

Св-во3:однозначно представляем в виде

Св-во4:.

Опр: R – внутренняя прямая сумма колец (подколец), если выполнены св-ва 1) 2) 3)

52. (1 из 1) Китайская теорема об остатках.

53. (1 из 1) Линейные сравнения. Критерий разрешимости линейного сравнения.

Теорема: (китайская теорема об остатке)

Пусть - простые числа, . Тогда (внешн. пр. сумма колец)

◄Рассмотрим отображение

(вычет по модулю m)

а) корректность

Пусть . .

Т.е.

б) - гомоморфизм

Аналогично

в) -иньективно

г) т.к. , то - сюрьективно

Итак, - биктивно, т.е. - гомоморфизм►

Следствие:

Пример: а₇=3, а₃=1. Найти а₂₁, т.ч а₂₁=7q+3, т.е.

. , т.е. а₂₁=10

Линейные сравнения

, гдев кольце- линейное сравнение.

Теорема: Линейное сравнение имеет решение, где d – НОД(a,m).

◄ 1) Рассмотрим d=1

Выберем полную систему вычетов по mod m .Рассмотрим вычеты . Покажем, что вычеты образуют систему вычетов по mod m. Действительно, допустим, что , т.е. таким образом

Тогда - единств. Решение лин. сравнения.#

2) Рассмотрим d>1

Допустим, что d не делит b и x₀ – решение лин. сравнения, т.е., т.е., но . Пусть . Положим . Тогда лин. сравн. имеет вид или , где . По п1 такое сравн. имеет единств. решение. Но .

54. (1 из 1) Решение линейных сравнений.

Рассмотрим . Покажем, что R- множество всех решений .

а) Эл-ты R все различны.

Допустим, что , где . , т.е.

б) Покажем, что элементы R – решения

в) Других решений нет.

Т.к. решение лежит в множестве чисел вида , пусть . Тогда

►

Алгоритм решения лин. сравн.

1) НОД(a,m)=d (Алгоритм Евклида)

Если d не делит b, то решений нет, иначе имеем ровно d решений вида ,

где - ед. решение. и

2) Решение сравнения вида , где (a,m)=1.

Используя расширенный алгоритм Евклида найдем , т.ч.

, т.е. , тогда

- решение лин. сравнения

Пример:

1. НОД(3,21)=3, имеем 3 решения

2. 

Ответ: 3(mod21), 10(mod21), 17(mod21)