Шпоры по дискре (2 семестр)

12. (1 из 1) Определения и примеры полей. Делители нуля.

13. (1 из 1) Подгруппа. Критерий подгруппы.

Определение

К(+,*) – поле, если

1. К(+,*) – коммутативное кольцо с единицей

2. (где «0» – единичный элемент относительно «+»)

(т.е. обратный элемент , где - единичный элемент относительно «*»)

Определение: Если ab=0 при a0 и b0 в кольце К, то a называется левым, а b – правым делителем нуля (в коммутативном кольце К говорят просто о делителях нуля). Сам нуль в кольце К0 – тривиальный делитель нуля. Если других делителей нуля нет (кроме 0), то К называется кольцом без делителей нуля.

Пример: Числовые пары (a,b) (где a,b  Z,Q,R) со сложением и умножением, определёнными формулами (a₁ , b₁)+(a₂ , b₂)=(a₁+a₂ , b₁+b₂); (a₁,b₁)(a₂,b₂)=(a₁a₂ , b₁b₂), образуют, коммутативное кольцо с единицей (1,1), в котором мы снова встречаемся с явлением: (1,0)(0,1)=(0,0)=0.

Опр.

1). G() – группа. Множество G₁() – подгруппа группы G, если G₁G и G₁() – группа.

Утверждение (Критерий подгруппы): Пусть G – группа, G₁G, тогда G₁ – подгруппа  a,bG₁ элемент .

Док-во:

”” Легко видеть , операция замкнута

“” Надо показать, что G₁ – группа.

а) По условию полагая такое, что

б) Положим .

в) – операция на G₁.

14. (1 из 1) Подкольцо. Критерий подкольца.

15. (1 из 1) Подполе. Критерий подполя.

Опр: K(+,*) – кольцо. K₁(+,*)<K(+,*)- подкольцо, если

а)

б) K₁ – кольцо. Критерий подкольца.

Критерий подкольца:

а). R(+,) – кольцо R₁(+,*)– подкольцо 

1). а,b R₁, a – b R₁;

2).abR₁, abR₁;

б

Опр: Если P(+,) – поле, тогда P₁(+,)P(+,) – подполе.

Критерий подполя:

R(+,) – поле, R₁(+,) – подполе 

1). a,bR₁, a – b R₁;

2). a,bR₁, ab^-1R₁, b0.

16. (1 из 1) Гомоморфизмы алгебраических структур с одной бинарной операцией. Примеры.

17. (1 из 1) Свойства эпиморфизмов множеств с одной бинарной операцией.

Опр: Отображение f:GG₁ группы G(*) в называется гомоморфизмом, если:

Опр: Ядром гомоморфизма f называется множество Ker = {gG|f(g)=e` - единица группы G`}.

Опр.: Пусть А(), В(*) – мн-ва с заданными на них бинарными операциями.

Отображение: :АВ – гомоморфизм, если . Если

-сюрьективно, то -эпиморфизм;

-иньективно, то -мономорфизм;

-биективно, то -изоморфизм.

(А) – образ А при гомоморфизме .

Пример: Аддитивная группа целых чисел Z гомоморфно отображается на конечную циклическую группу <g> порядка q , если положить f:ngⁿ. В этом случае, очевидно, Ker f = {lg  lZ}. В самом деле, ясно, что {lg}Ker f.

Опр.: Пусть А(), В(*) – мн-ва с заданными на них бинарными операциями.

Утверждение: Пусть :А()В(*) – эпиморфизм

1). Если в А()  единичный элемент е, то (е) – единичный элемент В(*);

2). Если в А()  а^-1, то (а^-1) – обратный к (а) в В(*);

3). Если “” - ассоциативна, то “*” - ассоциативна. Если “” – коммутативна, то “*” – коммутативна.

