Шпоры по дискре (2 семестр)
.doc
32. (1 из 1) Подгруппы конечных циклических групп. |
33. (1 из 1) Фактор-группы циклических групп. |
Пусть -циклическая группа, . Тогда - циклическая подгруппа. Доказательство: Пусть и – минимальное натуральное число такое, что (где ). Покажем, что . Пусть (т.к. H – подгруппа G) и , . Тогда , но по выбору (т.к. , но -минимальное натуральное число такое, что ) (в элементов). Случай рассматривается аналогично. #
|
Любая фактор группа циклической группы - циклическая. Доказательство: Пустьи т.ч. - гомоморфизм. Тогда по теореме об эпиморфизме . Покажем, что - циклическая. Пусть и . Тогда . #
|
34. (1 из 2) Порядок элемента группы и прямые произведения циклических групп. |
34. (2 из 2) Порядок элемента группы и прямые произведения циклических групп. |
Пусть G – группа. Тогда минимальное нат. число k. Такое, что называется порядком элемента а и обозначается ord a. (если такое k существует), где е – ед. элемент группы G. 5º. Пусть - циклические группы и - внешнее прямое произведение (конечное). Тогда: 1) G – циклическая группа НОД()=1 2) Если НОД()=1 и , то . Доказательство: G – циклическая группа , где. Но . Тогда . Но и . Кроме того, . Таким образом и , т.е. п 1) и 2) доказаны. Следствие: Пусть G – циклическая группа. , - простое число. Тогда (внешняя прямая сумма циклических групп ).
|
Доказательство: По свойству 5º группа H – циклическая. Кроме того, . # |
35. (1 из 2) Группы подстановок. |
35. (2 из 2) Группы подстановок. |
Определение Подстановка на множестве М – любое биективное отображение. - множество всех подстановок на М. Далее, будем считать, что Утв: - группа, относительно операции композиции биективных отображений. Элементы симметрично группа подстановок – подстановки - подстановки . , где , где Пример: 1) n=3 - тождественная подстановка …
2) Умножение подстановок
|
Утв: Пусть , тогда Доказательство: Пусть , где . # биективно и гомоморфизм (док. самим) |
36. (1 из 1) Теорема Кели. |
37. (1 из 1) Разложение подстановок в произведение независимых циклов. |
Теорема Пусть G – группа, , тогда и такое Доказательство: Рассмотрим и G – группа ( - подстановка, т.к. ) Покажем, что - иньективно. Пусть , т.е , т.е. - иньективно. Докажем теперь, что - гомоморфизм. Рассмотрим – группа, т.к. - гомоморфизм. , т.е. #
|
Пример: Опр: а) и - цикловая запись подстановки g, если , (- длина цикла) б) Подстановка, состоящая из неодного единичного цикла, называется циклом [- цикл] в) циклы и независимы, если Опр: Подстановки независимы, если любая пара цикловнезависима. Пример:
|
38. (1 из 1) Цикловая структура подстановки и ее порядок. |
39. (1 из 1) Представление подстановок в виде произведения транспозиций. Четные подстановки. |
Опр: Пусть наз. цикловой структурой постановки g - , где - число циклов подстановки g длины i. Причем . Пример: - условная запись. Грубо говоря, сообщает, сколько циклов (b) длины a. Проверка соотношения Св-во3: Пусть . а) g – цикл длины k. Тогда . (Цикловая структура данной подстановки ) б) g имеет циклическую структуру , тогда (т.еесть НОК делителей циклов) ◄а) Наглядно:
б) Пусть - представляем в виде произвед. независ. Циклов. Тогда, т.е., ► - циклическая структура
|
Опр: Пусть- цикл длины r называется транспозицией. (обозначение: ) Утв: Любая , n>1 есть произведение транспозиций. ◄Представим g в виде произв. Независ. циклов, т.е.. Рассмотрим цикл. Непосредственной проверкой убедимся, что . Кроме того ► Опр: подстановка-четная, если g – есть произведение четного числа транзакций.
