1.4.4. Теплообмен излучением между серыми поверхностями

При падении излучения на серую поверхность часть энергии отражается и она должна учитываться в балансе энергии. Рассмотрим заполненную диатермической средой замкнутую систему из трёх серых изотермических диффузных непрозрачных поверхностей. На основании закона Кирхгофа и, учитывая непрозрачность поверхности, имеем

(4.38)

Если над серой поверхностью поместить воображаемую плоскость (рис. 4.7), то можно будет определить для стационарных условий теплообмена результирующую энергию, которую надо подвести к серой поверхности для поддержания баланса энергии воображаемой плоскости.

Рис. 4.7

Суммарное излучение , исходящее от серой поверхности, называется эффективным излучением или светимостью. Обозначим плотности потоков излучения через

Тогда имеем

(4.39)

Результирующий тепловой поток от серой поверхности равен разности эффективного теплового потока и падающего

(4.40)

Подстановка (38) и (39) в (40) даёт

(4.41)

Если записать конечное выражение уравнения (4.41) в форме закона Ома, то его знаменатель представит собою тепловое сопротивление между двумя потенциалами (рис. 4.8). Сопротивление

(4.42)

Рис. 4.8

обусловлено свойствами серой поверхности, поэтому его называют поверхностным сопротивлением. Тепловая цепь для трёх серых поверхностей, образующих замкнутую систему (рис.4.9), аналогична тепловой цепи трёх чёрных тел со следующими добавлениями: к каждому узлу подключаются поверхностные сопротивления, узловой потенциал заменяется на и переносится в точку соединения другого конца поверхностного сопротивления с источником результирующего потока.

Рис. 4.9

Тепловая цепь для серых поверхностей является очень удобным средством анализа теплообмена в замкнутых системах. Рассмотрим случай огнеупорной серой поверхности, когда

Тогда из рис. 4.11 и выражения (40) следует, что для огнеупорной поверхности справедливы равенства

(4.43)

Таким образом, для огнеупорной поверхности плотности потоков эффективного, падающего и чёрного излучений равны между собою. Такую поверхность можно считать идеально отражающей, изменяющей направление падающего излучения, ничего не поглощая из него.

1.2.4.5. Матричные методы расчёта теплообмена излучением.

Использование концепции теории электрических цепей для решения задач лучистого теплообмена между четырьмя и более поверхностями в замкнутых системах позволяет применять стандартные матричные методы.

В равновесных системах чёрных и серых поверхностей, участвующих в лучистом теплообмене, связь между тепловыми потоками и температурами поверхностей определяется линейными алгебраическими уравнениями. Возможны три типа задач:

- на поверхностях заданы температуры и необходимо определить тепловые потоки;

- на поверхностях заданы плотности тепловых потоков и необходимо найти температуры поверхностей;

- на одной части поверхностей заданы температуры, а на другой – плотности тепловых потоков, и необходимо определить недостающие характеристики теплообмена.

В каждом случае можно составить систему линейных алгебраических уравнений, преобразовать её в матричное уравнение и, пользуясь стандартными программами, решить последнее.

Допустим, что температуры всех поверхностей известны и нужно найти результирующие плотности тепловых потоков на всех поверхностях. Все поверхности непрозрачные, серые, диффузные, изотермичские и образуют замкнутую систему.

Воспользуемся полученным выражениями (40) и (41), получаем

,

которое после некоторых преобразований сводится к соотношению:

(4.44)

Выведем матричные уравнения для замкнутой системы с минимальным количеством поверхностей, т. е. с тремя.

Падающее на поверхность 1 излучение плотностью обусловлено энергией эффективного излучения от поверхности 1, если она вогнута и может «видеть» (хотя бы частично) себя, и от двух других поверхностей, которые образуют замкнутую систему:

. (4.45)

Применяя соотношение взаимности ко второму и третьему слагаемым выражения (45) и разделив обе части на A₁, получаем

. (4.46)

Подстановка (46) в (44) для даёт зависимость

, (4.47)

которая может быть представлена в виде

(4.48)

Аналогичные выражения можно написать для поверхностей 2 и 3. Они будут следующими:

(4.49)

(4.50)

Уравнения типа (48) – (50) можно записать для любой замкнутой системы, содержащей конечное число поверхностей. В матричной форме запись будет иметь вид

AJ = B. (4.51)

Здесь

A = (4.52)

J = (4.53)

B = (4.54)

При этом

(4.55)

Если в замкнутой системе имеется чёрная поверхность, то для неё уравнение типа (4.48) упрощается. Для чёрной поверхности

. (4.56)

Следовательно, элементы матриц А и В для чёрного тела записывается в виде

(4.57)

Если температуры всех поверхностей известны, задача определения результирующих плотностей тепловых потоков сводится к вычислению матриц А и В. Элементы этих матриц определяют по выражениям (55). Если i-я поверхность чёрная, то i-й ряд элементов матрицы А определяются выражениями (57), а i-я строка столбца В – выражением (56). Все элементы матриц А и В известны, поскольку определены геометрия, свойства поверхностей и температуры. После нахождения значений плотности эффективного теплового потока на всех поверхностях, вычисляются плотности результирующего теплового потока:

(4.58)

Если поверхность i чёрная, плотность результирующего потока определяется по формуле

(4.59)

Поверхности с заданной плотностью результирующего теплового потока. Допустим, что температуры всех поверхностей, которые образуют замкнутую систему, неизвестны, но заданы плотности результирующего теплового потока на всех поверхностях. Уравнение (4.47) можно преобразовать, исключив неизвестные и включив известные _. В результате для поверхности 1 замкнутой системы, состоящей из трёх поверхностей, получим

(4.60)

Аналогичные выражения можно записать для других двух поверхностей.

Для задачи, в которой температуры не известны, а задана плотность результирующего теплового потока на каждой поверхности, элементы матрицы А равны

a_ij = (- F_ij) при i ¹ j и a_ij = (1- F_ij ) при i = j . (4.61)

Элементы матрицы В в этом случае приобретают вид

b_i =(q_i)_p. (4.62)

При такой форме записи элементы матриц A и B известны. После решения уравнения (51) становятся известными элементы плотности эффективного теплового потока на всех поверхностях.

Температуры поверхностей определяются из выражения

(4.63)

Если i-я поверхность чёрная ((r_i = 0), то выражение для температуры упростится

(4.64)

Описанная выше методика и уравнения также могут быть использованы в задачах со смешанными граничными условиями. Когда температуры некоторых серых поверхностей известны, но неизвестны плотности потоков, соответствующие строки в матрицах А и В записывают в форме уравнений (4.57). Плотность результирующего теплового потока для каждой из этих поверхностей определяется уравнением (4.58). Если на поверхности известна плотность результирующего потока, но неизвестна температура, то соответствующие строки в матрицах А и В записывают в форме уравнений (4.61) и (4.62). Температура поверхности определяется уравнением (4.63).