Док-во: 1). Пусть е – единичный злемент А() и (е)=r т.к.  - эпиморфизм, то bВ ^-1(b)=aA, (ae)=(ea)=(a)  (a)*(e)=(e)*(a)=(a)  b*r = r*b=b, bB, т.е. r – единичный элемент.

Следствие: Гомоморфный образ группы – группа; подгруппы – подгруппа; абелевой группы – абелева группа.

17. (1 из 1) Свойства эпиморфизмов множеств с одной бинарной операцией.

18. (1 из 1) Гомоморфизмы алгебраических структур с двумя бинарными операциями и их основные свойства. Примеры.

Опр.: Пусть А(), В(*) – мн-ва с заданными на них бинарными операциями.

Утверждение: Пусть :А()В(*) – эпиморфизм

1). Если в А()  единичный элемент е, то (е) – единичный элемент В(*);

2). Если в А()  а^-1, то (а^-1) – обратный к (а) в В(*);

3). Если “” - ассоциативна, то “*” - ассоциативна. Если “” – коммутативна, то “*” – коммутативна.

Док-во: 1). Пусть е – единичный злемент А() и (е)=r т.к.  - эпиморфизм, то bВ ^-1(b)=aA, (ae)=(ea)=(a)  (a)*(e)=(e)*(a)=(a)  b*r = r*b=b, bB, т.е. r – единичный элемент.

Следствие: Гомоморфный образ группы – группа; подгруппы – подгруппа; абелевой группы – абелева группа.

Опр.: Пусть М(+,) и N(+,) – мн-ва с двумя бинарными операциями. Отображение: :МN – гомоморфизм, если

1). (+)=()*();

2). ()=()(), ,М.

Следовательно гомоморфный образ кольца (поля) есть кольцо (поле).

Пример: R⁺ - мн-во положительных действительных чисел :R⁺()R(+), rlog r.  - гомоморфизм. (ab)=log(ab)=log a + log b = (a)+(b).

19. (1 из 1) Подгруппа порожденная заданным подмножеством. Примеры.

20. (1 из 2) Разложение группы на смежные классы по подгруппе.

Определение: Пусть G – группа, MG.

– подгруппа, порожденная множеством М. (<M>_G = min(по включению) подгруппа содержащая M).

Утверждение: Пусть G – группа, MG. Тогда: <M>_G = kN₀, m_ij  M, _ij = ±1}. Если k=0, то считаем, что e<M>_G, где e – единичный элемент.

 Надо доказать, что <M>_G = H.

а) Пусть a = m_i1^i1 … m_ik^{ ik}; b = m_j1^j1 … m_je ^je.

a*b^-1 = (m_i1^i1 … m_ik^{ ik})( m_j1^-je … m_je ^-j1). Т.е. a*b^-1Hпо критерию подгруппы H<G.

б)

1) т.к. MH  G_i(*) < H //--* - (G_i<G₁; MG_i)--//. т.е. <M>_G < H

2) т.к. <M>_G – группа и M  <M>_G, то из m_iM  m_i^-1<M>_G, и т.д. H<M>_G.

Из 1) и 2)  H = <M>_G #

Определение: Пусть H = <M>_G. Если |M|< , то H – конечная порождаемая группа. Если |M|=1, то H – циклическая подгруппа (группа, если H=G).

Теорема: (Лагранжа)

Пусть G – группа; H<G. Рассмотрим отношение на G a,bG a_b(mod H)a^-1bH (т.е. задано бинарное отношение на G называемое отношением левой сравнимости по подгруппе H).

Свойства: 1) “” – отношение эквивалентности.

Через [a]_^н обозначим класс эквивалентности отношением. “”_ с представителем «a».

2) [a]_^н = aH

 b[a]_^н a_b(mod H) a^-1bHbaH #

Множество aH, aG называем смешанным классом группы G по подгруппе H.

3) a,bG

aH=bH либо aHbH=0

 Эквивалентное отношению эквивалентности.