|
40. (1 из 1) Критерий четности подстановки. Знакопеременная группа. |
41. (1 из 1) Системы образующих симметрической группы. |
Опр: наз. знакопеременной группой, состоящей из четных перестановок. Св-ва: , ; то . Утв: Пусть и - циклическая структура g. Тогда g – четная - четно ◄]- представление g в виде произв. независ. циклов. Но представимо в виде транспозиций. Но ►
|
Теорема: порождается каждым из множеств^ а) б) (n-1 шт.) в) (n-1 шт.) г) (2 шт.) ◄а) доказано ранее б) (i,j)=(1,1)(1,j)(1,i) в) (1,i)=(1,2)…(i-1,i)(i-2,i-1)..(1,2) г)и т.д. ►
|
42. (1 из 1) Системы образующих знакопеременной группы. |
43. (1 из 1) Подкольца и идеалы кольца. Критерий подкольца. Полкольцо порожденное множеством. |
Теорема2: порождается цикламидлины 3. ◄, k-четно. Покажем, что представимо в виде произв. циклов длины 3. Рассмотрим случаи: а) i,j,k,l – все различны. (i,j)(k,l)=(i,j,k)(l,k,i) б) i,j,k – различны 1) l=i : (i,j)(k,l)=(i,j)(k,i)=(i,j,k) 2) l=j : (i,j)(k,l)=(i,j)(k,j)=(i,k,j) в) (i,j)(i,j)=е. Но ►
|
Опр: K(+,*) – кольцо. K1(+,*)<K(+,*)- подкольцо, если а) б) K1 – кольцо. Критерий подкольца Опр: Подкольцо наз-ся идеалом, если(левый, правый, духсторонний). Обозначается Св-во1: Св-во1: Опр: Пусть -кольцо. Тогда наз-ся подкольцом, порожденным мн-м М. - идеал, порожденный мн-м М. Вообще говоря, , Опр: - главный идеал, если (порожден одним элементом) (K- кольцо главных идеалов, если- главный) Утв.: Гомоморфный образ кольца (поля) есть кольцо (поле) |
44. (1 из 1) Кольцо вычетов по модулю натурального числа. |
45. (1 из 1) Кольцо многочленов над полем. Деление с остатком. |
Def: Если на множестве Z задано отношение x Ξ y(mod m)m l (x-y), (x,y,m Є Z) и если заданы операции «+» и «*», т.ч. {k}m+{l}m={k+l}m {k}m*{l}m={k*l}m , где {k}m – класс вычетов по m, {k}m=k+mZ={r+mk : k Є Z}, то Zm(+,*) называется кольцом классов вычетов по модулю натурального числа m. x Ξ y(mod m) означает, что при делении на m x и y дают одинаковые остатки.
|
Кольцо многочленов над полем Пусть P – поле. Послед-ть т.ч. среди содержится конечное число ненулевых элементов наз-ся многочленом над полем P. Мн-во всех многочленов над P обозначим P[x]. На P[x] рассмотрим опреации: 1) 2) , где Легко видеть, что P[x](+,*) является коммутат. кольцом с единицей.
Замечание. Пусть x=(0,1,0,…) x2=(0,0,1,0,…) x3=(0,0,0,1,0,…) ……. x2=(0,…,0,1,0,…) Тогда представим в виде , для некоторых Опр: степенью многочлена наз-ся номер послед-го ненулевого элемента в Опр: Многочлен a(x) делится с остатком на b[x], если , т.ч. 1) 2) Замечание: если P-поле, то деление с остатком имеет место (т.е. q(x) и r(x) однозначно определены)
|
46. (1 из 1) НОД многочленов. |
47. (1 из 1) Алгоритм Евклида вычисления НОД. |
Опр: , где не все равны нулю, если: а) б) если - общий делитель, то
|
Утв: 1) , т.ч. среди а(х),b(x) есть многочлен, , 2) Пусть d(x) = НОД(a(x),b(x)), тогда множество всех НОД а(х) и b(x) совпадает с Заметим, что если d(x) = НОД(a(x),b(x)), то cd(x)=НОД(a(x),b(x)), с Є Р Если , то и Пусть. Рассмотрим последовательность действий Т.к. имеет место посл-ть строгих неравенств относительно степеней многочленов, то . Покажем, что. Легко видеть, что . Пусть d – любой общий делитель |
48. (1 из 1) Расширенный алгоритм Евлида. |
49. (1 из 1) Гомоморфизмы колец. Теорема об эпиморфизме колец. |
Утв: . Тогда т.ч. ◄Док-во сводится к рассмотрению при n=2. См док-во пред Утв. По алгоритму Евклида: ►
|
Гомоморфизм колец Опр: Пусть -отношение эквивалентности на кольце K(+,*). соласованно с операциями на К, если оно согл. с «+» и «*» Утв: отнош, согласованное с опер. на кольце К (0-нулевой эл-т K, ед. эл-т относ. «+») [аналогично для групп] Утв(Теорема об эпиморфизме колец): Пусть - эпиморфизм колец. Тогда 1) 2) (, 0 – ед. эл-т относительно «+»)
K
(только если I - идеал)
[аналогично для групп]
|