4) aH – подгруппа aH=H

 Допустим, что aH<G, aHH. Но по свойству 3) и 1) e – единичный элемент гр. G  eaH т.е. aH – не группа. Противоречие.

5) a,bG; aH и bH равносильны.

 Рассмотрим : aHbH и ahbh. Легко видеть, что  - биективно. #

Следствие: Если |G|<, то |aH|=H

Определение: Пусть {a_i|iI} – система всех различных представителей левых смешанных классов G по H.

Тогда G = _iI a_iH – разложение группы G в левые смешанные классы по подгруппе H.

Мощность I – индексов группы H в группе G. Обозначается (G:H).

Аналогично рассмотрим разложение группы в объединение смежных правых классов, т. е. отношение правой сравнимости на группе G на H<G.

20. (2 из 2) Разложение группы на смежные классы по подгруппе.

21. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа.

Свойства:

6º

7º - разложение группы G в правые смежные классы по H<G, где - множество всех представителей правых смежных классов G по H<G.

8º aH и Hb - равномощны

Доказательство:

Легко видеть, что  - биективно #

9º Если , то

Доказательство: Рассмотрим

.  - биективно #.

Определение: - разложим группу в левые и правые смежные классы, если , то - индекс подгруппы H в группе G. Обозначение:

Теорема Лагранжа: Пусть G – группа, , тогда и

Доказательство следует из свойств

22. (1 из 1) Нормальные делители группы и их свойства.

23. (1 из 1) Теорема об отношении согласованным с операцией.

Определение: Пусть H<G. Если , то H – нормальная подгруппа. Обозначается (нормальный делитель).

Если , то правые классы переходя в левые могут только меняться местами. (Но должны совпадать )

Свойства

1º

2º

Примеры

Пример 1) G – абелева группа, тогда

Пример 2)

Определение: Пусть- отношение на группе G. Отношение - отношение согласования с операцией на группе G, если a, b, c, d G из

Теорема: Пусть - отношение эквивалентности на группе G. Отношениесогласованно с операцией на G 1) (е – нормальный делитель)

2)есть отношение сравнимости по (т.е или )

Доказательство: «» 1) - группа. Пусть , т.е. .

Заметим, что (т.к. ).

Тогда из

2) Рассмотрим

3) , т.е. , т.е. - отнош. левой сравнимости по

«» Нужно показать, что согласовано по

Если , , то или . Но , и #.

24. (1 из 1) Понятие фактор-группы и ее связь с отношением согласованным с операцией.

25. (1 из 1) Теорема об эпиморфизме групп.

Определение

Пусть- отношение на группе G. Отношение - отношение согласования с опрецией на группе G, если из

Теорема Пусть - отношение эквивалентности на группе G. Отношениесогласованно с операцией на G 1) (е – нормальный делитель)

2)есть отношение сравнимости по (т.е или )

Доказательство

«» 1) - группа. Пусть , т.е. .

Заметим, что (т.к. ).

Тогда из

2) Рассмотрим

3) , т.е. , т.е. - отнош. левой сравнимости по

«» Нужно показать, что согласовано по

Если , , то или . Но , и #.

Теорема (об эпиморфизме группы)

Пусть - эпиморфизм группы G в группе H. Тогда:

1) Ker

2)

Опр: :АВ – отображение Кеr={аА(а)=е, е - ед-ный эл-т В} – наз-ся ядром отображения. Док-во:

1). Ker<G. По критерию надо показать, что a,bKer , ab^-1 Ker. Рассмотрим (ab^-1)=(a)(b^-1) = (a)((b))^-1=eb=b, т.е. ab^-1 Ker  ядро является подгруппой.

2). KerG. Пусть аKer, gG. (g^-1ag)=((g))^-1(a)(g) =((g))^-1(g)=e. Рассм. G/Ker={aKer/a – представитель сложного класса по подгруппе Ker}. G/Ker - фактор-группа. Покажем, что G/Ker  Н. Пусть : G/KerН, aKer(а).

а). -гомоморфизм; ( aKer bKer)=(abKer)=(ab)=(a) (b)=( aKer)( bKer);

б). - биективное отображение. 1). -сюрьективно, т.к. hH ^-1(h)=a, тогда ( aKer)= (а)=h.

2). -иньективно. Допустим, что а,bG, такие, что aKerbKer и ( aKer)= (bKer). Но (а)=(b)(т.к. -гомоморфизм)(а)((b))^-1=е (т.к. гомоморфизм) (а,b)^-1=е ab^-1Ker  abKer(по отнош. эквивал.) aKer = bKer - получили противоречие   - иньективно. Т.о.  - гомоморфизм.

26. (1 из 1) Теоремы о изоморфизме групп (без доказательства).

27. (1 из 1) Внешнее прямое произведение групп.

Теорема (об изоморфизме):

1). :GH – гомоморфизм, А  G, тогда (G)/(A)  G/AKer (:G(G)/(A); g(g)(A)).

2). Пусть А,ВG, А<B, тогда: G/B  (G/A)/(B/A).

3). Пусть АВ<G, HG, тогда АНВН и ВН/АН  В/А(ВН). /Без доказательства/.

Прямые произведения групп.

Опр: Внешнее прямое произведение групп .

Обозначается:

На определена операция: . Легко видеть, что -группа.

Рассмотрим , где – единичный элемент группы G_i. Легко видеть, что

а). ;

б). (изоморфизм).

Свойства:

1). (по определению )

2). , ,

3). Каждый элемент однозначно представим в виде

4).

28. (1 из 1) Внутреннее прямое произведение групп. Критерий прямого произведения групп.

29. (1 из 1) Связь внешнего и внутреннего прямых произведений групп.

Опр: Пусть Н₁,…,H_n – подгруппа группы G. G – внутреннее прямое произведение Н₁,…, H_n, если

1). H_iG_i ,

2). G=<_i=1ⁿH_i> (порождается мн-вом, совпадающим с образом).

3). H_j<_jiH_j>=1

Обозначается: G=H₁*…*H_n

Утверждение (критерий): G= H₁*…*H_n , H_i<G

1).H_i и H_j – поэлементно перестановочны, ij;

2). gG , g однозначно представимо в виде g=h₁*…*h_n , h_iH_i /Без док-ва/.

Утверждение: G – группа, G*…G_n – внешнее прямое произведение. Тогда GG₁*…*G_n  H₁,…, H_n­ подгруппы G , т.ч.

1). H_iG_i ;

2). G внутр прямое произведение группы H₁,…, H_n

Пример: G=Z_p(+)+.Z_q(+) внешняя прямая группа, p, q – простые числа). G=p*q; G={(,)=1,0,…,p-1, =0,1,…,q-1}. Рассмотрим Z_pq(+). Найдём в Z_pq(+). Элементы т.ч. p=+…+=0; q=+…+=0

30. (1 из 1) Циклические группы. Классификация циклических групп.

31. (1 из 1) Подгруппы циклических групп.

Определение

1. Если G – конечная группа, то - порядок группы.

2. Пусть G – группа. Тогда минимальное нат. число k. Такое, что называется порядком элемента а и обозначается ord a. (если такое k существует), где е – ед. элемент группы G.

Определение: Группа G называется циклической, если .

1º Пусть G – циклическая группа, H<G. Тогда H – циклическая группа

Доказательство:

Пусть и m – min нат. число такое, что (где).

Покажем, что . Пусть(т.к. H – подгруппа G) и, . Тогда , но по выбору m r=0 (т.к.m – минимальное число) #

Случай рассматривается аналогично.

2º

Доказательство:

Пусть . Рассмотрим , где . Нужно показать, что .

Заметим, что .

Предположим противное:.

Но-противоречие. #